初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二
一、单项选择题
1、=),0(b （ ）.
A b
B b -
C b
D 0
2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.
A a
B b
C 1
D b a +
3、小于30的素数的个数（ ）.
A 10
B 9
C 8
D 7
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C (mod )ac bc m ≡/
D b a ≠
5、不定方程210231525=+y x （ ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解
6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
7、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≥
D b a ±=
8、公因数是最大公因数的（ ）.
A 因数
B 倍数
C 相等
D 不确定
9、大于20且小于40的素数有（ ）.
A 4个
B 5个
C 2个
D 3个
10、模7的最小非负完全剩余系是( ).
A -3，-2,-1,0,1,2，3
B -6，-5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5，6
D 0,1,2,3,4，5，6
11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.
A [12，15]不整除7
B （12，15）不整除7
C 7不整除（12，15）
D 7不整除[12，15]
12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.
A 有解
B 无解
C 无法确定
D 有无限个解
二、填空题
1、有理数
b
a ，0,(,)1a
b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.
5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.
7、+=][x x （ ）.
8、同余式)321
(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).
11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).
12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）
3、求⎪⎭
⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321
(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?
6、求解不定方程18116=-y x .
7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
《初等数论》期末练习二答案
一、单项选择题
1、C
2、C
3、A
4、A
5、A
6、B
7、D
8、A
9、A 10、D 11、B 12、B
二、填空题
1、有理数
b
a ，1),(,0=
b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).
4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.
5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.
7、+=][x x （ }{x ）.
8、同余式)321
(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.
10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).
11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).
12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
解：因为（24871,3468）=17
所以[24871,3468]= 17
346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）
解：因为（107，37）=125，所以有解；
考虑137107=+y x ，有26,9-==y x ，
所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，
所以通解为t y t x 107650,37225--=+=
3、求⎪⎭
⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 解 把⎪⎭
⎫ ⎝⎛563429看成Jacobi 符号,我们有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=----27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167
11311327)1(27132113.2127=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--, 即429是563的平方剩余.
4、解同余式)321
(m od 75111≡x .（8分） 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x .
我们再解不定方程2510737=+y x , 得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的80-=x .
因此同余式的3个解为
)321(mod 8-≡x ,
)321(mod 99)321(mod 3
3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3
32128≡⨯+-≡x .
5、求[525,231]=?
解：解：因为（525,231）=21
所以 [525,231]= 17
231525⨯=5775
6、求解不定方程18116=-y x .
解：因为（6，11）18，所以有解；
考虑1116=+y x ，有1,2-==y x 。

所以，特解为18,36==y x ，
通解为t y t x 618,1136-=-=。

7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？（8分）
解 我们容易知道1847是素数,所以只需求⎪⎭
⎫ ⎝⎛1847365的值. 如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.
因为735365⨯=,所以
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛184773184751847365. 再)4(mod 173),4(mod 15≡≡,所以
1525184718475-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛,
.17471111711731 73117327322731847184773-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以, ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1847365=1. 于是所给的同余式有解.
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
解 因为
52111=-,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 又因为
112≡,422≡,932≡,542≡,352≡,
所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）
证明 因为
=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,
n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,
所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =
).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a
而上面等式右边的每一项均是9的倍数,
于是所证明的结论成立.
2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）
证明 因为)3(mod 12-≡,所以
)3(mod 1)1(12+-≡+n n .
于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .
从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明 （1）设2
2b a m +=,则显然222)()(rb ra m r +=.
（2）如果22d c n +=,那么 222222222222))((d b c b d a c a d c b a mn +++=++=
=)2()2(22222222abcd c b d a abcd d b c a -++++
=22)()(bc ad bd ac -++.
4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)
证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:
a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.
因为10≡0(mod5),
所以我们得到
)5(mod 0a a ≡
所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
证明 首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即
r q b a '+'=,b r '≤0.
所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r '=.
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……
则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使
()b q a qb 1+≤ .
我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.。