材料力学——5梁的变形与刚度计算
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3、积分常数由位移边界条件确定。
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
§5-5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施
1,梁的刚度校核
max
l
l
例题 8.14 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度
L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa， 梁的许可挠度[ω/L]=1/500。试选择工字钢的型号。
q
1.按强度选择
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1aD12Da2 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb3y2CaL13C1aCC2F1Lb2 6FDxLb126FL2FL3bL12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF16a2Fa3aFaCba22LL623LC0bC2 22a D2
EI z2
界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
A
EI z
aB
L
y 连续条件
Me
Cx
共有四个积分常数
边界条件
x0
yA 0
A 0x ຫໍສະໝຸດ a L yC 0xayB1 yB2
§5-4 按叠加原理计算梁的挠度和转角 叠加法计算位移的条件：
✓1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； ✓2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系； ✓3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
A
C
L 2a
L 2a
B
查表：选16号工字钢
2.按刚度选择
q
A L 2a C
q
L 2a
A C
q
max B1 B2 B3
B
B1Lmax
q24a1q4 a3
8E4I8ZEIZ
L
1 500
B IZ 4B122245E0C qa3
查表B3：选C2a 2a号工字钢
2,提高刚度的途径
提高刚度主要是指减小梁的弹性位移
弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度 (EIZ)有关
对于梁,其长度对弹性位移影响较大.
因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯 性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则 可增加中间支座.
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
x 0 x L
EI z B
2FLbB
L2F1aFbLL aa2
2 6EIz L
Fb
L2 b2 6L
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
EIzC
Fb 2L
a2
Fb
L2 b2 6L
C
Faba b
3L
Fb 2L
x0 2
Fb
L2 6L
b2
0
x0
L2 b2 3
F
x
A
yA
A
l
M x Fx
B
x
ddxEEIIzz
dFMx2 ( dx 2EI
x)CFd1xxdx
Z
CC1 1
y
边界条件
x L B 0 x L B 0
x0
A
FL2 2EI z
EEIIzz FF2x6x23dxCC11xx C22
CC1 23F2FEELIL3Iz2z
A
FL3 3EIz
例题 5.10
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中
截面挠度yc和梁端截面的转角θAθB.
F
q
B c qc Fc
A
C
EI z
l2
l2
qc
5qL4 384EIz
Fc
FL3 48EIz
q
B
c
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C
EI z
l2
l2
F
B
A
C
EI z
l2
l2
例题 5.11
出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的
边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
q
边界条件
A
Cx
B
EI z
k
x 0 A 0
l2
l2
xL
yC
Fc k
qL 8k
y
连续条件
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.7
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
计算C点挠度
A
B
C
l
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表
C
1 2
5q0 L4 384EIZ
例题 5.12 试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。
q
q
q2
EI z
EI z
A
C
B
DA
C
B
l2
l2
l2
l2
l2
q2
A
C
B
5 q L4
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件
全梁仅一个挠曲线方程
共有两个积分常数
C
q
EA
边界条件
L1
A
x
x 0 A 0
B
EI Z
xL
L
y
yB
LBC
qLL1 2EA
例题 5.9
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列
各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别
出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边
L
EI z 2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 b2 6L
x
Fb x2 1 Fx a2 Fb L2 b2
2L 2
6L
y
x
最大转角 " 0 M x 0
A
Fb L2 b2 6EIz L
Fab L b 6EIz L
最大挠度 " 0 令x=a
EI z2
Fb 6L
x3
1 6
Fb L
x
0 xa
Fb L
y
CB段
x
EEIIzz22"
x
l
M2FLb2
C
xx212FFLbx
x
a
F2
M Fa L
AC段
xC2a
x
2x
Fb L
x
F x
a
axL
EEEIIzIzz11"1M2F6F1LbLbxxx23CCF11LxbxD1
0D1 00 0 x L yL
0
EIz2
Fb 6L
x3
1 6
l2
l2
C
2 384EIz
C
A
B
l2
l2
例题 5.13 变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.
EI z1
EI z2
C1
FL32 3E I z 2
A
L1
B
L2
C
BF
FL13 3EIz1
B A
B
C
BM
FL2 L12 2EIz1
C2 yBF yBM
C3 BF BM L2
C
c C1 C2 C3
dx
)
2
3
d 2
dx2
M (x)
1
(
d
dx
)
2
3
EIZ
d 2
dx2
M (x) EIZ
d 2
M (x)
dx2 EIZ
o
xo
x
M
M
d 2
dx2
0
y
d 2
M (x)
dx2 EIZ
M
M
d 2
dx2
0
y
梁挠曲线近似微分方程
§5-3 积分法计算梁的位移
A
d 2
dx2
M (x) EIZ
y
C
C
Bx
Fx2 FL2
2EIz 2EIz
Fx3 FL2 x FL3
6EIz 2EIz 3EIz
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
A
x
l
y
边界条件
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EI z
M x 1 qL x2
B
2
x
EIz"
M
x
1 2
q
L
x
2
EIz'
EIz
1 6
qL
x3
C1
d
dx
ME在I(小Zx变)形d情x况下，C任一1 截面的t转a角n 等于B挠dd曲x 线
在该截面处的切线斜率。
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
EIz
1 24
qL
x4
C1x
C2
C1
qL3 6EI z
C2
qL3 24 EI z
B
qL4 8EIz
q L x3 L3 6EI z
q L x4 4L3x L4 24 EI z
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的
最大挠度。
a A
F b
B
M1x x
第五章 梁的变形及刚度计算
§5-1 梁的位移---挠度及转角
位移的度量
A
挠曲线－－
梁变形后各截面
形心的连线
ω－挠度
A
θ－转角
挠度向下为正，向上为负. y
转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。
F C
l
B
C
ω
C
Bx
B
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程
1 M (x)
EI Z
1
d 2
dx2
1
(
d
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI z1
EI z2
x
A
L2
B
L2
C
y
共有四个积分常数
边界条件
x0
连续条件
yA 0
A 0
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.8
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
转角为零的点在AC段
b1L 2
b0
x0
1 2
L
3 x0 3 L 0.577L
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲 线在中间铰处，挠度连续， 但转角不连续。
1 2
1 2
例题 5.5
F
A
B
a
y
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
§5-5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施
1,梁的刚度校核
max
l
l
例题 8.14 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度
L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa， 梁的许可挠度[ω/L]=1/500。试选择工字钢的型号。
q
1.按强度选择
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1aD12Da2 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb3y2CaL13C1aCC2F1Lb2 6FDxLb126FL2FL3bL12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF16a2Fa3aFaCba22LL623LC0bC2 22a D2
EI z2
界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
A
EI z
aB
L
y 连续条件
Me
Cx
共有四个积分常数
边界条件
x0
yA 0
A 0x ຫໍສະໝຸດ a L yC 0xayB1 yB2
§5-4 按叠加原理计算梁的挠度和转角 叠加法计算位移的条件：
✓1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； ✓2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系； ✓3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
A
C
L 2a
L 2a
B
查表：选16号工字钢
2.按刚度选择
q
A L 2a C
q
L 2a
A C
q
max B1 B2 B3
B
B1Lmax
q24a1q4 a3
8E4I8ZEIZ
L
1 500
B IZ 4B122245E0C qa3
查表B3：选C2a 2a号工字钢
2,提高刚度的途径
提高刚度主要是指减小梁的弹性位移
弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度 (EIZ)有关
对于梁,其长度对弹性位移影响较大.
因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯 性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则 可增加中间支座.
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
x 0 x L
EI z B
2FLbB
L2F1aFbLL aa2
2 6EIz L
Fb
L2 b2 6L
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
EIzC
Fb 2L
a2
Fb
L2 b2 6L
C
Faba b
3L
Fb 2L
x0 2
Fb
L2 6L
b2
0
x0
L2 b2 3
F
x
A
yA
A
l
M x Fx
B
x
ddxEEIIzz
dFMx2 ( dx 2EI
x)CFd1xxdx
Z
CC1 1
y
边界条件
x L B 0 x L B 0
x0
A
FL2 2EI z
EEIIzz FF2x6x23dxCC11xx C22
CC1 23F2FEELIL3Iz2z
A
FL3 3EIz
例题 5.10
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中
截面挠度yc和梁端截面的转角θAθB.
F
q
B c qc Fc
A
C
EI z
l2
l2
qc
5qL4 384EIz
Fc
FL3 48EIz
q
B
c
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C
EI z
l2
l2
F
B
A
C
EI z
l2
l2
例题 5.11
出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的
边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
q
边界条件
A
Cx
B
EI z
k
x 0 A 0
l2
l2
xL
yC
Fc k
qL 8k
y
连续条件
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.7
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
计算C点挠度
A
B
C
l
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表
C
1 2
5q0 L4 384EIZ
例题 5.12 试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。
q
q
q2
EI z
EI z
A
C
B
DA
C
B
l2
l2
l2
l2
l2
q2
A
C
B
5 q L4
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件
全梁仅一个挠曲线方程
共有两个积分常数
C
q
EA
边界条件
L1
A
x
x 0 A 0
B
EI Z
xL
L
y
yB
LBC
qLL1 2EA
例题 5.9
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列
各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别
出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边
L
EI z 2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 b2 6L
x
Fb x2 1 Fx a2 Fb L2 b2
2L 2
6L
y
x
最大转角 " 0 M x 0
A
Fb L2 b2 6EIz L
Fab L b 6EIz L
最大挠度 " 0 令x=a
EI z2
Fb 6L
x3
1 6
Fb L
x
0 xa
Fb L
y
CB段
x
EEIIzz22"
x
l
M2FLb2
C
xx212FFLbx
x
a
F2
M Fa L
AC段
xC2a
x
2x
Fb L
x
F x
a
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EEEIIzIzz11"1M2F6F1LbLbxxx23CCF11LxbxD1
0D1 00 0 x L yL
0
EIz2
Fb 6L
x3
1 6
l2
l2
C
2 384EIz
C
A
B
l2
l2
例题 5.13 变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.
EI z1
EI z2
C1
FL32 3E I z 2
A
L1
B
L2
C
BF
FL13 3EIz1
B A
B
C
BM
FL2 L12 2EIz1
C2 yBF yBM
C3 BF BM L2
C
c C1 C2 C3
dx
)
2
3
d 2
dx2
M (x)
1
(
d
dx
)
2
3
EIZ
d 2
dx2
M (x) EIZ
d 2
M (x)
dx2 EIZ
o
xo
x
M
M
d 2
dx2
0
y
d 2
M (x)
dx2 EIZ
M
M
d 2
dx2
0
y
梁挠曲线近似微分方程
§5-3 积分法计算梁的位移
A
d 2
dx2
M (x) EIZ
y
C
C
Bx
Fx2 FL2
2EIz 2EIz
Fx3 FL2 x FL3
6EIz 2EIz 3EIz
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
A
x
l
y
边界条件
x0 0
x0 0
xL
B
qL3 6EI z
M x 1 qL x2
B
2
x
EIz"
M
x
1 2
q
L
x
2
EIz'
EIz
1 6
qL
x3
C1
d
dx
ME在I(小Zx变)形d情x况下，C任一1 截面的t转a角n 等于B挠dd曲x 线
在该截面处的切线斜率。
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
EIz
1 24
qL
x4
C1x
C2
C1
qL3 6EI z
C2
qL3 24 EI z
B
qL4 8EIz
q L x3 L3 6EI z
q L x4 4L3x L4 24 EI z
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的
最大挠度。
a A
F b
B
M1x x
第五章 梁的变形及刚度计算
§5-1 梁的位移---挠度及转角
位移的度量
A
挠曲线－－
梁变形后各截面
形心的连线
ω－挠度
A
θ－转角
挠度向下为正，向上为负. y
转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。
F C
l
B
C
ω
C
Bx
B
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程
1 M (x)
EI Z
1
d 2
dx2
1
(
d
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI z1
EI z2
x
A
L2
B
L2
C
y
共有四个积分常数
边界条件
x0
连续条件
yA 0
A 0
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.8
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
转角为零的点在AC段
b1L 2
b0
x0
1 2
L
3 x0 3 L 0.577L
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲 线在中间铰处，挠度连续， 但转角不连续。
1 2
1 2
例题 5.5
F
A
B
a
y
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列