北师大版 换底公式
2025年北师大版高中数学必修第一册课件 4.2.2换底公式
随堂练
随堂练
经验一
1.在求对数式的值时,若底数不同,运用换 底公式化为同底的对数,再利用对数运算 性质计算. 2.要注意换底公式的正用、逆用及常用推 论的应用.
2.换底公式在对数表示中的应用
2.换底公式在对数表示中的应用
例2. （2）设a>0,且a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,
4.换底公式与数学文化
例4.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩
留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩
留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
解: 设最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.则 经过1年,剩留量是y=0.841; 经过2年,剩留量是y=0.842; ...... 经过x年,剩留量是y=0.84x .
用logax表示logay,并求当x取何值时,logay取得最小值.
统一为a为底
复合二次，配方法。 也可以用换元法， 将来重点讲。
随堂练
已知log62=p,log65=q,则lg 5=
.(用p,q表示)
3.换底公式在条件求值中的应用
随堂练
经验二
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵 活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条 件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. 2.对于这类连等式可令其等于k(k>0),然后将指 数式用对数式表示,再由换底公式就可将指数 的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
所以，约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半
随堂练
某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,
其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为
高中数学 第3章 §4 4.2 换底公式优质课件 北师大版必修1
中
第十一页，共23页。
利用(lìyòng)换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a lg a lg b lg c
1
第十二页，共23页。
（非1的正数）
第八页，共23页。
知识(zhī shi)探究
思考1: lo与ga b 有l什og么b a关系？
loga
b=
lg lg
b a
log b
a
lg a lg b
互为倒数 (dǎo shù)
第九页，共23页。
思考2: logan N 与 loga N有什么(shén me)关系？
logan N
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用 运算法则进行(jìnxíng)化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计算 器或对数表得到结果.
第十四页，共23页。
【变式练习(liànxí)】
计算(jì
slougàn2 )1：215
log3
1 32
log5
1 3
解:
log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2 5 (5log3 2) ( log5 3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
第十五页，共23页。
例2：用科学(kēxué)计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431； log1.0822≈8.795.
高中数学北师大版必修一3.4.2【教学课件】《换底公式》
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例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原 来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。（结果保 留1个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则经过 1 年，剩留量是 y 0.84 ；经过 2 年，剩留量是 y 0.84 ；……经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
lg 48 ln 0.550 5.585 ； log8 解： log 2 48 ln 8 lg 2
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课堂练习
1.利用科学计算器计算：
log 2 10 ； log2 100 ； log 2 50 ； log3 20 ； log3 1000 ； log5 0.99
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课堂练习
1 m 2.利用换底公式证明： （1） log am b ； （2） logam b loga b m logb a
证明:(1)
logb b 1 log am b m logb a m logb a
m m
(2)
log a b m log a b log am b log a b m log a a m log a a
如果对①式两边取自然对数，得 x ln 2 ln15 所以 log 2 15
ln15 3.906 890 6 ln 2
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问题 2 如果 a 0 且 a 1 ，你能用以 a 为底的对数式来表示 log 2 15 吗？
答：如果对①式两边取以 a 为底的对数，
log a 15 得 x loga 2 loga 15 所以 x log a 2
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.2.2换底公式(带答案)
2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
高中数学第三章指数函数和对数函数4.4.2换底公式课件北师大版必修
因为a190
x
1 ≤a×2
⇒190
x
1 ≤2
，
所以x(2lg 3－1)≤－lg 2，
所以x≥ 0.301 0 1－2×0.477 1
≈6.572，所以xmin＝7.
答案：y＝a190 x (x≥1，x∈N) 7
2．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声 音的大小：把一很小的声压p0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压p与 参考声压p0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学 中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，60～110为过 渡区，110以上为有害区． (1)根据上述材料，列出声压级y与声压p的函数关系式． (2)某地声压p＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？
【解析】(1)由已知得y＝20lg
p p0
(其中p0＝2×10－5帕).
(2)当p＝0.002帕时，y＝20lg
0.002 2×10－5
＝20lg 102
＝40(dB).
由已知条件知40 dB小于60 dB，所以此地为无害区，声音环境优良．
学情诊断•课堂测评
1．(log29)·(log34)＝( )
能力形成•合作探究
类型一 利用换底公式化简求值(逻辑推理、数学运算)
1．式子log916·log881的值为( )
A．18
B．118
C．83
【解析】选 C.原式＝ log32 24 ·log23 34
＝42log32
4 ·3log23
＝38
.
D．38
2. 1 ＋ 1 等于( )
log 1
北师大版高中数学 换底公式课件 (33张)
『规律总结』 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是利用对数的运算性质以及两边取对数的 方法计算求解．
〔跟踪练习 2〕 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v(m/s)和燃料的质量 M(kg)、火 箭(除燃料外)的质量 m(kg)的关系是 v＝2 000·ln(1＋Mm)．当燃料质量约是火箭质量 的多少倍时，火箭的最大速度可达到 10km/s(已知 e5≈148.4)?
命题方向2 ⇨换底公式在实际问题中的应用
典例 2 2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那 么经过多少年后的国民生产总值是2018年的2倍．(lg2取0.301 0，lg1.08取0.033 4，精确到1年)
[思路分析] 用方程的思想解决本题，设经过x年后变为原来的2倍，列出x 的方程，解出x.
『规律总结』 利用换底公式计算、化简、求值问题的思路： 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进行计 算； 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
〔跟踪练习1〕 求log37·log29·log492的值．
[解析] 原式＝llgg37·llgg92·llgg429＝llgg73·2llgg23·2llgg27＝1.
计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可利用换底公式化成同一底数，再进行运
算．
1 [规范解答] (1)log1618＝lloogg22186＝lloogg2222－43＝－43 ＝－34. (2)原式＝(llgg34＋llgg38)·llgg23 ＝(12×llgg32＋13×llgg32)·llgg23＝56·llgg32·llgg23＝56.
A．18
B．118
北师大版高中数学必修一精品学案换底公式
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 二、常用关系：1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a ab b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m ba m a n 三、例题：例1、求证：1log log =⋅a b b a例2、求下列各式的值。
(1)、log 98•log 3227(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)(3)、log 49•log 32(4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。
法二、换成以3为底的对数。
法三、换成以10为底的对数。
练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。
例4、已知12x =3,12y =2,求y x x+--1218的值。
练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A 方，则A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515lgA=lg22000+15×lg1.025=4.3424+15×0.0107=4.5029∴ A=131840教学无忧/专注中小学 教学事业！ 客服唯一联系qq 1119139686 欢迎跟我们联系答：15年后约有木材131840方。
北师大版高中数学必修一3.4.2换底公式课件
3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
7
-7-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
-5-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
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反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
-6-
4.2 换底公式
4.2
换底公式
-1-
4.2 换底公式
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Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
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1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2
高中数学北师大版必修一《换底公式》课件
•
单击此用处对编数辑（母或版自文然本对样数式）得
• 二级x lg 2 lg15所以 x lg1
5这样我们就可以用计
• 算三级器算出
lg 2
• 四级
• 五级 lg15 log2 15 lg 2 3.9068906
看来在计算中必须把对数的底数变换然今天我们 学习对数的换底公式
2024/11/14
• 四级
x0
1•
五级
2
3
45
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
2024/11/14
88
单击此处y编辑母版标题样式
• 单击此处编1 辑母版文本样式
• 二•级三级0.5
• 四级
0• 五级
4
x
由图象可以看出 y=0.5 只需x 4
答：大约经过4年剩余量是本来的1/2
2024/11/14
p logc N logc a
即证得
loga
N
logc logc
N a
2024/11/14
44
其他重要公式3:
单击此处编辑母1版标题样式
•
单击此处编辑lo母ga版b文 本lo样gb式a
• 二证级明:由换底公式 loga • 三级
a,b (0,1)
N logc N logc a
(1,)
• 四级
P • 单击此处编1辑0母2版练文习本第样2式，3题
• 二级
练• 习三级2 计算
(1)• l四o级•g五9级8.log32 27
(2)
log 2
1 125
.log3
1 32
.log5
1 3
练习3 用换底公式证明
北师大版高中数学必修一课件§44.2换底公式
那么与l哪og个c b对数相等？如何证明这个结论？
log a c
结论 : logc b logc a
=
loga
b
证明 : 令 logc logc
? logc b
b a= x?l源自gclogc bax ?
x logc a
b ax ?
x
loga b
? logc b logc a
loga b
换底公式
logb
知识应用
例2一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留
的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，该物质的剩留量
是原来的一半（结果保留1个有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则
经过1年，剩留量是y=0.84;
经过2年，剩留量是y=0.842; ……
经过x年，剩留量是y=0.84x;
1 32
log5
1 3
解:
(1) log9 8?log32 27
lg 8 ?lg 27 = 3lg 2 ?3lg 3 lg 9 lg 32 2 lg 3 5lg 2
9 10
(2)log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2
5
(5
log3
2)
(
log5
3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
高中数学课件
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4.2换底公式
学习目标
1.会证明对数的换底公式。 2.会利用对数的换底公式进行化简、求值等运算。
复习旧知
3.4.2对数的运算性质及换底公式(北师大版)
的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).
返回
1
1
1
lg 25 lg 8 lg 9
解析 原式＝ lg 2 ·lg 3 ·lg 5
－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3
＝
＝－12.
lg 2lg 3lg 5
解析答案
题型三
例3
换底公式、对数运算性质的综合运用
已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
15
已知 3 ＝5 ＝M，且a＋b＝2，则 M＝____.
跟踪训练 4
解析
a
b
1 1
由 3 ＝5 ＝M，得 a＝log3M，b＝log5M，故a＋b＝logM3＋logM5
a
b
＝logM15＝2，∴M＝ 15.
解析答案
易错点
例5
错解
忽视对数的限制条件致误
若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg
1
1
1
∴x ＝logk2，y ＝logk3， z ＝logk5，
1 1 1
由x ＋y ＋ z ＝1，得 logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
3.4.2换底公式 课件(北师大版必修一)
【题型示范】 类型一 用换底公式表示对数式
【典例1】
(1)(2014·九江高一检测)已知log73=a,log74=b,log4948=
(用a,b表示).
(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.
【解题探究】1.如何建立log4948同a,b的关系? 2.题(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示? 【探究提示】1.借助换底公式统一底数. 2.借助对数的定义求解b,然后利用换底公式把log3528换成以 14为底的对数.
1 ,b=log436= 1 . log36 3 log36 4
【巧妙解法】 等式3a=4b=36两边都取以10为底的对数,得lg3a= lg4b=lg36, 即alg3=blg4=lg36, 所以 2 =log369, 1 =log364,
a 所以 2＋ 1 =1. a b b
答案：1
【方法对比】 常规方法切入点简单,但步骤有点复杂,倘若对对数的运算性质 不熟,则会导致运算错误,而巧妙解法直接统一底数,思路清晰, 方便快捷.
【教你一招】
处理“指数式和对数式”问题的换底技巧
题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,为 了便于运算,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同 底数的对数,如本例中直接取常用对数,然后应用对数运算性质 进行计算.
【类题试解】设3a＝5b＝ 15 ，则 1 ＋ 1 ＝______. a b 【常规解法】将3a＝5b＝ 15 的两边取以15为底的对数得， alog153=blog155= 1 ,
1 所以 1 2log15 3， 2log15 5, 2 a b 所以 1 ＋ 1 ＝2log15 3 2log15 5＝2. a b
换底公式课件(北师大版)
典例详解 （1）利用换底公式化简求值
计算：log1627log8132;
[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式
进行换底以便于计算求值．
[解]
log1627log8132＝llgg
27 lg 16·lg
3821＝llgg
33 lg 24·lg
2354＝34llgg
3 5lg 2·4lg
[解]
原式＝llgg
34＋llgg
3lg 8lg
23＋llgg
29＝
2llgg32＋3llgg32llgg 23＋2llgg23
＝56llgg
3 3lg 2·2lg
23＝54.
典例详解 （2）用已知对数表示其他对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. [思路探究] 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
学习目标
重点难点 重点： 能推到出对数的换底公式 难点：会用对数换底公式进行化简与求值．
复习回顾
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN ) logaM loga N (1)
loga
M N
logaM
loga N
(2)
logaM n nlogaM (n R) (3)
2.计算：
（1） log9 8 log32 27（） log 21 125
log 3
1 32
log 5
1 3
（3） log 5 2 log 49 81
log 25
1 3
log
7
3
4
（4）
北师大版高中数学必修1-3.4.2 对数的换底公式 课件 最新课件PPT
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaRM)PnlologgaPna NMl1oga
M
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
logc N logc a p
转换为以10或e为底 的对数，经过查表就
logc N p logc a
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log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
知识应用
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过
一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，
该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个
有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则 经过1年，剩留量是y=0.84; 经过2年，剩留量是y=0.842; „„ 经过x年，剩留量是y=0.84x;
4.2
换底公式
积、商、幂对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则： (1) log a (MN) log a M log a N; (2) log a Mn n log a M(n R)；
M (3) log a = log a M - log a N. N
底数都 相同
依题意得 0.84x=0.5, ln 0.5 x = log 0.84 0.5 = 3.98 ln 0.84 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
1. 求值
8 (1)log2 25 log3 4 log5 9 _______
5 4 (2)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2) ___
注，你才会所向披靡。
lg 5 lg 2 lg 3 3 (5) (1) 15 lg 2 lg 3 lg 5
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096；
互为倒数
思考2: log n N 与 loga N 有什么关系？ a
lgN lgN 1 log a n N = = = log a N n lga nlga n
1 log a n N log a N n
知识深化
两个推论: 设a,b>0且均不为1,则
真数中的指数放于 分子中,底数中的
(1) loga b logb a 1
例题讲解 例1.计算：
(1) log9 27
(2)log8 9 log27 32
log3 27 3 解： (1) log9 27 = = ; log3 9 2
lg9 lg32 (2) log8 9× log2732 = × lg8 lg27
2lg3 5lg2 10 = g = . 3lg2 3lg3 9
1.掌握对数的换底公式.（重点）
2.会利用对数的换底公式进行化简、求值.
（难点、易混点）
问题1: 使用对数的运算法则
运算的前提条件是“同底”，
如果底不同怎么办？ 问题2: 科学计算器通常只能 对常用对数或自然对数进行 计算，怎么计算log215？
探究一: 设x
log 2 15, 写成指数式，得 2x =15
Байду номын сангаас
3.根据建设有中国特色的社会主义的战略方针，我国工农业总 产值从 2010 年到 2030 年经过 20 年将要翻两番，问平均增长 率至少应为多少？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.072＝0.0301)
解：设 2010 年总产值为 a，平均增长率为 x，由题意，得 a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4， 将上式化为对数式得 lg(1＋x)20＝lg4， 即 20lg(1＋x)＝2lg2＝0.6020. 所以 lg(1＋x)＝0.0301＝lg1.072. 所以 1＋x＝1.072，即 x＝0.072. 故平均增长率至少应为 7.2%.
换底公式
loga N log b N (a, b 0,a, b 1, N 0) loga b
换底公式不难记， 一数等于两数比.
相对位置不改变，
新的底数可随意.
（非1的正数）
知识探究 思考1:
loga b 与 logb a有什么关系？
lg a log b a lg b
lg b log a b= lg a
x 取 , 得 lg 2 lg15 两边 对数
所以
lg 15 x lg 2
探究二:
假设 lg15 x ,则 lg15 x lg 2 lg 2x ，从而有 2 x 15 . lg 2
进一步可得到什么结论？
x lg15 log 2 15,即 lg 2 log 2 15
探究三:
一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，
那么
log c b 与哪个对数相等？并给出证明. log c a
logc b 解析： loga b logc a logc b 证明: 令 x logc b xlogc a logc a
x x
logc b logc a b a x loga b
logc b loga b logc a
1. 对数的换底公式
loga N logb N (a,b 0,a,b 1, N 0) loga b
2. 两个重要推论
(1) loga b logb a 1
(2) log a m
n b log a b m
n
为你的终极目标而努力，你内在的意念是
外在事物成功的关键，专注在目标上，全神贯
log 5 2 log 49 81 2.计算 的值. 1 log 25 log 7 3 4 3
lg2 2lg3 1 × log5 2× log7 9 lg5 lg7 2 解：原式 = == -3. 1 1 lg3 1 2lg2 - log53× log7 4 ×× 2 3 lg5 3 lg7
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题， 利用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用 计算器或对数表得到结果.
【变式练习】
1 1 1 log 3 log 5 计算： log 2 125 32 3
1 1 1 log3 log5 解: log 2 125 32 3 3log 2 5 (5log 3 2) ( log 5 3)
(2) log a m n b log a b m
n
指数放于分母中
利用换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0,b 0,c 0,a 1,b 1,c 1)
lg b lg c lg a 1 证明： log a b log b c log c a lg a lg b lg c