平行四边形的存在性问题解题策略

04平行四边形的存在性问题解题策略
1．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行
四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。

【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为c bx ax y =+=2。

根据题意，得、
⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-.1,039,0c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=-==.
1,32,31c b a
∴所求抛物线的表达式为.13
2
312--=
x x y （2）①当AB 为边时，只要PQ//AB ，且PQ=AB=4即可，
又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P 有两个，分别记为P 1，P 2。

而当x=4时，.7,4,3
5
=-==
y x y 时当 此时).7,4(),3
5
,4(21-P P
②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，
又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，
∴点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个，记为P 3， 而当x=2时，y=-1，此时P 3（2，-1） 综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),3
5
,4(321--P P P P 为
1. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2
y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点
(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直
线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；
（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．
图① 备用图
【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即2
23y x x =+-．
（2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ， ∴点C 的坐标是(5,0)C ．
将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．
设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2
(,23)t t t +-．
∵点K 为线段AB 上一动点， ∴31t -≤≤．
∴2
2
2
341(5)(23)38()2
4
HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++
． ∵3
312-≤-
≤， ∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值41
4
．
（3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点 (5,0)C ， ∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行， ∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上 ，
∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2
(,23)N n n n +-．
∵点(3,0)A -，点 (5,0)C ，∴8AC =． 分情况讨论：
① 若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，且
MN ＝AC ＝8．
当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-． ∴38n -=，解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．
当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-．
∴38n -=，解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．
②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点
B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐
标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ． 将1x =-代入2
23y x x =+-，得4y =-．
过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ． 在△BPN 和△BFM 中，
∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．
∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．
∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．
2、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点
C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？
并求出最小值及此时PQ 的长．
*26．解：（1）
抛物线2
(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，
3
09333
a a ∴=+∴=-
··········································································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333
y x x =-
++ ··························································· 3分 （2）
D 为抛物线的顶点(133)D ∴，
过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，°
····························································· 4分 OM AD ∥
①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形
66(s)OP t ∴=∴= ························································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形
过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =
（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）
55(s)OP DH t ∴=== ·············································································································· 6分
x
y
M C
D
P
Q
O A
B N E H
x
y
M C D
P
Q
O
A
B
③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形
26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=
综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 （3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，， 过P 作PE OQ ⊥于E ，则3
2
PE t =
······················································································· 8分 113
633(62)222
BCPQ S t t ∴=⨯⨯-⨯-⨯
=2
3363
3228
t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ··················································································································· 9分 当32t =
时，BCPQ S 的面积最小值为63
38
··············································································· 10分
∴此时33
39
33
3324
44
4
OQ OP OE QE PE ==
∴=-
==
，=， 2
2
2233933442PQ PE QE ⎛⎫⎛⎫
∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ································································ 11分 3.（2009年内蒙古包头）已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． y
x
O
B
A
D
C
(F 2)F 1 E 1 (E 2)
y
x
O
26．（12分）
解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
，
，
解得132a b c =-==-，，．
232y x x ∴=-+-． ···································· （2分）
（2）当EDB AOC △∽△时， 得
AO CO ED BD =或AO CO
BD ED
=
， ∵122AO CO BD m ===-，，，
当
AO CO ED BD =时，得12
2
ED m =
-， ∴2
2
m ED -=，
∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ··············································································· （4分） 当
AO CO BD ED =时，得12
2m ED
=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，
． ··············································································· （6分） （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则
1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，
当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，
时，点1F 的坐标为212m m -⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，，
∵点1F 在抛物线的图象上， ∴
22(1)3(1)22
m
m m -=--+--， ∴2
211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=， ∴7
22
m m =
=，（舍去）
， ∴1532
4F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
， ∴33
144
ABEF
S
=⨯
=． ··········································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，
∴2
42(1)3(1)2m m m -=--+--， ∴2
7100m m -+=，
∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，
∴2(46)F -，
， ∴166ABEF
S
=⨯=． ·········································································································· （12分）
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．
4、（2009柳州）如图11，已知抛物线b ax ax y --=22
（0>a ）与x 轴的一个交点为
(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．
①求抛物线的解析式；
O x
y
A B
C
D
图11
②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，
且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标． 解：（1）对称轴是直线：1=x ，
点A 的坐标是（3，0）． ····································································· 2分 （说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分） （2）如图11，连接AC 、AD ，过D 作轴 y DM ⊥于点M ， 解法一：利用AOC CMD △∽△
∵点A 、D 、C 的坐标分别是A （3，0），D （1，b a --）、
C （0，b -），
∴AO ＝3，MD =1． 由
MD OC CM AO =
得1
3b
a = ∴03=-a
b ············································································································ 3分 又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02
··········································································· 4分
∴由⎩
⎨⎧=-=-0303b a ab 得⎩⎨⎧==31b a ············································································· 5分
∴函数解析式为：322
--=x x y ································································ 6分
解法二：利用以AD 为直径的圆经过点C
∵点A 、D 的坐标分别是A （3，0） 、D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴29b AC +=，21a CD +=，2)(4b a AD --+=
∵2
22AD CD AC =+
∴03=-ab …① ······························································································· 3分 又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02
…② ······························································· 4分
由①、②得13a b ==，
·············································································· 5分
∴函数解析式为：322
--=x x y ······································································· 6分
（3）如图所示，当BAFE 为平行四边形时 则BA ∥EF ，并且BA ＝EF ．
∵BA =4，∴EF =4
由于对称为1=x ，
∴点F 的横坐标为5． ······················································· 7分 将5=x 代入322
--=x x y 得12=y ，
∴F （5，12）． ·································································· 8分 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点
F ，使得四边形BAEF 是平行四边形，此时点F 坐标为（3-，12）． 9分
当四边形BEAF 是平行四边形时，点F 即为点D ，
此时点F 的坐标为（1，4-）． ······································· 10分 综上所述，点F 的坐标为（5，12）， （3-，12）或（1，4-）． （其它解法参照给分）
5、(2009烟台市) 如图，抛物线2
3y ax bx =+-与x 轴交于A
B ，两点，与y 轴交于
C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使
以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重
y
x
O A B C
D
图11
E F
合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；
（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出
结论）． O B x
y
A M
C 1
3-。