大学物理2-1第六章(振动与波)习题答案

精品
习 题 六
6-1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。

现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。

求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，
建立坐标系
rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010
30602===
==⨯=-m k A k ω
设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos
0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ
故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x =
(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则
()()x x k x k F +=∆=0
其中 m 2.0200
400===k mg x
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因而有 ()N 3005.02.0200=-⨯=F
(3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则
()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t
第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则
()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322⨯=πt
故所需最短时间为：
s 074.012=-=∆t t t
6-2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速
率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。

[解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知421=T s
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由于4
/2s 8/1,s 81ππνων====-T
精品
(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方。

t =0时, φcos 5A x =-=
t =2s 时， φφωsin )2cos(5A A x -=+==
由以上二式得 1tan =φ
因为在A 点质点的速度大于零，所以4
3πφ-= cm x A 25cos /==φ
所以，运动方程为：
)SI ()4/34/cos(10252ππ-⨯=-t x
(2)速度为： )4
34sin(41025d d 2πππ-⨯-==-t t x v 当t =2s 时 m/s 1093.3)4
34sin(41025d d 22--⨯=-⨯-==πππt t x v
6-3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12s cm 时的位移。

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[解] (1) 设振动方程为()cm cos ϕω+=t A x
以cm 12=A 、cm 6=x 、1s cm 24-⋅=v 代入，得：
()ϕω+=t cos 126
()ϕωω+-=t sin 1224
利用()()1cos sin 22=+++ϕωϕωt t 则
1122412622=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ω 解得 334=ω s 72.22
32==
=πωπT (2) 以1s cm 24-⋅=v 代入，得： ()()ϕωϕωω+-=+-=t t sin 316sin 1212
解得： ()4
3sin -
=+ϕωt 所以 ()4
13cos ±=+ϕωt 故
精品
()cm 8.1041312cos 12±=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±⨯=+=ϕωt x
6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。

[解] 设振动方程为： ()ϕω+=t A x cos
根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得： 2πφ=
12
5223πππφω=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆∆=
t 故振动方程为 cm 32125cos 10⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=ππt x -A/2-A φ
∆φx
精品
6-5 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率s rad 10=ω，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移0x ＝7.5 cm ，初始速度cm 0.750=v ；(2)其初始位移0x ＝7.5 cm ，初速度s cm 0.750-=v 。

[解] 设振动方程为 ()φ+=t A x 10cos
(1) 由题意得： φcos 5.7A =
φsin 1075A -=
解得：4πφ-= A =10.6cm
故振动方程为：
()cm 410cos 6.10π-=t x
(2) 同法可得： ()cm 410cos 6.10π+=t x
6-6 一轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30cm 。

现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg 待其静止后再把物体向下拉10cm ，然后释放。

问：
(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足
何条件?二者在何位置开始分离?
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[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长0l ，则Mg kl =0
又 m N 2003
.060===
l N k 故 m 196.02008.940=⨯==k Mg l 当小物体与振动物体分离时 ()Mg kl kA =>0，即 0l A >，
故在平衡位置上方0.196m 处开始分离。

6-7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度是24cm 。

如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩系数μ是多大?
[解] 设振动方程为 ()φω+=t x cos 12 则： ()φωω+-=t v sin 12 以x =6cm v =24cm/s 代入得：
()
φω+=t cos 126
精品 ()φωω+-=t sin 1224
解得 s rad 3
34=
ω 最大位移处： 2ωA a = 2ωmA ma F ==
由题意，知 2ωμmA mg =
0653.02==g A ωμ
6-8 两根倔强系数分别为1k 和2k 的轻弹簧串接后，上端
固定，下端与质量为m 的物体相连结，组成振动系统。

当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是
否作谐振动?若作谐振动，其周期是
多少?若将两弹簧并联，其周期是多少?
[解] (1) 串接：物体处平衡位
置时，两弹簧分别伸长10x 、20x 20
2x k mg = (1)
精品
202101x k x k = (2)
取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x ，
两弹簧再次伸长1x ∆、2x ∆，则
()2202x x k mg F ∆+-=
由(1)知 22x k F ∆-=
(3)
又 2211x k x k ∆=∆
(4)
x
x x =∆+∆21 (5)
由(4)、(5)得 x k k k x 2112+=
∆ (6)
将(6) 代入(3)得 x k k k k F 2
121+-= 看作一个弹簧 kx
F -=
精品 所以 2
12
1k k k k k +=
因此物体做简谐振动，角频率 ()
212
1
k k m k k m k +==ω
周期 ()
2
12122k k k k m T +==πωπ
(2) 并接：物体处于平衡位置时，0
201x k x k mg +=
(7)
取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x 则 2211x k x k mg F --=
式中1x 、2x 分别为两弹簧伸长
x x x +=01 x x x +=02
所以 ()()x x k x x k mg F +-+-=0201 将(7)代入得 ()x k k F 21+-=
看作一个弹簧 kx
F -=
精品
所以 21k k k +=
因此该系统的运动是简谐振动。

其角频率 m k k m k 21+==ω 因此周期 2122k k m T +==πω
π
6-9 在竖直平面内半径为R 的一段光滑
圆弧轨道上放一小物体，使其静上于轨道的最
低点，如图所示。

若触动小物体，使其沿圆弧
形轨道来回作小幅度运动，试证明：(1)此物体
作谐振动；(2)振动周期g R T π2=。

[证明] 取最低点为平衡位置，物体与O 点连线偏离O O '
的角为θ。

(1) 物体与O 点连线偏离O O 'θ角时，指向平衡位置的力
矩
θsin mgR M -= θ很小，故θθ=sin ，所以
θ
mgR M -=
(1)
可见该力矩为指向平衡位置的线形回复力矩，故物体作谐振动。

精品
(2) 由于 222d d t mR J M θβ== 根据(1)式有 θθR g t
-=22d d 令R
g =ω 则 R g T πω
π22==
6-10 如图所示，半径为R 的圆环静止于刀口点O 上，令其在自身平面内作微小的摆动。

(1)求其振动的周期；(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。

[解] (1) 设圆环偏离角度为θ
θsin Rmg M -=
22d d t
J J M θβ== 2222mR md mR J =+=
θθθRmg Rmg t mR ≈-=sin d d 2222
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02d d 22=+θθR
g t 所作振动为简谐振动 R
g 2=ω 所以 g
R T 22π= (2) 等效单摆周期为g R
T 22π
=的摆长为R 2。

6-11 如图所示，质量为m 、半径为
R 的半圆柱，可绕圆柱的轴线O 在重力作
用下作微振动，已知半圆柱的质心在距轴
π
34c R r =处，求其振动周期。

[解] OC 偏离中垂线θ角时指向中间的力矩
θθc c sin mgr mgr M -=-=
根据转动定理 βθJ mgr =-c
其中 2
2
1mR J =
精品
代入得 0d d 2134222=+t mR R mg θθπ
即 038d d 22=+θπθR g
t
所以 R g
πω38=
g R
T 8322ππωπ
==
6-12 测量液体阻尼系数的装置如图所示。

若在空气中测得振动频率为1ν，在液体中测得振动频率为2ν，求在液体
中物体振动时的阻尼因子β。

[解] 在空气中振动方程为 0d d 22=+x m k
t x
m k
=0ω
在液体中振动方程 0d d 2d d 22=++x m k
t x
t x β (
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β为阻尼系数)
对应的振动角频率 2βω-=m
k 则 2220
βωω=- 即 222
221244βνπνπ=- 所以 22212ννπβ-=
6-13 一弹簧振子，当位移是振幅之半时，该振动系统的动能与总能量之比是多少?位移为多大时，动能和势能各占总能量之半?
[解] 设振幅为A ，弹簧倔强系数为k ，
(1) 当位移是振幅之半时
%752
12212122
2总k =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=kA A k kA E E (2) 位移为x 时，动能、势能各占总能量的一半 则有
222
12121kA kx ⋅= 所以 A x 22±=
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6-14 一弹簧振子，弹簧的倔强系数m N 25=k ，当物体以初动能0.2J 和初势能0.6J 振动时，(1)求谐振动的振幅；
(2)位移是多大时，势能与动能相等?(3)位移是振幅之半时，势能是多大?
[解] (1) 设振幅为A ，由机械能守恒定律，得
8.06.02.022=+==kA E
()m 253.0252.121==A
(2) 动能、势能相等时有
4022.kx =
因此 m 179.0±=x
(3) 位移为振幅一半时，势能为
J 2.08.04
141)2(212122p =⨯====E A k kx E
6-15 如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数m N 24=k ，重物的质量为m ＝ 6 kg ，重物静止在平衡位置上。

设以一水平恒力F ＝10 N 向左作用于物体(无摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05 m ，此
时撤去力F 。

当重物运动到左方最大位
置时开始计时，求物体的振动方程。

精品
精品 [解] 以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A ，由功能原理可得
22kA FS =
因此 ()()m 204.02405.01022211=⨯⨯==k FS A
()rad 21==m k ω
又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为π 故得运动方程为 ()m 2cos 204.0π+=t x
6-16 两谐振动的振动方程分别为 ()4310cos 10521π+⨯=-t x
()410cos 10622π+⨯=-t x (SI)
试求其合振动的振幅和初相位。

[解] 由振动合成公式，得
)
cos(212212221φφ-++=A A A A A m 1081.72-⨯=
11cos cos sin sin tan 2
2112211=++=φφφφφA A A A
精品
结合矢量图得
rad 48.147.0==πφ
6-17 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm ，合振动与第一个谐振动的相位差为π。

若第一个谐振动的振幅为310cm ，求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振动的相位差。

[解] 由题意可画出两简谐振动合成的矢
量图，由图知
cm 106cos 212212=-+=π
A A A A A
易证 A A A =+22
21 故第一、二两振动的相位差为 2π
φ±=∆
6-18 质量为0.4kg 的质点同时参与两个互相垂直的振动
()6cos 100.82ππ+⨯=-t x
()3cos 100.62ππ+-⨯=-t y
1
(S1)
精品
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求：(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任一位置所受的作用力。

[解] (1) y 方向的振动可化为
()63sin 100.62ππ+⨯=-t y
消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为
106.008.02
222
=+y x (2) 由 ()6cos 100.82ππ+⨯=-t x
可得 ()cos 908
.02x πππ+-=t a 同理 ()33cos 9
06.02
y πππ+--=t a 因此 ()
j i a F y x a a m m +== j i t t m -=+-++-
=.0])63cos(06.0)3cos(08.0[92π
πσπππ
6-19 一平面简谐波沿x 轴正向传播，振幅A ＝10cm ，圆频率s rad 7πω=，当t ＝1.0s 时，x ＝10cm 处质点的位移为零，速度沿负方向，此时x =20cm 处质点的位移为5.0cm ，速度沿正方向。

已知波长
精品
λ>10cm ，试写出该波的波函数。

[解] 由已知得 A ＝0.1m , s rad 7πω=，波沿x 轴正向传播，故可设波函数为：
])(7cos[1.0φπ+-=u
x t y m 当t =1s 时，x =0.1m 处，y =0m 故
]1.077cos[1.00φππ+-=u 0]1.07sin[7.0<+--=φππu
v 故有 2
21.077ππφππ+=+-k u (1)
对t =1.0s ，x =0.2m 处，有
]2.077cos[1.005.0φπ
π+-=u 0]2.077sin[7.0>+--=φπππu
v 故有 322.077ππφππ-=+-k u (2)
对(1)、（2）两式k 取相同的值的根据是λ>10cm
由(1)、(2)得 3
m/s 84.00πφ==u
精品
故所求波函数为
)SI (]3)84.0(7cos[1.0ππ+-=x t y
6-20 一简谐波的周期T =0.5s ，波长λ=10 m ，振幅A ＝ 0.1 m 。

当t =0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。

若坐标原点与波源重合，且波沿Ox 轴正向传播；求：(1)此波的波函数，(2)41T t =时刻，41λ=x 处质点的位移；(3)22T t =时刻， 41λ=x 处质点的振动速度。

[解] (1)由已知条件21==
T
ν，可设波函数为： ])10/2(2cos[1.0])(2cos[φπφλ
νπ+-=+-=x t x t A y 由已知 t =0，x =0时，y=0.1m
故 φcos 1.01.0= 由此得
0=φ
因而波函数为
)SI ()]
20/(4cos[1.0x t y -=π (2) 41T t =，41λ=x 处: m
1.0)80/108/1(4cos 1.0=-=πy
精品 (3) 22T t =，42λ=x 处，振动速度为
)20
/(4sin 4.02x t v --=ππ
m/s
26.1)80/104/1(4sin 4.0-=--=ππ
6-21 一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν，波速为u 。

设t t '=时刻的
波形曲线如图所示。

求：(1)x =0处
质点的振动方程；(2)该波的波函
数。

[解] (1) 设x =0处该质点的振
动方程为：
)2cos(φπν+=t A y
由t t '=时波形和波速方向知，00＝，x v <；
't t =时 22πφπν=+'t
故 22ππνφ+'-=t
所以x =0处的振动方程为:
)SI (]
2/)(2cos[ππν+'-=t t A y
(2) 该波的波函数为：
精品
)
SI (]
2/)/(2cos[ππν+-'-=u x t t y
6-22 根据如图所示的平面简谐波
在t =0时刻的波形图，试求：(1)该波的
波函数；(2)点P 处的振动方程。

[解] 由已知，得s m 08.0=u ，4.0=λm
s 508.04.0===u T λ
(1) 设波函数为
])4.0/5/(2cos[04.0φπ+-=x t y 当t =0，x =0时，由图知0,0>=v x
因此 2π
φ-= (或πφ23=) 则波函数为
(SI)]2/)4.0/5/(2cos[04.0ππ--=x t y
(2) 将P 点坐标代入上式，得 (SI))2/34.0cos(04.0p ππ-=t y
6-23 已知一简谐平面波的波函数为()x t A y 24cos +=π。

(1)试求t =4.2s 时各波峰位置的坐标
表示式，并计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?(2)画出
精品
精品
t ＝4.2 s 时的波形曲线。

[解] (1) 波峰位置满足条件
()ππk x 2242.4=+⨯
所以 4.8-=k x ()Λ,2,1,0±±=k
显然k =8时，4.0-=x ，离坐标原点最近，设通过原点时刻为t ，则
()0244.0242.4⨯+=-⨯+⨯t
所以 s 4=t
(2) t =4.2s 时的波形曲线
6-24 一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A 和ω，波速为u 。

设t ＝0时的波形曲线如图所示。

(1)写出该波的波函数；(2)求距点O 分别为8λ和8
3λ
x(m)
精品 两处质点的振动方程；(3)求距点O 分别为8λ和83λ两处质点在t ＝0时的振动速度。

[解] (1)由图知2πφ=
，故
波函数
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos πωu x t A y (2) 8λ
=x 时
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+=4cos πωt A y 83λ=x 时 ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=4cos πωt A y (3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=
2sin πωωu x t A t y v
ωπωπλλπωλ
A A A v x t 224sin 282sin 80
1-=-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--===
精品
ω
πωπλλπωλA A A v x t 224sin 2832sin 8
301
=⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--===
6-25 如图所示为一平面简谐波在t =0时刻的波形图，试画出点P 处质点与点Q 处质点的振动曲线，然后写出相应的振动方程。

[解] s m 20=u ，m 40=λ，
s 220
40
==
=
u T λ
P 处振动曲线
振动方程 ⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=2cos 20.0P ππt y 0.20
012
y(m)
t(s)
精品
(2) Q 处的振动曲线
振动
方
程
()ππ+=t y cos 20.0Q
6-26 如图所示为一平面简谐波在t =0时刻的波形图。

设简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求：(1)该波的波函数；(2)在距点O 为100m 处质点的振动方程与振动速度表达式。

[解] (1) Hz 250=ν，m 200=λ，又因P 点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛+=φπ2002502cos x t A y
t =0，x =0时 φcos 22A A y ==
，则4
π
φ±=7/2
5/23/20.200
1/2y(m)t(s)
精品
因00<v ，所以取4
π
φ=
（或由旋转矢量图知4
π
φ=
）
故波函数为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=42002502cos ππx t A y
(2) x =100m 时，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42001002502cos ππt A y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+=45500cos ππt A ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂=
42002502sin 500πππx t A t y v 当x =100m 时，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-=45500sin 500πππt A v
6-27 如图所示，两列波长均为λ的相干简谐波分别通过图中的点1O 和2O 。

通过点1O 的简谐波在21M M 平面反射后，与通过点2O 简谐波在点P 相遇。

假定波在21M M 平面反射时有半波损失，1O 和2O 两点的振动方程分别为
t A y πcos 10=和t A y πcos 20=，且
精品
λ81=+mP m O ，λ32=P O ，求：(1)两列波分别在点P
引起的振动方程；(2)点P 的合振动方程(假定波在传播过程中无吸收)。

[解] (1) ⎪⎭
⎫
⎝⎛--=πλπω11P 2cos x t A y ⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅-=πλλπω82cos t A ()πω-=t A cos
t A t A y ωλλπωcos 32cos 2P =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅-=
(2) ()0cos cos 2P 1P =+-=+=t A t A y y y ωπω合
6-28 如图所示，两相干波源1S 和2S 之间的距离为
d =30m ，且波沿Ox 轴传播时不衰减，1x =9m 和2x =12m 处的两
点是相邻的两个因干涉而静止的点。

求两波的波长和两波源
间的最小相位差。

[解] 由题意得 m
6)912(2=-=λ
精品
πλ
π
φφφ)12()(21212+=--
-=∆k r r
对9=x m 处 m 1212=-r r 所
以
)
2,1,0(4)12()
(2)12(1212Λ±±=++=-+
+=-k k r r k ππλ
ππφφ
因此 πφφ±=-min 12)(
6-29 在均匀媒质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波函数
分
别
为
()[]
νπx t A y -=2cos 1和
()[]λνπx t A y +=2cos 22，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅
最小的那些点的位置。

[解] 合振幅最大点满足的条件是
()()πλνπνπk x t x t 222±=+--
可得 λk x 2
1
±= ()Λ,2,1,0=k 合振幅最小点满足的条件是
()()()π
λνπλνπ1222+±=+--k x t x t
精品
可得 λ4
1
2+±
=k x ()Λ,2,1,0=k
6-30 如图所示，1S 和2S 为两相干波源，相距4λ，1
S 的相位比2S 的相位超前2π，若两波在21S S 连线方向上的强度均为0I ，且无吸收。

问21S S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何?又在2S 外侧各点的合成波的强度如何?
[解] 以1S 为坐标原点，水平向右为x 轴正方向,建立坐标系。

1S 外侧，1S 、2S 传出的波函数为
()[]112cos φλνπ++=x t A y
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+=22422cos φλλπλνπx t A y
故
()()()π
ππφφλλπνπλνπφ=+=-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-+=∆22422221x t x t S
精品
1y 、2y 振动方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅为
零
因此 0=I
2S 外侧，1S 、2S 传出的波函数为
()[]112cos φλνπ+-=x t A y ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛--=2242cos φλλνπx t A y
()[]0
2242221=+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=∆π
πφλλνπφλνπφx t x t
合振幅为2A ，又因波强正比于2A 因此 04I I =
6-3l 两波在一根很长的弦线上传播，其波函数分别为
()⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⨯=-t x y 2443cos 1000.421π
精品
()⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯=-t x y 2443cos 1000.422π
求：(1)两波的频率、波长和波速；(2)两波叠加后的波节位
置；(3)两波叠加后的波腹位置。

[解] (1) 波动方程可写作标准形式为
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯=-5.142cos 1000.421x t y π
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+⨯=-5.142cos 1000.422x t y π
故Hz 4=ν，m 5.1=λ，s m 65.14=⨯==νλu (3) 节点条件满足
()πππ125.1425.142+±=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛+k x t x t
故
()ππ125
.14+±=k x
，()m ,2,1,02143Λ=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
±=k k x (3) 波腹条件满足
ππk x
25
.14±=
精品
()m ,2,1,04
3
Λ=±=k k x
6-32 在弹性媒质中有一沿Ox 轴正向传播的平面波，其波函数为[]34cos 01.0ππ--=x t y (S1)，若在x =5.00m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度不衰减。

试写出反射波的波函数。

[解] m 00.5=x 处的振动方程
()()
34cos 01.0354cos 01.0ππππ-=---=t t y
所以反射波波函数为
()[]πππ---⨯-=0.524cos 01.0x t y
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+=344cos 01.0ππx t
6-33
一
弦
上
的
驻
波
方
程
为
()t x y ππ550cos 6.1cos 1000.32⋅⨯=- (S1)
(1)若将此波视为两列传播方向相反的波叠加而成，求两列波的振幅及波速；(2)求相邻波节之间的距离，(2)求
s 1000.33-⨯=t 时，位于x ＝0.625m 处质点的振动速度。

[解] (1) 因()t
x y ππ550cos 6.1cos 1000.32⋅⨯=-
精品
t T
x
A πλ
π2cos
2cos
2= 故 m 1050.12-⨯=A 由于 λππx
x 26.1=
t T
t π
π2550=
所以 25.16.12
==
λm 2751
5502=
=ππT s m 8.34327525.1=⨯==
T
u λ
(2) 相邻波节间的距离
m 625.02
25
.12
==
=
∆λ
x (3)
t x t
y
v πππ550sin 6.1cos 5501000.32⋅⋅⨯-=∂∂=
- 故当s 1000.33-⨯=t ，m 625.0=x 时
()()
1000.3550sin 625.06.1cos 5501000.332=
⨯⋅⋅⋅⋅⨯-=--πππv
精品
6-34 一列横波在绳索上传播，其波函数为 ()[]405.2cos 05.01x t y +=π (SI)
(1)现有另一列横波(振幅也是0.05 m)与上述已知横波在绳索上形成驻波。

设这一横波在x ＝0处与已知横波同相位，试写出该波的波函数。

(2)写出绳索中的驻波方程，求出各波节的位置坐标表达式，并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。

[解] (1) 设反射波的波函数为：
(SI)])4
05.0(
2cos[05.02φπ+-=x t y 因x ＝0处与已知波的波函数相位相同，故
0=φ 因而，波函数为
)]4
05.0(2cos[05.02x t y -=π (2) 驻波方程 21y y y +==t x ππ40cos 2cos
1.0 波节处应有： 2
2π
ππ
+=k x 即 ()m 12+=k x (k =0,±1,±2,…)
离原点最近的四个波节的坐标数值为： 1m, -1m , 3m, -3m
精品
6-35 简谐波在直径d ＝0.10m 的圆柱形管内空气媒质中传播，波强度22m W 100.1-⨯=I ，波速为250s m ，频率为Hz 300=ν，试计算：(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2)两相邻同相位面(相距一个波长的两个波面)之间的波段中平均含有多少能量。

?
[解] (1) 因u
w I ⋅= 故352
m J 104250
100.1---⋅⨯=⨯==u I w 35max m J 1082--⋅⨯==w w (2) ν
πλπu d w d w V w W ⋅
⋅=⋅⋅=⋅=224141 J 1062.2300
2501.041104725--⨯=⨯⨯⨯⨯=π 6-36 一弹性波在媒质中传播的速度m 103=u ，振幅m 100.14-⨯=A ，频率310=νHz 。

若该媒质的密度为8003m kg ，求：(1)该波的能流密度；(2)一分钟内垂直通过面积24m 100.4-⨯=S 的总能量。

[解] (1) 该波的平均能流密度
精品
()()53232422m
W 1058.110102100.18002121⨯=⨯⋅⨯⨯⨯⋅==
-πωρu A I (2) 一分钟内垂直通过面积24m 100.4-⨯=S 的总能量为
J
1079.360100.41058.1345⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=-t s I W
6-37 一汽笛发出频率为1000Hz 的声波，汽笛以10s m 的速率离开你而向着一悬崖运动，空气中的声速为330s m 。

(1)你听到直接从汽笛传来的声波的频率为多大?(2)你听到从悬崖反射回来的声波的频率是多大?
[解] (1) Hz 97010
330330100001=+⨯=∆+=u u u νν (2) Hz 103110
330330100002=-⨯=∆-=u u u νν
6-38 一人造地球卫星和地面接收站如图所示。

卫星发出8110=νHz 的微波信号，卫星地面接收站的本机振荡频率，31210==ννHz ，当卫星地面接收站探测器检测振荡信号产生
的拍频
精品
精品 =∆ν2400Hz ，试问此时卫星沿指向地面站方向的分速度是多少?
[解] 卫星发出信号频率z H 1081=ν，波速为s m 1038⨯=c ，卫星以沿指向地面站方向的分速度u 接近地面站(观测者)，故由多普勒效应知地面站接收到卫星发射信号的频率为1R ννv
c c -= 因地面站本机接收信号频率为Hz 1082=ν，接收信号和本机信号的拍频 Hz 24002R =-=∆ννν 故 ννν∆=--21u
c c 解得 (利用21νν=)
s m 72002400
10103240088
1=+⨯⨯=∆+⋅∆=νννc v 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。