微纳系统仿真大作业

2015年作业：

1、 用有限差分法和有线元方法把以下问题变成数值方程，并说明两种方法的异同：

2(,)0x y ϕ∇=

边界条件： (,0)(,1)0;

(0,)(1,)1;

x x y y ϕϕϕϕ====

解：

(1) 有限差分法

由题意0),(2=∇y x ϕ，可知即：

02222=∂∂+∂∂y

x ϕ

ϕ 对变量离散取值，并用对应的离散的函数值代替微分方程中独立变量的连续取值，分别求出变量x ,y 的差分表达式。

将x 轴划分为m 等分，则m

x x h x min

max -=

为变量x 的差分步长，节点表示为1,...2,1-=m i ，则一阶偏导数的差分表达式为，

x

i i h y x y x x )

,(),(1ϕϕϕ-=

∂∂+ 二阶偏导数的差分表达式为，

x

i i i x x i i x

i i h y x y x y x h h y x y x h y x y x x x x 2111122),(2),(),(),(),(),(),()

(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-+=---=∂∂∂∂=∂∂-+-+同理，对于变量y ，将y 轴划分为n 等分，n

y y h y min

max -=为变量y 的差分步长，节点表示为1,...2,1-=n j ，则

y

j j j h y x y x y x y 21122)

,(2),(),(ϕϕϕϕ-+=

∂∂-+ 综上，0),(2=∇y x ϕ的有限差分表达式为，

)

,(2),(),(),(2),(),(211211=-++-+-+-+y

j i j i j i x j i j i j i h y x y x y x h y x y x y x ϕϕϕϕϕϕ

式中1,...2,1,1,...2,1-=-=n j m i 。 略去高阶无穷小，取y

x

h

h

=，由20xx yy u u u ∇=+=得

()()()()(),,,,4,0u x h y u x h y u x y h u x y h u x y ++-+++--=

定义域离散，离散点为(),i j x y ，则上式可化为

()()()()(),,,,4,0i j i j i j i j i j u x h y u x h y u x y h u x y h u x y ++-+++--=

定义域为01,01x y ≤≤≤≤，将其等分为33⨯单元。节点编号从()()0,02,2到，则

1,1,,1,1,40i j i j i j i j i j u u u u u +-+-+++-=

其位移矢量为

()()()()()()()()()0,00,10,21,01,11,22,02,12,24110141101410141101411

0114101410

11410140u u u u u u u u u ⎡⎤

⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

由边界条件

(,0)(,1)0;

(0,)(1,)1;

x x y y ϕϕϕϕ==== 可知()()()()0,00,22,02,2,,,u u u u 有冲突，可以区位均

值即()()()()0,00,22,02,20.5u u u u ====，而()()1,11,20u u ==，()()0,12,10u u ==，带入化简即可求得()1,1u (2) 有限元法

使用有限元法的计算流程为：

求解区域离散化；

构造插值函数形成分段光滑的坐标函数系； 用 Ritz 方法求解微分方程 对2(,)0x y ϕ∇=构造函数

()22

1,2x y dxdy x x ϕϕϕ⎡⎤

∂∂⎛⎫⎛⎫∏=+⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

首先将整个区域离散为三角形的子区域如下图， 三角形微小子区域中的值由三 角形节点值的插值结果表示，即

(),i i j j k k x y N N N ϕϕϕϕ=++

其中

,,i j k

N N N 为三角形的节点插值函数，

,,i j k

ϕϕϕ为函数

()

,x y ϕ在节点 ,,i j k

处的函数值。

可知每一个三角形子区域中泛函可由节点插值函数和节点函数值表示， 那么对于整个求解区域的泛函表达式为

()[]123,,,...n x y ϕϕϕϕϕ∏=∏⎡⎤⎣⎦

由变分原理可知

12...0n

ϕϕϕ∂∏∂∏∂∏

====∂∂∂ 计算这 n 个方程即可得到整个求解区域的值 (3) 有限元法与差分法的区别

相同的地方：两种方法都使用了离散化的思想，对求解域进行离散。 不同的地方：

a) 有限元法有更好的边界适应性，有限元法的单元不限于均匀规则单元，

单元形状可以有一定的任意性，大小也可以不同，且单元边界可以是曲线或曲面，不同形状单元可进行组合，因此可以处理任意复杂边界的结构；

b)有限元统一对待区域内的节点与边界上的节点，因此每个节点的计算精

度总体上协调；而有限差分必须分别处理微分方程与定解条件；

c)有限元法是各种单元可以混合使用，所以写不出方程也可以求解；有限

差分法划分的网格是规则的，对方程进行离散化，就是用很多个差分代

替微分。

2、请看Microrobot的说明文件（这个文件可以在COMSOL3.5中打开Model

Library----→ Thermal Structure Interaction---→Microrobot 3D），详细看懂说明书该问题的分析，用自己熟悉的3D工具进行建模，用COMSOL更高版本进行仿真。

解：（1）建模

采用UG软件进行三维建模，然后另存为model格式文件，UG建模如图1所示。

3、图1 采用UG对微机器人腿建模

（2）使用COMSOL仿真

在COMSOL导入上述模型保存的model文件（如下图2所示），设定边界条件和参数对其进行分析。