周期函数及其最小正周期

取 %# ， 定理 # 中 M! 皆为其周期， %! 的 公 度 & J ! ， D
收稿日期：!$$B
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作者简介：侯文超 （ #HD% I ） ， 男， 辽宁开原人， 教授， 主要从事经济预测和管理决策的教学与研究 A
第 $8 卷 第 # 期
侯文超：周期函数及其最小正周期
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的 ! ! "， 于 是 $ & ! #% ! " ! #$ ， # ! %， （ & ’ ）的正周期 (
% 也是 ’!
而它却没有最小正周期 ( 定理 " $( 证明 充 分 性 显 然， 现证必要性 ( 设非零实数 的 一 个 周 期， 不 失 一 般 性， 无妨设 $ * &( $ 是（ & ’） 由推论知 $ ， 存 $ & 是可公度的 ( 再由定理 # 的推论， 在 $ 与 $ & 的公度 % ， % 也是 （ & ’ ）的正周期 ( 显然， 而 $ & 是 最 小 正 周 期， 故 亦 有 $& $ % ， 于是 %$ $& ， 这就表明 $ & ) $ ( $& ! % ， 怎样的周期函数有最小正周期呢？ 定理 # 证明 周期函数有 最 小 正 周 期 的 充 分 必 要 条 必要 性是明 显的 ( 现 证充分 性 ( 设 周 期 件是不存在趋向于 $ 的正周期序列 ( 函数 （ 记 $ ! /67｛ 所有正周 & ’ ）没 有 最 小 正 周 期， 的周期 ( 于是存在一串 （ 的 期｝ ， $ 必不是 （ & ’） & ’） 正周期 $ # ， …， …， 使 得 $ # * $ $ * … * $" * $$ ， $" ， …， 且 " # + 时 $ " # $ ( 令 $/" ! $" - $ " ( （ $， # " ! #， …） ， 由引理 $ ， 每个 $/" 也 都 是 （ 的 正 周 期， 且 " & ’） # + 时 $/" # & ( 定理 % 证完 ( 定理 % 虽然给出了周期函数有最小正周期 的充 分必要条件， 但应用起来却不怎么方便 ( 下面给出 一个应用起来十分方便的充 分条件 ( 注意 到上 面例 子中的没有最小正周期的周期函数 （#） 和 （$ ） 都是 处 处不连续的函数 （函数 （#） 处处不连续是因为集 合 ) 在 （ - +， 中稠 （参 看 定 理 8 的 推 论 $ ） ； ( +） ) 显然 是可列集， 故 ) 的余集也在 （ - + ，( + ） 中稠） ， 容 易想到 ( 定理 % 证明 至少在一个点 连 续 （单 侧 连 续 亦 可） 的 设（ 为 周 期 函 数， 不 恒 取 常 数 值， 在 & ’） 不恒等于常数的周期函数必有最小正周期 ( 不可能存在一串 （ 的正 ’ ! ’ & 连续 ( 我们指 出， & ’） 周期 $ # ， …， …， 当 " # + 时 $" # & ( 事实 上， $$ ， $" ， 如不然， 由（ 任 给 " * &， 必 & ’ ）在 ’ ! ’ & 的 连 续 性， 存在 # * & ， 只要 ’ " （ ’ & - #， ， 就有 ’ & ( #） )（ & ’） -（ & ’& ） ) ," ( （’） 由于 $ " # & ， 取 " 足 够大， （ ’ & - #， 中必完整 ’ & ( #） 地包含一个长度为 $ " 的小区间， 故（ 在区间 （ ’& & ’） 中能取遍其值域中的所有值 ( 也就是 -#， ’ & ( #） 说， 不等式 （’） 对任何实数 ’ 都成立 ( 由" * & 的任 意性， 对任何实数 ’ 都有 （ ， 与（ 不恒 & ’） !（ & ’& ） & ’） 取常数值矛盾 ( 这样， 由定理 % ， 本定理得证 ( 定理 8 中的 “至少在一个点连续” 这一条件不是 设 $ & 是周期函数 （ 的最小正周期， & ’） 非零实数 $ 是 （ 的 周 期 的 充 分 必 要 条 件 为 $& ) & ’）
数， 令 $ 与 % # 同号， ’ 与 % ! 同号， 引理 "
%# %! 则 %# J J &， $ ’ 于是 % # ， J $& ， % ! J ’& ， % ! 可公度 ! 若 %# ， 的周 期， 则它 % ! 都 是函数 （ ( )）
们任意的整系数非零线 性 组 合 % J $% # L ’%（ ’ ! $， 为整数， 也是函数 （ 的周期 ! % ! $） ( )） 证明 定理 ! （ ( ) L $% # L ’% ! ） J（ ( ) L $% # ） J（ ( )） ! 设 %# ， 的两个可公度的 % ! 为函数 （ ( )）
也使用整除这个术语 ! 定义 ! 设 "， （ # ! $） ， 如果存在 # 为两个实数 整数 $ ， 使得 " J #$ ， 则称 " 可被 # 整除， 或 # 整除 并记作 # K " ! "， 定义 " 设 %# ， %! 为 两 个 非 零 实 数 ! 如 果 存 在 正实数 & ， 则称 % # ， & K %# ， & K %! ， % ! 可公度， & 为其 一个公度； 否则， 称为不可公度 ! 引理 ! 两个非零实数 % # ， % ! 可 公度 的 充 分 必 % 要条件为 # 为有理数 ! %! 证明 若 % # ， 则存在正 实 数 & 及 整 % ! 可公度， 数 $， 使得 % # J $& ， 于是 ’， % ! J ’& ， %# $ J 为有 理 ’ %!
文章编号： （!$$%） #B%#C#"#D $#C$$BEC$B
周期函数及其最小正周期
侯文超
（北京工商大学，北京 #$$$D%） 摘 要：研究了周期函数及其最 小 正 周 期 的 若 干 问 题 A 全 文 分 为 三 部 份： 第一部份是关于最小正
周期的一般理论， 得到了周期函数有最小正周期 的 充分必 要条 件， 也获得了 “至 少 在 一 个 点 连 续 且 不恒等于常数的周期函数必有最小正周期” 的结论； 第二部份分析了两个周期函数之和的最小正周 期的问题， 给出了其一般表达式； 第三部份讨论了周期函数与某些类型的非周期函数构成的复合函 数的非周期性问题， 并得出相应结论 A 关键词：周期；最小正周期；公度；连续 中图分类号：F#%# 文献标识码：G %# % $ 为有理数， 设 #J ， 其中 $ ， ’ 为整 %! %! ’
由本例可以 看 出， 定 理 # 中 的 $ & ! #% 不 一 定 是最小正周期 ( 即 使 周 期 函 数 不 恒 等 于 常 数， 也可能有不可公 度的正周期 ( 例如， 设 ) ! ｛! ( " ! $ ) !， " 皆为整 数｝ ( 定义函数 （ & ’） !
{
# &
当 ’" ) 时 当 ’" * ) 时，
本文分为三 部 分： 第一部分研究周期函数及其 最小正周期的一 般 理 论； 第二部分探求两个周期函 数之和的最小正 周 期； 第三部分讨论有关复合函数 的非周期性问题 ! 为 行 文 方 便， 本文中所说的周期函数都是定义 在全体实数范围 内， 但各结果不难推广到定义域不 是全体实数的情形 !
若 数 ! 反之，
2"
北京工商大学学报 （自然科学版）
’""2 年 % 月
周期函数有最小正周期的必要条件 ! 例如， 函数 （ " #） !
{
｛# ｝ 当 # 为有理数时 " 当 # 为无理数时
Байду номын сангаас
（｛# ｝ 表示实数 # 的小数部 份 !［ # ］ 表 示 # 的整 数 部 分， 即 ［ #］ 为整数， 且满足不等式 ［ #］ ! # #［ # ］$ % ， 而｛# ｝ ［ #］ ） 有最小正周期 % ， 它 却 处 处不 连 续 ! !%& （如欲要 求 在 每 点 都 单 侧 也 不 连 续， 可以把（ 在 " #） 整数点的值改为 % !） ’ 由定理 ( 及定理 ’ 的推论可得到 至少在一个 点 连 续 且 不 恒 等 于 常 数 的
!
一般理论
为方便起见， 对两个实数 （即 使 不 是 整 数） 我们
正周期， & 为 其 一 公 度， % # J $& ， % ! J ’& ， * J（ $ ， 为 $， 则 % $ J *& 也 是（ ’） ’ 的 最 大 公 约 数， ( ) ）的 正周期 ! 证明 由初等数论知存在整数 ) ， 满足 )$ L +， 则 有 *& J )$& L +’& J )% # L +% ! ! 由 引 理 +’ J * ， !， *& 也是 （ ( ) ）的正周期 ! 推论 正周期 ! 实际上， 定理 # 中的 % $ 就可以取作这里的 & ! 例如， 对于函数 （ ( )） J 80* D ) ， %# J E 与 %! J D! 设 %# ， 的两个可公度的 %! 为 函 数 （ ( )） 的 正周期， 则存在 它们的 一个 公度 & ， & 也是 （ ( )）
第 !" 卷 第 # 期 BE !$$% 年 # 月
北京工商大学学报 （自然科学版） （ <+;()+, =40/*4/ >70;0’*） &’()*+, ’- ./010*2 3/45*’,’26 +*7 .(80*/88 9*0:/)80;6
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（#）
集合 ) 中所有非零元素都是 （ 的周期 ( 特别地， & ’） # 与! 的周期， 它们是不可公度的 ( $ 都是 （ & ’） 定理 ! 若周期函数 （ 有两个不可公度的周 & ’） 期， 则存在 （ 的 一 串 正 周 期 +# ， …， 满 足 +# * & ’） +$ ， 并且当 " # + 时 + " # & ( +$ ， * …， 证明 设 ， + # ! + $ , # ( + ’ （ , # 为整数， &$ + ’ , + $ ） 显然 + ’ % & ， 并 且 +$ ， （否 则， +’ 不 可 公 度 +# ， +$ 可 公 度） ， 同样地， ， + $ ! + ’ , $ ( +（ & , +% , +’， +’， + % 不可公度） % , $ 为整数， …… + " - # ! + "," - # ( + " ( # （ , " - # 为整数， ， & , +" ( # , +" ， +" ， + " ( # 不可公度） …… 于是得到一数 串 + # ， … ( 由 于 +# ， +$ ， +$ 是 （ & ’） 的周期， 故 +’ ! +# - +$ ,# 也 是 （ 的 周 期， 由此更 & ’） 有 + % ! + $ - + ’ , $ 也是 （ 的周期， …， 于是 + # ， … & ’） +$ ， 都是 （ 的周期 ( & ’） 由于 + # ， … 单 调 下 降， 且 有 下 界， 故有极限 ( +$ ， 设当 " # + 时 + " # - ( 注 意 到 每 个 , . & # 及 + . * （ . ! #， …） ， 便可看 出 + " - # & + " ( + " ( # * $ - ， $， +" - $ & …， 于 是 &$ - , +" - # ( +" * ’ - ， + # * + $ ( + ’ * "- ， +# " 设 $# ， 的两 个 周期， 它们 $ $ 为函数 （ & ’） 不可公度 ( 不妨设 $ # * $ $ * & ， 取 + # ! $# ， 更 + $ ! $$ ，
（ "# +） ， - ! & ( 定理 $ 得证 ( #& 推论 若 周 期 函 数 有 最 小 正 周 期， 则它的任何 两个周期都是可公度的 ( 本推论之逆不真 ( 例如， ./0/12345 函数 （ & ’） !
{
# &
当 ’ 为有理数时 当 ’ 为无理数时，
（$）
所有的非零有理 数 都 是 它 的 周 期， 所有的无理数都 不是它的周期， 它的任何两个周期都是可公度的， 然