八年级新思维19~20-中点问题和折叠问题

19.关于中点的联想

问题解决

例1 如图，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D M ，

为BC 的中点，10=AB cm ，则MD 的长为_______.

（“希望杯”邀请赛试题）

【答案】5cm 1

2

=DN AB ，∠=DNB ∠B ,MN ∥AC ，∠

=NMB ∠C ,∠NDB =∠B =∠NMB +∠DNM =∠C +∠2=DNM ∠C ,∴∠=DNM ∠C =

∠NMD ，得1

.2

==

DM DN AB 例2 如图，已知AB ∥CD ，E F 、分别为AC BD 、的中点，若53==AB CD ，，则EF 的长是（ ）.

A.4

B.3

C.2

D.1 (2012年泰安市中考题)

【答案】D 连CF 并延长交AB 于G ，则1

()2=-EF AB CD .

例3 如图，在△ABC 中，∠90=BAC °，延长BA 到点D ，

使1

2=AD AB ，点E F 、分别为BC AC 、的中点.

（1）求证：;=DF BE

（2）过点A 作AG ∥BC ,交DF 于G ，求证：.=AG DG (上海市中考题)

【答案】（1）证明△AFD ≌△.FCE

（2）画出线段AG ，∠D =∠FEC =∠B =∠DAG ，故.=AG DG

例4 如图①，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使∠=APC ∠==BPD PC PA PD PB ，，，中接CD ，点E F G H 、、、分别是AC AB 、、 BD 、CD 的中点，顺次连接.E F G H 、、、

（1）猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P 在线段AB 的上方时，如图②，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由;

（3）如果（2）中，∠APC =∠BPD =90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由.

（

M

A

D

B

A

B

D F

E

C

C

E B

F

A

D

P

B

G

图③

图②

图①

P B

G

P

B

D D H

F F A

E

E C

C A A

（营口市中考题）

【答案】（1）四边形EFGH 是菱形.

（2）成立，连AD BC 、，由△APD ≌△CPB ，得=AD CB ，又1

2=EF BC ，

111222

=

==FG AD GH BC EH AD ，，，则===EF FG GH EH ，故四边形EFGH 是菱形. （3）四边形EFGH 是正方形，在（2）的基础上，证明∠90=EHG °即可. 例5 阅读

在平面直角坐标系中，以任意两点1122()()P x y Q x y ，、，为端点的线段中点坐标为12122

2++⎛⎫ ⎪⎝⎭x x

y y ，.

运用

（1）如图，矩形ONEF 的对角线交于点M ON OF ，

、分别在x 轴、y 轴上,O 为坐标原点，点E 的坐标为（4,3），则点M 的坐标为_______;

（2）在直角坐标系中，有(12)-A ，

，(31)B ，，(14)C ，三点，另有一点D 与点A 、B C 、构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标. （贵阳市中考题）

【答案】（1）322⎛

⎫ ⎪⎝

⎭M ，

（2）分别以AB BC AC 、、为对角线，得点D 的坐标分别为（1，-1）、（5，3）、（-3，5）. 巧用中点

例6 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF G ，为DF 中点，连接.EG CG 、

（1）求证：;=EG CG

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接.EG CG ，

问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得到什么结论？

G

C

C

C

E

E

E

D

D D F

F

F G

B

B

B

A

A

A

图③

图②

图①

（山东省中考题）

分析与解 题设条件有中点，利用中点构造直角三角形斜边中线、梯形中位线、中心对称型全等三角形等. （1）略

（2）以下证法供参考：

如图④，延长EF 交CD 于H ，连接GH ； 如图⑤，取AE 中点H ，连接;GH

如图⑥，延长EG 与AD 的延长线相交于H 点，连接.EC HC 、

A 图⑥

C C C E E E H H H

D

D

D

F

F

F

G

G G

B

B

B

A

A A

图⑤图④

（3）（2）中的方法适当迁移.

（1）中的结论仍成立.如图⑦，延长EG 至点M ，使得=GM EG ，连接CE MC 、，延长EF 交DC 于点P ，由△FGE ≌△DGM 得=DM FE DM ，∥FE ,∴∠MDC =∠.DPF ∵∠+EBC ∠180=EPC °，∠EPC +∠DPF =180°，

∴∠=EBC ∠DPF =∠MDC ，而=BC CD ，∴△EBC ≌△MDC ，∠ECB =∠.DCM ∵∠90=BCD °，∴

∠90=ECM °.又==EC MC GM EG 且，∴=EG CG EG ，且⊥.CG

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1.如图，E 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠90=AFB °，若58==AB BC ，

，则EF 图⑦M

P

C

E D

F G

A