北师大版 换底公式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2
换底公式
积、商、幂对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则： (1) log a (MN) log a M log a N; (2) log a Mn n log a M(n R)；
M (3) log a = log a M - log a N. N
底数都 相同
lg 5 lg 2 lg 3 3 (5) (1) 15 lg 2 lg 3 lg 5
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096；
1. 对数的换底公式
loga N logb N (a,b 0,a,b 1, N 0) loga b
2. 两个重要推论
(1) loga b logb a 1
(2) log a m
n b log a b m
n
为你的终极目标而努力，你内在的意念是
外在事物成功的关键，专注在目标上，全神贯
(2) log a m n b log a b m
n
指数放于分母中
利用换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0,b 0,c 0,a 1,b 1,c 1)
lg b lg c lg a 1 证明： log a b log b c log c a lg a lg b lg c
1.掌握对数的换底公式.（重点）
2.会利用对数的换底公式进行化简、求值.
（难点、易混点）
问题1: 使用对数的运算法则
运算的前提条件是“同底”，
如果底不同怎么办？ 问题2: 科学计算器通常只能 对常用对数或自然对数进行 计算，怎么计算log215？
探究一: 设x
log 2 15, 写成指数式，得 2x =15
那么
log c b 与哪个对数相等？并给出证明. log c a
logc b 解析： loga b logc a logc b 证明: 令 x logc b xlogc a logc a
x x
logc b logc a b a x loga b
logc b loga b logc a
log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
知识应用
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过
一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，
该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个
有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则 经过1年，剩留量是y=0.84; 经过2年，剩留量是y=0.842; „„ 经过x年，剩留量是y=0.84x;
依题意得 0.84x=0.5, ln 0.5 x = log 0.84 0.5 = 3.98 ln 0.84 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
1. 求值
8 (1)log2 25 log3 4 log5 9 _______
5 4 (2)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2) ___
注，你才会所向披靡。
换底公式
loga N log b N (a, b 0,a, b 1, N 0) loga b
换底公式不难记， 一数等于两数比.
相对位置不改变，
新的底数可随意.
（非1的正数）
知识探究 思考1:
loga b 与 logb a有什么关系？
lg a log b a lg b
lg b log a b= lg a
3.根据建设有中国特色的社会主义的战略方针，我国工农业总 产值从 2010 年到 2030 年经过 20 年将要翻两番，问平均增长 率至少应为多少？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.072＝0.0301)
解：设 2010 年总产值为 a，平均增长率为 x，由题意，得 a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4， 将上式化为对数式得 lg(1＋x)20＝lg4， 即 20lg(1＋x)＝2lg2＝0.6020. 所以 lg(1＋x)＝0.0301＝lg1.072. 所以 1＋x＝1.072，即 xwk.baidu.com0.072. 故平均增长率至少应为 7.2%.
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题， 利用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用 计算器或对数表得到结果.
【变式练习】
1 1 1 log 3 log 5 计算： log 2 125 32 3
1 1 1 log3 log5 解: log 2 125 32 3 3log 2 5 (5log 3 2) ( log 5 3)
例题讲解 例1.计算：
(1) log9 27
(2)log8 9 log27 32
log3 27 3 解： (1) log9 27 = = ; log3 9 2
lg9 lg32 (2) log8 9× log2732 = × lg8 lg27
2lg3 5lg2 10 = g = . 3lg2 3lg3 9
x 取 , 得 lg 2 lg15 两边 对数
所以
lg 15 x lg 2
探究二:
假设 lg15 x ,则 lg15 x lg 2 lg 2x ，从而有 2 x 15 . lg 2
进一步可得到什么结论？
x lg15 log 2 15,即 lg 2 log 2 15
探究三:
一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，
互为倒数
思考2: log n N 与 loga N 有什么关系？ a
lgN lgN 1 log a n N = = = log a N n lga nlga n
1 log a n N log a N n
知识深化
两个推论: 设a,b>0且均不为1,则
真数中的指数放于 分子中,底数中的
(1) loga b logb a 1
log 5 2 log 49 81 2.计算 的值. 1 log 25 log 7 3 4 3
lg2 2lg3 1 × log5 2× log7 9 lg5 lg7 2 解：原式 = == -3. 1 1 lg3 1 2lg2 - log53× log7 4 ×× 2 3 lg5 3 lg7
换底公式
积、商、幂对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则： (1) log a (MN) log a M log a N; (2) log a Mn n log a M(n R)；
M (3) log a = log a M - log a N. N
底数都 相同
lg 5 lg 2 lg 3 3 (5) (1) 15 lg 2 lg 3 lg 5
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096；
1. 对数的换底公式
loga N logb N (a,b 0,a,b 1, N 0) loga b
2. 两个重要推论
(1) loga b logb a 1
(2) log a m
n b log a b m
n
为你的终极目标而努力，你内在的意念是
外在事物成功的关键，专注在目标上，全神贯
(2) log a m n b log a b m
n
指数放于分母中
利用换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0,b 0,c 0,a 1,b 1,c 1)
lg b lg c lg a 1 证明： log a b log b c log c a lg a lg b lg c
1.掌握对数的换底公式.（重点）
2.会利用对数的换底公式进行化简、求值.
（难点、易混点）
问题1: 使用对数的运算法则
运算的前提条件是“同底”，
如果底不同怎么办？ 问题2: 科学计算器通常只能 对常用对数或自然对数进行 计算，怎么计算log215？
探究一: 设x
log 2 15, 写成指数式，得 2x =15
那么
log c b 与哪个对数相等？并给出证明. log c a
logc b 解析： loga b logc a logc b 证明: 令 x logc b xlogc a logc a
x x
logc b logc a b a x loga b
logc b loga b logc a
log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
知识应用
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过
一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，
该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个
有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则 经过1年，剩留量是y=0.84; 经过2年，剩留量是y=0.842; „„ 经过x年，剩留量是y=0.84x;
依题意得 0.84x=0.5, ln 0.5 x = log 0.84 0.5 = 3.98 ln 0.84 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
1. 求值
8 (1)log2 25 log3 4 log5 9 _______
5 4 (2)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2) ___
注，你才会所向披靡。
换底公式
loga N log b N (a, b 0,a, b 1, N 0) loga b
换底公式不难记， 一数等于两数比.
相对位置不改变，
新的底数可随意.
（非1的正数）
知识探究 思考1:
loga b 与 logb a有什么关系？
lg a log b a lg b
lg b log a b= lg a
3.根据建设有中国特色的社会主义的战略方针，我国工农业总 产值从 2010 年到 2030 年经过 20 年将要翻两番，问平均增长 率至少应为多少？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.072＝0.0301)
解：设 2010 年总产值为 a，平均增长率为 x，由题意，得 a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4， 将上式化为对数式得 lg(1＋x)20＝lg4， 即 20lg(1＋x)＝2lg2＝0.6020. 所以 lg(1＋x)＝0.0301＝lg1.072. 所以 1＋x＝1.072，即 xwk.baidu.com0.072. 故平均增长率至少应为 7.2%.
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题， 利用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用 计算器或对数表得到结果.
【变式练习】
1 1 1 log 3 log 5 计算： log 2 125 32 3
1 1 1 log3 log5 解: log 2 125 32 3 3log 2 5 (5log 3 2) ( log 5 3)
例题讲解 例1.计算：
(1) log9 27
(2)log8 9 log27 32
log3 27 3 解： (1) log9 27 = = ; log3 9 2
lg9 lg32 (2) log8 9× log2732 = × lg8 lg27
2lg3 5lg2 10 = g = . 3lg2 3lg3 9
x 取 , 得 lg 2 lg15 两边 对数
所以
lg 15 x lg 2
探究二:
假设 lg15 x ,则 lg15 x lg 2 lg 2x ，从而有 2 x 15 . lg 2
进一步可得到什么结论？
x lg15 log 2 15,即 lg 2 log 2 15
探究三:
一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，
互为倒数
思考2: log n N 与 loga N 有什么关系？ a
lgN lgN 1 log a n N = = = log a N n lga nlga n
1 log a n N log a N n
知识深化
两个推论: 设a,b>0且均不为1,则
真数中的指数放于 分子中,底数中的
(1) loga b logb a 1
log 5 2 log 49 81 2.计算 的值. 1 log 25 log 7 3 4 3
lg2 2lg3 1 × log5 2× log7 9 lg5 lg7 2 解：原式 = == -3. 1 1 lg3 1 2lg2 - log53× log7 4 ×× 2 3 lg5 3 lg7