线性空间维数与基的求法

线性空间维数与基的求法

维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色

凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响

例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A

解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A α

ai b --=，

而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A

解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。

可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。

2.数域P 对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响

文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式ξλξ0=A 中的0λ是取自线性

空间V 所依赖的数域P 的，也就是说线性空间V 的线性变换特征值的求解范围数域P 。进而，根据同一线性变换在不同基下矩阵相似的性质将任一矩阵对角化的时候，也就会产生不同的结果。

例3：线性变换A 在某一组基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=011101120A ，易知它的特征多项式是13-λ，那么它在实数域和复数域上的解的情况是不一样的，A 在实数域上的特征值为1=λ，而A 在复数域上的特征值为2

312311321i i --=+-==λλλ，，。所以，矩阵A 在实数域上是无法相似于一个对角矩阵的，而在复数域上可以。

3. 数域P 对一向量组线性相关性判别的影响

一般我们判定一组向量n ααα，，　

， 21的线性相关性，是根据向量方程 02211=+++n n k k k ααα 的系数是否是全为零来判定的。而n k k k ，，　

， 21应该是在某一个特定数域内来求解的。比如在维数确定的问题上，我们通常的做法是这样的：先取一个非零向量，在此基础上再添加非零向量进行扩充，然后判断所得向量组是否线性无关，进而求得线性空间中的一极大无关组来确定维数。

例4：分别在复数域上和实数域上考虑，任意两个非零复数bi a +和di c +的线性相关性，当然这里的数组)(b a ，与)(d c ，是不能对应成比例的

解：在复数域上求解向量方程0)()(21=+++di c k bi a k ，可以取11-=k ，

di

c bi a k ++=2，所以在复数域上两个非零复数bi a +和di c +是线性相关的。 而在实数域上求解的话，只能求得021==k k ，所以在实数域上两个非零复数bi a +和di c +是线性无关的。同理，如果再任意添加非零向量fi e +则可判断必然线性相关。

可见，复数域在复数域上考虑极大线性无关组是任意非零复数bi a +，而在实数域上考虑极大线性无关组则是任意两个非零复数bi a +和di c +。

综上所述，在处理与线性空间有关的问题时，涉及到数乘向量的运算的时候，其中数的范围均不能离开线性空间依赖的数域P ，而这一点也正是从线性空间的定义中来。

二、线性空间V 的基该如何确定？

1.基是不唯一的。

根据基的定义，只要是线性空间V 中的极大线性无关向量组都可以作为V 的一组

基。但是，为了用坐标（n 维向量）表示向量的方便，基的选取要尽量简单，但都要符合这一基线性无关的基本要求。

2.如何确定？

在线性空间V 中任取．．

一向量α，将其表成线性空间V 一线性无关向量组的线性组合 的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。

例5：求)(211αα，L V =与)(212ββ，L V =的交的基和维数。

设⎩⎨⎧-==),1,111(),2,1,01(21，αα，⎩⎨⎧-=-=)1,3,71(),0,112(2

1，，ββ 解： 任取21V V ∈α，则22111ααααx x V +=∈，，且22112ββααy y V +=∈，， ββααα2112211y y x x +=+=，（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出） 02112211=--+∴ββααy y x x ，下求2121,,,y y x x

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+=+-+=---0

030202212221

21212121y y x y x x y y x x y y x x ７ ，解得),3,4,(),,,(2121k k k k y y x x --= )4,3,2,5()3()4(2121-=+-=-=∴k k k ββααα，故21V V 是一维的，基是)4,3,2,5(-。易知)4,3,2,5(-是非零向量，是线性无关的。

例6：确定复数域作为复数域上的线性空间和实数域上的线性空间的维数和基 解：可先用扩充的方法寻求复数域上的极大无关向量组，进而知道线性空间的维数。 由上例3可知，复数域作为一个线性空间，在复数域上是一维的，而实数域上是二维的。

现任取一非零复数bi a +。在复数域上可线性的表示为1)(⋅+=+bi a bi a ，这时数1就是复数域线性空间的一组基；在实数域可线性的表示为i b a bi a ⋅+⋅=+1，这时数1与i 就是复数域线性空间的一组基。

线性空间作为高等代数一个重要的概念，这个概念在后续概念的学习中均有渗透。本文主要从数域P 对一些问题的判断的影响上探讨它在线性空间V 中的作用，同时结合例题指出了求维数与基的一般方法。通过这样系统的讨论，希望能对学生认识线性空间及其他的一些相关概念有一定的积极作用，同时能够弥补教材对于这一方面内容处理不够具体的欠缺。