随机变量的方差

E X 8 0 .3 9 0 .2 1 0 0 .5 ＝9.2(环)
乙的平均环数为
E Y 8 0 .2 9 0 .4 1 0 0 .4 ＝9.2(环)
从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的. 但两人射击环数的方差分别为
D X 8 9 . 2 2 0 . 3 9 9 . 2 2 0 . 2 1 0 9 . 2 2 0 . 5
存在，则称
D (X)=E {[XE(X)]2}
为X 的方差。
方差的算术平方根 标准差.
D(X)=(X) 称为均方差或
方差刻划了随机变量的取值 对于其数学期望的离散程度
注意：
1. D (X)=E {[XE(X)]2}是关于随机变量X 的函 数 g(X)[XE(X)]2的数学期望.
离散型 已知X 分布律 P {Xxk}pk D (X )E [XE (X )]2 [xiE (X )]2p i i 1
连续型 已知X 的概率密度 f ( x )
D (X ) [xE (X )]2f(x)d x
[xk E(X)]2 pk ,
D(X) k1
[xE(X)]2
f
(x)dx.
2.方差描述了随机变量X 的取值与其均值的偏离程度.
计算方差的简便公式
D X E X 2 E (X )2
证明 D (X)E XE X 2
E X 2 2 E X X E X 2
E X 2 2 E X E X E X 2 EX2EX2
例1 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：
X：甲击中的环数
Y：乙击中的环数
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
试问那个人的射击水平较高？
解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为
§4.2 方 差
数学期望（均值，平均水平） 引例: 有甲、乙两个机床生产同样一种产品，要求产品
尺寸1 厘米，现在从两个机床的产品中任取5个。 甲：1.10、1.02、0.90、0.99、0.99 乙：1.50、0.60、1.10、0.90、0.90 哪个机床好？
分析：易见，甲乙两组产品的平均值都为1厘米，但显然 甲组比乙组波动小，产品尺寸相对集中在1厘米 附近，更加稳定。所以可以认为甲机床相对较好。
0.76
D Y 8 9 . 2 2 0 . 2 9 9 . 2 2 0 . 4 1 0 9 . 2 2 0 . 4
0.6Baidu Nhomakorabea4
由 于 DYDX， 这表明乙的射击水平比甲稳定.
谢 谢！
一、方差的概念 在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，
用什么衡量X 与E ( X )的偏离程度呢?
1、 E[XE(X)]合理,但是存在正负相消，不可行; 2、E[|XE(X)|]带绝对值的运算，不利于分析; 3、E{[XE(X)]2}．
定义 设X 是一个随机变量，若 E{[XE(X)]2}