结构力学之静定平面桁架

450 N1 P
静定平面桁架
A
B Nb
X B P Y
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为求Nb，取结点B为研究对象， ∑X=0，
2 N b P cos 45 P 2
0
（拉力）
静定平面桁架
（三）结点法和截面法的联合应用
在例题3中，先用截面法求出部分杆的轴力后，再用结 点法求出b杆的轴力。在一道题中，结点法和截面法都 得到了应用。求解桁架，不必拘泥与那种方法，只要 能快速求出杆件的轴力，就是行之有效的。 1．基本理论 隔离体（研究对象），平衡力系 2．技巧 （1）结点法和截面法的联合应用，不分先后，简单、快捷 求出内力为前提。 （2）巧取隔离体，即巧作截面，避免求解联立方程。 （3）尽力避免求未知力臂，可把所求力沿其作用线延长至 恰当位置后分解，先求分力，再用相似定理求该力。 （4）结点法求解时，选恰当的坐标系，尽力避免求联立方 程。 （5）有零杆的结构，先去掉零杆。
静定平面桁架
原结构去掉零杆后变为下图：
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通过此题的过程，我们要学会巧取坐标系， 掌握受力图的画法。
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（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象） 1．截面法的应用条件：
截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3个
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2．截面单杆的概念
解：1）先找零离力杆。
N67=0，N63=0， N85=0 2）取结点8为研究对象，画出 受力图
3
4
5
4m 1
3m N87 8 40 kN N85=0 3m ∑X=0，N87+40=0， 得： N87= -40 kN（得负值表示受压）
2
未知轴力N87以受拉方向画出。
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3）再取结点7为研究对象，画出受力图。 7 未知轴力N73，N75以受拉方向画出， 6 已知轴力N87以实际方向画出。 0 N73 40 kN φ N75 Y X 3 1 3m 3m 4 8 40 kN 4m 5 40 kN 4m 2
Nby 3d P 2d 0 2P 得： N by 3
Nb A P B Nbx
Nby Nb
N b N by ，得： 由相似定理， L Ly
L 5d 2 5 Nb N by P P （压力） Ly 2d 3 3
静定平面桁架
例题3
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2．特殊杆件
（1）连接两根不共线杆的结点，若该结 点上无荷载作用，则此两杆的轴力为零。 （二元体上无结点荷载，该两杆不受力） S1=0
S2=0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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（2）连接三根杆的结点上无荷载，且其中两根杆共线， 则另一杆必为零轴力杆 S2 S3=S2 S1=0
（3）‘X’形连接杆件的受力特点。 S1 （4）‘K’形连接杆件的受力特点。 S3 =S4 S2 =S1
§1 桁架
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钢桁架
钢筋混凝土桁架
木桁架
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九江长江大桥主桁梁 162m
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25.5m 56m 北京体育馆主体桁架的一片
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1．桁架的计算简图
桁架模型简化的基本假设
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例题 求指定杆的轴力 1 F A 3 H P 2P P 2d 4d
2
B
d
Y d
N1
2P
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X
2d
解：1）支反力 VA=VB=2P，HA=0 2）由对称性，结点E的两根斜杆轴力相同。 F 取结点E为研究对象 ∑Y=0，2N1 y=2P ，得：N1 y=P ， 用相似定理得： 得 N= 1
A
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II 1 2 3 II A 作II—II截面，取右半为研究对象，
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∑Y=0 ，N2= - P（压力） ∑MB=0 ， P
B
P
N3 d P d 0
得：N3= - P（压力）
N2
N3
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例题2 求Nb
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4）再取结点3为研究对象，画出受力图。 未知轴力N73，N75以受拉方向画出， 6 已知轴力N37以实际方向画出。
40 kN φ X N34 1 3m 3m ----------------（1） ---------------（2）
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7
8
40 kN 4m
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求指定杆的轴力。
P/2
4
P 5 Ⅰ1
6
P Ⅱ 7 5 6
2 3
P
P/2
解: 1、先求出反力。 2、弦杆
N1= －P N4= P UNIVERSITY OF JINAN 1 4m
4 2 Ⅰ 3 Ⅱ 4m
P/2 4m P/2 5 4 6 1 2P 2P 2 4m
3、斜杆 2P ∵结点6为K型结点。 ∑M2=0 N1×6+（2P－P/2）×4=0 N6=－N5 ∴ N1= －P Y=0 得：Y52P YP/2 P －P/2=0 再由 －－ －4=0 ∑M∑ ）× 6+2P 5=0 N4×6 － （ N4= P ∴ N =－N =5P/12 ∴ Y6=P/4 6 5 4、竖杆 由于对称：N3=N5 1 取结点7为分离体。 由∑Y=0 得： P N1 N Y5+Y3+ P+N2=0 N5 N3 ∴N2=－P/2
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∑X=0， N 73 cos 40 N 75 cos --------------（1） ∑Y=0， N 73 sin N 75 sin 0
------------（2）
由于sinφ=0.6 ，cosφ=0.8，由（1），（2）两式得： N73= -25 kN（受压） ，N75= 25 kN（受拉）
b
3d B
A P
Nb
A
P 3d P
解：直接结点法不能求解。必须用截面法，这就需要找 截面单杆。 为此，作截面I—I，取内部为研究对象。如图，Nb为截 面单杆。
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∑MA=0 ，Nb的力臂不易求出。
为此，把Nb沿其作用线延长 至B点，然后分解，先求Nb y ∑MA=0，
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假设1：各杆件都用光滑铰链相连接
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假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心
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假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上
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1．桁架的计算简图
桁架各杆之间的连接一般由螺栓或焊接（具体在《钢结构》 中学习），为简化计算，通常作如下假设： ①各结点是光滑无摩擦的铰结点 ②各杆轴均为直线，且通过铰的几何中心 ③荷载作用在结点上 这样的桁架称为理想桁架。桁架中每根杆仅在两端铰接， 这样的杆称为链杆或二力杆。
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S4
S1
S2= - S1
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3．相似定理
B L Ly A Lx Sx
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S Sy
S S y Sx L L y Lx
4．计算例题
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例题1 6 7
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8
40 kN 4m 40 kN
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取∑Y=0，先求Na y ，再由相似定理求Na
3．计算例题
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例题1 求指定杆1，2，3的轴力 I 1
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P
2 3 I
d
4d
作I—I截面，取右半为研究对象 解： P N1
∑MA=0 ，
N1 d P d
得：N1=P（拉力）
3
4
5
40 kN 4m 2
Y ∑X=0， N 34 40 cos 0 ∑Y=0， N 31 40 sin 0
N31
由于sinφ=0.6 ，cosφ=0.8，由（1），（2）两式得： N34= 32 kN（受拉） ，N31= -24 kN（受压） 以后截取结点的顺序依次为： 5，4，1 。可保证每个结点 不多于两个未 知力，顺利求出每根杆的轴力。
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3、复杂桁架------不属于以上两类桁架之外的其它桁架。 其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以 分析，需用零荷载法等予以判别。
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二、桁架内力的数解法
（一）结点法 1．应用条件
（1）一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的 反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。 （结点有两个自由度，仅能建立两个平衡方程） （2）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均可 用结点法。
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一、桁架及其组成
桁架全部由仅在两端与铰结点相连的直杆件连接而成 的结构，广泛应用于建筑工程和机械工程。
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建筑
桥梁
通讯
输电
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II 2
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II NCD
N2 F N 2x
N2y B 2P
4）作II—II截面，取右半为研究对象，把N2在B点分解 ∑MF=0，得：N2 y· 2d+2P· 2d=NCD· d ，得：N2 y=3P/2 由相似定理，N2=
（1）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于 同一点。则此杆为截面单杆。如图中的a、b、c杆 a 杆系 A 杆系
a b c
B
取∑MA=0，求Na
取∑MB=0，求Nc
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（2）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此 平行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如图中的 a Y a X
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2．桁架的组成及分类
腹(竖)杆
节间
上弦杆
端柱 桁高
跨度 L 下弦杆
斜腹杆
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桁架分类
1.简单桁架。 由铰结三角形出发，依此增加二元体，最后与基础连接。
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2、联合桁架——由简单桁架按几何 不变体系组成法则所组成的桁架。
2d P P（拉力）， N =P 1x d
EF FH N1 N1 y
N1 H
N1x
N1y
E
静定平面桁架
I
F 1 2
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3
H C
I
B
D N1 N3 P
3）作I—I截面，取右半为研究对象 ∑ME=0，得：NCD=7P（拉力）
NCD
∑X=0，N1 x+N3+NCD=0 ，得：N3= - 8P（压力）
N2
P
P 5N 1 N 5 N2 N6 N3 N4 2
2P N1
N4
（四）对称性的利用
对称结构在反对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值反号 对称结构在正对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值同号
E 点无荷载 红色的杆不受力 ,红色杆不受力
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FF Ay Ay
FF By By
静定平面桁架
例题2 找出所有零杆 P
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P
例题3 找出图示结构的零杆。
P 3 4 5
1
2
静定平面桁架
P 3 1 解：图中没有明显的零杆。 4
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5
2
考虑到14杆和24杆在结点4处构成‘K’形连接，且无荷载 作用，则 N14= - N24 ，即一杆受拉，另一杆受压。 N13 N14 X N12 Y （I）设14杆为拉力，N14 >0 ， 取结点1为研究对象，作受力分 析，取如图示坐标系。 由∑X=0，可知，12杆 必为压力，N12<0
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P 3 4 5
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1
X
2
N24
N25
再取结点2为研究对象，作受 力分析，取如图示坐标系。 由∑X=0，可知，24杆必为拉力， N24>0 这与‘K’形杆的受力矛盾。
N12
Y （II）设14杆为压力，N14 <0 ，同理得：N24<0，为受压 杆，这也与‘K’形杆的受力矛盾。 综上（I）、（II）所述，14杆只能是零杆。
A
I
a 3
P d
B
b d 2
解：直接结点法不能求 解。必须用截面法，这 就需要找截面单杆 为此，作截面I—I，取 右半部为研究对象。如 图，N1为截面单杆。
Y X
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P d P
1 d I P
求支反力
∑Y=0，易得：N1=0 ， 从而，N2=0， Na=0， N3=0