导学案031不等式与不等关系

不等式与不等关系

考纲要求

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．

2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析

1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点．

2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档．

3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程

基础梳理

一、实数大小顺序与运算性质之间的关系

a －

b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ； a －b ＜0⇔ . 二、不等式的基本性质

1.对称性a >b ⇔

2.传递性a >b ，b >c ⇒

3.可加性a >b ⇒

4.可乘性 a >b c >0⇒ ，

⎭

⎬⎫

a >

b

c <0⇒

5.同向可加性

⎭

⎬⎫

a >

b

c >

d ⇒

6.同向同正可乘性

⎭

⎬⎫

a >

b >0

c >

d >0⇒

7.可乘方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)

8.可开方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)

两条常用性质

① a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1

b

② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m

a ＋m

；

双基自测

1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定

2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 20

3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的

( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________．

5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：

①若a >b ，则a

c

2

>b

c

2

；②若a

c

2

>b

c

2

，则a >b ；

③若a >b ，则a ·

2

c

>b ·

2

c

以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．

1．不等式性质使用时注意的问题：

在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c 的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不

等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在大小比较中的作用．

典例分析

考点一、比较大小

[例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >y

y ＋b .

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·杭州模拟)已知a >b ≥2.现有下列不等式： ①

b

2

>3b －a ；②ab >a ＋b .其中正确的是 ( )

A ．①

B ．②

C ．①②

D ．都不正确

2．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )

[冲关锦囊]

比较大小的方法 1．作差法：

其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 2．作商法：

其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法：

若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.

考点二、不等式的性质

[例2] (2011·全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( )

A ．a >b ＋1

B ．a >b －1

C ．a 2>b 2

D ．a 3>b 3

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)

3．(2012·义乌模拟)设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是

( )

A ．a －b >0

B ．a ＋b >0

C ．a

2

－

b

2

>0

D ．

a 3＋

b

3

<0

4．(2012·天津调研)已知三个不等式：①ab >0；②c a >d

b ；③b

c >a

d .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成

________个正确命题．