离散数学测验题集合与关系(2012)答案

离散数学测验题——集合与关系(2012--2013)
班级
学号
姓名
注意事项：
1. 独立完成，严禁抄袭！满分 100 分。 2. 最迟上交时间：2012 年 10 月 31 日（星期三）上课之前交齐。过时不交，成绩记为零。 3. 在 A4 大小的纸上完成并装订好。 一、（52 分）给定集合 A={a, b, c, d}，且 A 中的关系 R：
5
0 0
0⎥ 0⎥⎥
（表示
GR
中长度为3的路仅有<a,
e>），
⎢0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 0 0⎦
⎡0 0 0 0 0 0⎤
⎢⎢0 0 0 0 0 0⎥⎥
⎢0 M R4 = ⎢⎢0
0 0
0 0
0 0
0 0
0⎥ 0⎥⎥
（表示
GR
中没有长度≥4的路）。
⎢0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 0 0⎦
⎡1 1 1 1⎤
= ⎢⎢1 ⎢1
1 1
百度文库1 1
1⎥⎥ 1⎥
.
⎢⎣1 1 1 1⎥⎦
6.求 domR, ranR, 并判断 R 是否为函数。（3 分） 解: domR={a,b,c,d}, ranR={a,b,c,d}, R 不是函数. 二、（12 分）在一个道路网络上有 6 个城市,分别标记为 a,b,c,d,e,f. 城市之间的直接连接道
试证明: 若 R 是 A 上的一个等价关系, 则 S 也是 A 上的一个等价关系.
证明: (1) 任取 x∈A. 因为 R 是等价关系, 所以 R 具有自反性, 即<x,x>∈R. 根据 S 的定义,
<x,x>∈S, 因此, S 具有自反性.
(2) 任取<x,y>∈S. 由 S 的定义, 存在 c∈A, 有<x,c>∈R 且<c,y>∈R. 根据 R 的对称性,
因此 GR 中所有的路为 R ∪ R2 ∪ R3 = {<a, b >, <a, c>,<a, f>,<a,e>, <b, f>,<b, e>, <c, e>,<c, f>, <d,e>, <d, f>, <f, e>}
三、（9 分）证明: 非空的对称且传递的关系不可能是反自反的.
证明: 设集合 A 上的非空关系 R 是对称且传递的, 下面证明 R 不是反自反的.
<c,x>∈R 且<y,c>∈R
所以, <y,x>∈S, 即 S 具有对称性.
(3) 任取<x,y>, <y,z>∈S. 由 S 的定义,
存在 c∈A, 有<x,c>∈R 且<c,y>∈R,
存在 d∈A, 有<y,d>∈R 且<d,z>∈R.
根据 R 的传递性, <x,y>, <y,z>∈R, 所以根据 S 的定义, <x,z>∈S, 即 S 具有传递性.
解： M r(R)
=
MR
∨ MIA
=
⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0⎥⎥ ∨ ⎢⎢0 1⎥ ⎢0
1 0
0 1
0⎥⎥ = ⎢⎢1 0⎥ ⎢0
1 0
0 1
0⎥⎥ ， 1⎥
⎢⎣0 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
⎡0 1 1 0⎤
M s(R)
=
M
R
∨
M
T R
= ⎢⎢1 ⎢1
0 0
0 0
a>, <d, b>, <d, c>, <d, d>}. 根据此等价关系中各元素之间的关系以及具有等价关系的元素应该在同一个划分块中的原则可知，
A/R*={ {a,b,c,d} }.
4.分别用关系矩阵表示出 R 的自反闭包 r(R) （4 分）、对称闭包 s(R) （4 分）。
⎡0 1 1 0⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎡1 1 1 0⎤
R ={<a,b>, <a,c>, <b,a>, <c,d>, <d,b>, <d, d>} 请回答以下各问题：
1.写出 R 的关系矩阵。（5 分）
⎡0 1 1 0⎤
解：
MR
=
⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0⎥⎥ 1⎥
.
⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
2.画出 R 的关系图。（5 分）
3.求包含R的最小的等价关系R*(用关系矩阵表示) （15 分），并写出商集A/R*（6 分）。
路。利用关系矩阵求所有长度的路最为方便。过程如下：
⎡0 1 1 0 0 0⎤
⎢⎢0
0
0
0
0
1
⎥ ⎥
R的关系矩阵为 M R
=
⎢0 ⎢⎢0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
⎥ ⎥ ⎥
（表示
GR
中长度为1的路=R），
⎢0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 1 0⎦
⎡0 0 0 0 0 1⎤
⎢⎢0 0 0 0 1 0⎥⎥
M R3
=
M R2
⊙MR
=
⎢⎢1 ⎢1
0 1
0 0
1⎥⎥ 1⎥
⎢⎣1 1 1 1⎥⎦
2
⎡1 1 0 1⎤
M R4
=
M R3
:
MR
=
⎢⎢0 ⎢1
1 1
1 1
1⎥⎥ 1⎥
,
⎢⎣1 1 1 1⎥⎦
所以根据 t(R) = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ ...... = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ R4 有
M t(R) = M R ∨ M R2 ∨ M R3 ∨ ...... = M R ∨ M R2 ∨ M R3 ∨ M R4
1⎥⎥ . 1⎥
⎢⎣0 1 1 1⎥⎦
5.求传递闭包 t(R)。（写出计算步骤）（10 分）
⎡0 1 1 0⎤
⎡1 0 0 1⎤
解： M R
=
⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0 1
⎥ ⎥ ⎥
，经计算
M
R
2
=
MR ⊙MR
=
⎢⎢0 ⎢0
1 1
1 0
0⎥⎥ ， 1⎥
⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
⎢⎣1 1 0 1⎥⎦
⎡0 1 1 1⎤
2∨
M sr (R)
3 ∨ ... = ⎢⎢1 ⎢1
1 1
1 1
1⎥⎥ ， 1⎥
⎢⎣1 1 1 1⎥⎦
即 R*={<a, a>, <a, b>, <a, c>, <a, d>,<b, a>, <b, b>, <b, c>, <b, d>, <c, a>, <c, b>, <c, c>, <c, d>, <d,
则 M R2
⎢0 = ⎢⎢0
0 0
0 0
0 0
1 1
0⎥ 0⎥⎥
（表示
GR
中长度为2的路有<a,
f>,
<b,
e>,
<c,
e>,<d,e>），
⎢0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 0 0⎦
3
⎡0 0 0 0 1 0⎤
⎢⎢0 0 0 0 0 0⎥⎥
⎢0 M R3 = ⎢⎢0
0 0
0 0
0 0
因为 R 是非空的, 所以存在 x,y∈A 使得<x,y>∈R. 由 R 的对称性得
<y,x>∈R
根据 R 的传递性可得, <x,x>∈R, 所以 R 不是反自反的.
四、（15 分）设 R 为集合 A 上的一个二元关系. 定义 S 为
S={<a,b>｜a∈A,b∈A, 且对于某一个 c∈A, 有<a,c>∈R 且<c,b>∈R }
⎡0 1 1 0⎤
⎡1 1 1 0⎤
解：由
MR
=
⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0 1
⎥ ⎥ ⎥
，得到
M
r
(
R
)
=
MR
∨ MIA
=
⎢⎢1 ⎢0
1 0
0 1
0⎥⎥ ， 1⎥
⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
⎡1 1 1 0⎤
M sr (R)
=
M r(R)
∨
M
T r(R)
=
⎢⎢1 ⎢1
1 0
0 1
1⎥⎥ , 1⎥
综上, S 是等价关系.
4
五、（12 分）设<A,R>和<B,S>为偏序集, 在集合 A×B 上定义关系 T 如下: 对任意的 <a1,b1>,<a2,b2>∈A×B, < a1,b1>T< a2,b2>当且仅当 a1Ra2∧b1Sb2. 试证明: T 为 A× B 上的偏序关系. 证明: 下面分别证明 T 具有自反性, 反对称性, 传递性.. (1) 任取<x,y>∈A×B. 由于 R 和 S 分别是 A 和 B 上的偏序关系, 所以 R 和 S 都具有自反性, 即 xRx, ySy. 根据 T 的定义, <x,y>T<x,y>, 所以 T 是自反的. (2) 任取<x,y>, <z,w>∈A×B, 并且<x,y>T<z,w>, <z,w>T<x,y>, 下面证明<z,w>=<x,y>. 根据<x,y>T<z,w>, <z,w>T<x,y>,可得 xRz, zRx, ySw, wSy. 因为 R 和 S 是反对称的, 所以 x=z, y=w, 即<z,w>=<x,y>. 故 T 是反对称的. (3) 任 取 <x,y>, <z,w>,<u,v>∈A × B, 并 且 <x,y>T<z,w>, <z,w>T<u,v>, 下 面 证 明 <x,y>T<u,v>. 根据<x,y>T<z,w>, <z,w>T<u,v>可得, xRz, zRu, ySw, wSv. 根据 R 和 S 的传 递性, xRu, ySv. 由 T 的定义可得, <x,y>T<u,v>. 所以 T 具有传递性. 综上, T 是 A×B 上的偏序关系.
⎢⎣0 1 1 1⎥⎦
1
⎡1 1 1 1⎤
( ) ( ) ( ) M sr(R)
2 = ⎢⎢1 ⎢1
1 1
1 1
1⎥⎥ = 1⎥
M sr (R) 3 =
M sr(R) 4 = ...
⎢⎣1 1 1 1⎥⎦
⎡1 1 1 1⎤
( ) ( ) 故 M R* = M tsr(R) = M sr(R) ∨
M sr ( R)
路是单向的, 有 a→b, a→c, b→f, c→f, , d→f, f→e. 对每一个城市求出从它出发能够 到达的所有其它城市.（请利用关系矩阵求解） 解：关系R={<a, b >, <a, c>, <b, f>, <c, f>, <d, f>, <f, e>}. 由题意可知，即求此关系中所有的