三角函数推导-公式应用大全

) sin
2
t an ( 2
) cot
cot( 2
) t an
（八）
3 sin(
) cos
2
3 cos(
2
3 cot(
2
) tan
（九）
3 sin(
2
) cos
3 cos(
2
3 cot(
2
) t an
只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边：
（ 1） 诱导公式右边都是角 的三角函数；
3 ) si n t an(
本证明选自《几何原本》 ( 欧几里得 ) 第 III 卷 命题 20. 直径所对圆周角为直角的证明：
本证明选自《几何原本》 ( 欧几里得 ) 第 III 卷 命题 31.
3. 余弦定理的证明：
本证明选自《几何原本》 ( 欧几里得 ) 第 II 卷 命题 12,13. 4. 诱导公式的证明：
同理可证
1 cos 1 cos
sin cos
2
2
cos cos
2
2
sin 1 cos
sin sin
2
2
cos sin
2
2
1 cos sin
1 cos
2 sin2 2
1 cos
2 cos2 2
1 sin
(cos sin ) 2 cos sin
2
2
2
2
5. 积化和差公式：
1
sin cos
sin(
) sin(
)
2
基本定义
三角函数公式及证明
1. 任意角的三角函数值： 在此单位圆中，弧 AB的长度等于 ；
B 点的横坐标 x cos ，纵坐标 y sin ；
（ 由 三角形 OBC面积 <弧形 OAB的面积 <三角形 OMA的面积 可得：
sin a tan a （ 0 2. 正切：
））
2
基本定理
sin tan
cos
3
sin(
) sin(
) sin(
) cos
2
2
2
3 cos(
2
) cos(
) cos(
) sin
2
2
本证明选自人教版高中数学教材 .
5. 正余弦和差公式的证明 :
sin(
) sin( ( )) 可得 sin(
本证明选自人教版高中数学教材 . 5. 海伦公式的证明 :
) 的结论来自百度文库
三角函数基础
一、 诱导公式（ k Z ）。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。
sin cos cos cos
cos sin sin sin
3. 二倍角公式（包含万能公式） ：
sin 2 2 sin cos
2sin cos sin 2 cos2
2 tan 1 tan 2
cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2
tan 2
sin 2 cos 2
2 tan 1 tan 2
（一） sin(2 k
) sin
c o s (k2
) c o s t a n (k2
) t an
c o t (k2
) co t
（二） sin(
) sin
cos( ) cos
tan(
) t an
cot(
) cot
（三） sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
（四） sin(
2
) si n
3 tan(
2
) cot ) cot
（ 2） 判断函数名是否改变。判断依据：括号内与
相加减的角，若为 的偶数倍，
2
则函数名不变；若为 的奇数倍，则正变余，余变正（只能弦、切、割内部变
2
换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）
；
（ 3） 判断正、负号。判断依据：将
看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正
号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。
二、
正弦定理和余弦定理都是描述
ABC 边角关系的非常重要的定理。
如图所示：任意 ABC 中， A , B , C 所对的边分别为 a,b,c ，则
正弦定理： a
b
c
2R （ R 为 ABC 外接圆半径）
sin A sin B sin C
) sin
cos( ) cos
t an(
) t an
cot( ) cot
（五） sin(2
) sin
co s( 2
) c o s tan(2
) tan
cot( 2
) cot
（六） sin(
) cos
2
cos(
) sin
2
tan( 2
) cot
cot(
) tan
2
（七） sin(
) cos
2
cos(
1
cos sin
sin(
) sin(
)
2
cos cos
1 cos(
2
) cos(
) sin sin
1 cos(
2
) cos
6. 和差化积公式：
① sin sin 2 sin
cos
2
2
② sin sin
2 cos
sin
2
2
③ cos cos 2 cos
cos
④ cos cos
2
2
2 sin
sin
2
2
7. 三角形面积公式
cos 2 sin 2
sin 2 cos2
1 tan 2 1 tan 2
sin 2
1 cos2 2
tan 2
2
1 tan
cos2
1 cos2 2
4. 半角公式：（符号的选择由 所在的象限确定） 2
sin 2
1 cos 2
sin 2
1 cos
2
2
cos 2
1 cos 2
cos2
1 cos
2
2
tan 2
( 其中 p 1 (a b c) , r 为三角形内切圆半径 ) 2
定理结论的证明
1. 勾股定理的证明：
本证明选自《几何原本》 ( 欧几里得 ) 第 I 卷 命题 47.
2. 正弦定理的证明： 做三角形外接圆进行证明； 需利用结论同弧所对的圆周角相等， 角为直角； 同弧所对圆周角相等的证明：
及直径所对圆周
4. 正余弦和差公式 :
奇变偶不变，符号看相线
① sin(
) sin cos cos sin
② cos(
) cos cos sin sin
推导结论
1. 基本结论
2
(sin cos ) 1 sin 2
2. 正切和差公式：
tan(
)
tan 2
1 1 cos2
sin(
)
cos(
)
tan tan
1 tan tan
1. 勾股定理： sin 2 cos2 1
1. 正弦定理： a = b = c = 2R （R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
2. 余弦定理： a 2 =b2 +c 2 -2bc cos A
b2 c2 a2 cos A
2bc
3. 诱导公试 :
k 2
sin cos tan cot
S⊿ = 1
2
a
1 ha = 2
ab sinC
=1 2
bc sin
A=1 2
ac sin B
= abc 4R
=2R2 sin A sin B sin C
= a2 sin B sin C = b2 sin Asin C = c2 sin A sin B
2sin A
2sin B
2sin C
=pr
= p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式，证明见下文 )