离散型随机变量的均值、方差和正态分布

[解] (1)“有放回摸取”可看作独立重复试验， 2 1 每次摸出一球是白球的概率为 P＝ ＝ . 6 3 记“有放回摸两次，颜色不同”为事件 A，其 4 概率为 P(A)＝ . 9
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(2)设摸得白球的个数为 X，则 X 的取值为 0,1,2， 4 3 2 P(X＝0)＝ × ＝ ， 6 5 5 4 2 2 4 8 P(X＝1)＝ × ＋ × ＝ ， 6 5 6 5 15 2 1 1 P(X＝2)＝ × ＝ . 6 5 15
第十章 第9讲
第21页
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1) 熟记 P(μ － σ<X≤μ ＋ σ) ， P(μ － 2σ<X≤μ ＋ 2σ) ， P(μ － 3σ<X≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x＝μ 对称，从而在关于 x＝μ 对称的区 间上概率相等． ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
考向二 例 2
均值与方差的实际应用
[2014· 福建高考]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖
的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值 之和为该顾客所获的奖励额．
(1) 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)[2015· 许昌检测]某人从某城市的南郊乘公交车前 往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分) 服从 X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车 站的概率为________．
[答案] 0.9544
[解析] ∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.
x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn 称 E(X)＝ 为随机变量 X 的均
值或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
(2)方差 称 D(X)＝ 画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 为随机变量 X 的方差，它刻
平均偏离程度 ，其
算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差．
2. 均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b
2 a (2)D(aX＋b)＝ D(X)
. (a，b 为常数)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
考向一 例1
离散型随机变量的均值与方差
一口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球，
每次从袋中任意摸出一个球． (1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰 好颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白 球的个数的均值和方差．
2 种必会方法：均值、方差和正态分布问题的求解方法 (1)①若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； ②X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； M ③若 X 服从超几何分布，则 E(X)＝n N . (2)正态总体在某个区间内取值的概率的求法： 一要熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ) 的值， 二要充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.
离散型随机变量的均值、方差和正态 分布
1. 理解取有限个值的离散型随机变量均 值、方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方 差，并能解决一些实际问题.
考点 1
离散型随机变量的均值与方差
1. 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P (1)均值 x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn
∴X 的分布列为 X 0 1 2
2 8 1 P 5 15 15 2 8 1 2 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ， 5 15 15 3 22 2 22 8 2 2 1 16 D(X)＝(0－ ) × ＋(1－ ) × ＋(2－ ) × ＝ . 3 5 3 15 3 15 45
离散型随机变量均值与方差的求解方法 数学期望与方差、 标准差都是离散型随机变量中重要的数字 特征，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，方差、标准差 都反映了随机变量取值的稳定程度、 集中与离散的程度． 求解离 散型随机变量的分布列、 期望与方差时， 首先要分清事件的构成 与性质， 确定离散型随机变量的取值， 然后根据概率类型选择公 式，求解变量取某一个值的概率，列出分布列，最后根据期望与 方差的定义或计算公式求解．
(4)曲线与 x 轴之间的面积为 (5)当 σ 一定时，曲线随着 平移，如图甲所示；
1 ；
的变化而沿 x 轴
μ
第十章 第9讲
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(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．Σ越小 ，曲线越“瘦
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3. [2015· 广东检测]已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(2≤X≤4)＝0.6826，则 P(X>4)等于( A. 0.1588 C. 0.1586 B. 0.1587 D. 0.1585
B
)
解析： 由于 X～N(3,1)， 故正态分布曲线的对称轴为直线 x＝3， 1－P2≤X≤4 所以 P(X>4)＝P(X<2)，故 P(X>4)＝ ＝0.1587，故选 2 B.
(3)在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的 对称轴是 x＝μ(μ≠0)，而不是 x＝0.
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越大 ，曲线越“矮胖”，表 高”，表示总体的分布越集中； σ
示总体的分布越分散，如图乙所示．
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2. 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 ； .
即 X 的分布列为 X P 20 1 2 60 1 2
所以顾客所获的奖励额的期望为 1 1 E(X)＝20×2＋60×2＝40(元)．
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考点 2
正态分布
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1. 正态曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； (3)曲线在x＝μ 1 处达到峰值 ； σ 2π
3 点必须注意：均值、方差和正态分布问题求解中注意的事项 (1)在记忆 D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b， D(aX＋b)≠aD(X)． (2)求随机变量 ξ 的期望与方差时，可首先分析 ξ 是否服从二 项分布，如果服从 X～B(n，p)，那么用公式 E(X)＝np， D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
4. 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果 表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(μ， 22)， 且正态分布密度曲 线如图所示． 若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况， 则这 1000 名男生中属于正常情况的人数是( D )
[解 ]
(1)设顾客所获的奖励额为 X.
1 C1 C 1 1 3 ①依题意，得 P(X＝60)＝ 2 ＝ ， C4 2
1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 . 2 ②依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 C2 1 3 P(X＝60)＝ ，P(X＝20)＝ 2＝ ， 2 C4 2
1×1 1 P(ξ＝6)＝ ＝36， 6×6 所以 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 1 1 5 1 1 P 4 3 18 9 36
(2)由题意知 η 的分布列为 η P 1 a a＋b＋c 2 b a＋b＋c 3 c a＋b＋c
a 2b 3c 5 所以 E(η)＝ ＋ ＋ ＝ ， a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 3
考向三 例3
有关正态分布的问题
(1)[2015· 湖北模拟]已知随机变量 ξ 服从正态 )
分布 N(2，σ2)，且 P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<2)＝( A. 0.6 C. 0.3 B. 0.4 D. 0.2
C
[解析]
此正态曲线是关于 x＝2 的一个轴对称图形，根据其
对称性求解概率．由 P(ξ<4) ＝0.8 知 P(ξ>4) ＝P(ξ<0) ＝0.2，故 P(0<ξ<2)＝0.3.故选 C.
A. 997
B. 954
C. 819
D. 683
解析：解决本题的关键是求 P(58.5<X≤62.5)． 由题意，可知 μ＝60.5，σ＝2，故 P(58.5<X≤62.5)＝ P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况 的人数是 1000×0.6826≈683.
1 个重要作用：均值与方差的作用 均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量 平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值 情况的估计．
[学以致用] 1．[2013· 浙江高考]设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个 蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取 出一个蓝球得 3 分． (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每 球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数 之和，求 ξ 的分布列；
5 2 5 2 5 2 a b c D(η) ＝ 1－3 · ＋ 2－3 · ＋ 3－3 · a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c
5 ＝ ， 9 2a－b－4c＝0， 化简得 a＋4b－11c＝0. 解得 a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1.
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 5 5 η 为取出此球所得分数．若 E(η)＝ ，D(η)＝ ，求 a∶b∶c. 3 9
解：(1)由题意得 ξ＝2,3,4,5,6. 3× 3 1 故 P(ξ＝2)＝ ＝ ， 6× 6 4 2×3×2 1 P(ξ＝3)＝ ＝ ， 3 6×6 2×3×1＋2×2 5 P(ξ＝4)＝ ＝ ， 18 6×6 2×2×1 1 P(ξ＝5)＝ ＝ ， 9 6×6