自动控制原理大作业

自动控制原理大作业 Revised as of 23 November 2020
恒温箱自动控制系统的分析与实现
（北京通大学机械与电子控制工程学院，北京 100044）
摘要：本文的主要内容是对恒温箱自动控制系统结构图进行分析，画出结构框图，算出传递函数。

在对恒温
箱自动控制系统仿真的基础上，在控制器选择，执行机构选型，对象的建模与时域和频域分析等方面进行全面、综合的分析，并对其进行频域校正，针对系统存在的问题找到合适的解决办法，构建校正网络电路，从
而使得系统能够满足要求的性能指标。

关键词：增益系统传递函数频域分析频域校正
Constant temperature box automatic control system analysis
and Implementation
Zhang Xinjie,Jia Chengcheng,Xian Zhuo,Zhou Jing,Shi Zhen
(School of Mechanical, Electronic and Control engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044，China)
Abstract：The system is mainly to solve the problem of constant temperature box automatic control system structure diagram analysis, draw the structure diagram, calculate the transfer function. In the constant temperature box automatic control system based on the simulation, in the controller, actuator selection, object modeling and analysis of time domain and frequency domain and other aspects of a comprehensive, integrated analysis, and carries on the frequency domain correction system, aiming at the existing problems to find a suitable solution, constructing a calibration network circuit, thereby enabling the system to to meet the requirements of performance index.
Key words: gain transfer function of the system frequency domain analysis frequency domain correction
1 工作原理及性能要求
恒温箱自动控制系统的工作原理图如图1所示。

图1 恒温箱自动控制系统的工作原理图
恒温箱实际温度由热电偶转换为对应的温度值。

恒温箱期望温度由电压u1给定，并与实际温度u2比较得到温度差，即为温度偏差信号。

温度偏差信号经电压、功率放
大后，用以驱动执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触头。

当温度偏高时,动触头向减小电流的方向运动,反之加大电流,直到温度达到给定值为止。

此时，偏差
u=0，电机停止转动。

这样便可实现自动控制温度恒定的性能要求。

控制系统中各环节及参数如下：
（1）直流电机：励磁线圈电阻r f=20Ω，电感L f=2H，扭矩常数C r=5(Nm/ A)，
P1=0.85kW，U N=110V，I N=9.8A，n N=1500r/min （2）电压放大电路：电压放大电路图如图2所示。

图2电压放大电路
（3）功率放大电路：功率放大电路如图
3所示
图3 功率放大电路
（4）调压器电路：调压器电路如图4所示
图4 调压器电路
要求系统相位裕量为40°±3°，过渡过程的调节时间不超过2秒，超调量不超过3%。

2 系统数学模型的建立与传递函数的求解
系统方框图
图5 恒温箱自动控制系统的组成框图
传递函数的求解
经简化后的电压放大电路如图6所示，由电压放大电路图可列出等式如公式（1）：
U0−U2
C3||R4
=U2
R5
(1)
由此求的传递函数为如公式（2）：
G(s)=40
1.88×10−3s+1
(2)
图3功率放大电路
则得到电压放大电路的传递函数如公式（3）：
G1(
s
)=40
1.88×10−3s+1
=40
1.88×10−3s+1
（3）图6 电压放大简化电路图
功率放大器简化电路图如图7所示，根据功率放大电路图得：
G2(s)=U0
U i =R2
R1
×R4
R3
=11×1
1×1
=11=K2（4）
器传递函数
调压器为自耦变压器，其简化电路图如图8所示，则其匝比就是其传递函数如公式（5）：
G3(s)=U2
U1=N2
N1
(5)
图7 功率放大电路
为便于计算令如公式（6）：G3(s)=K3 (6)
图8 调压器简化等效电路图
执行电机的电路图如图9所示。

电枢回路电压平衡方程如公式（7）
u a(t)=L a di a(t)
dt
+R a i a(t)+E a（7）式中E a是电枢旋转时产生的电势,其大小与激磁磁通成正比，方向一样电枢电压u a(t)相反,即E a=C e n(t)， C e是反电势系数。

电磁转矩方程如公式（8）
T m(t)=C m i a(t)（8）
式中，C m是电机转矩系数； T m(t)是电枢电流产生的电磁转矩。

电动机轴上的转矩平衡方程如公式（9）（令T m(t)=M m(t)）
J dn(t)
dt +f m n(t)=M m(t)−M c(t)（9）图9 执行电机电路图
式中，f m是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；J是电动机和负载折
合到电动机轴上的转动惯量。

消去中间变量i a(t)， E a及M m(t)，便可得到以n(t)为输出量， u a(t)为输入量的直流电动机微分方程如公式（10）：
L a J d2w m(t)
dt2+(L a f m+R a J)dn(t)
dt
+(R a f m+C m C e)n(t)=C m u a(t)−L a dM c(t)
dt
−
R a M c(t)（10）
在工程应用中，电枢电路电感a L较小，通常忽略不计，因而上式可简化为公式（11）
τdn(t)
dt
+n(t)=K m u a(t)−K c M c(t)（11）
式中，τ=R a J/(R a f m+C m C e)是电动机的时间常数；K m=C m
R a f m+C m C e
，K c=
R a(R a f m+C m C e)
⁄是电动机传递系数。

上面我们已经求的电枢控制直流电动机简化后的微分方程如公式（12）：
T dn(t)
dt
+n(t)=K1u a(t)−K2M c(t)（12）式中M c(t)可视为负载扰动转矩。

根据线性系统的叠加原理，可分别求u a(t)到n(t)和M c(t)到n(t)的传递函数，以便研究在u a(t)和M c(t)分别作用下的电动机转速n(t)的性能，将他们叠加后，便是电动机转速的相应特性。

由传递函数定义，于是有公式（13）
G4(s)=K m
τ(s)+1
(13)
下图是它的方框图图10：
根据题目所给条件得到电机传递函数如公式（14）：
G4(s)= 1.6
s(0.48s+1)
(14)
减速器部分为典型的比例环节，传递函数可直接得出。

其中j为减速器传动比。

由已知可得到公式（15）：
G5(s)=K′5
j =K′5
8
(15)
系统总传递函数及框图
系统框图如图11所示。

图10 执行电机系统方框图
由以上所求各部分的传递函数可得到本系统的总传递函数如公式（16）： G (
s )=G 1(s )G 2(s )G 3(s )G 4(s )G 5(s )=401.88×10−3s+1K 2K 3 1.6s(0.48s+1)
K′5j (16) 整理得公式（17）：
G (s )=G 1(s )G 2(s )G 3(s )G 4(s )G 5(s )=W k =K
k s (0.0018s+1)(0.48s+1) (17) 其中，k k 为开环增益，根据系统参数，可计算得k k =180。

3 系统时域和频域分析
待校正系统传递函数如公式（18）：
G (s )=180
s(1.88×10−3s+1)(0.48s+1)=180
0000864s 3+0.4818s 2+s (18)
系统时域分析：
画出时序函数图像如图12，闭环传递函数为
W B =W k 1+W k
图12 恒温箱自动控制系统单位阶跃响应
时序图与仿真图
400.00188s +1 K 58
1.6s(0.48s +1) -1
图11 系统方框图
根据图像，可以得出调节时间为t s=5.37s>2s，超调量σp=88%>3%。

所以，该系统没有达到预定要求。

为了分析k k对系统的影响，分别绘制出k k=5，50，180时的单位阶跃响应时序图，如图13，其中，开环传递函数为
W k=
K k
s(0.0018s+1)(0.48s+1)
图13 不同K k单位阶跃响应时序图
由图分析可得，随着k k不断增大，调节时间t s不断增大，超调量也不断增大，但对于I型系统稳态误差减小；随着k k不断减小，超调量减小，调节时间t s减小，但是稳态误差增大。

因此，为了改善系统的性能参数，单纯地增大或者减小k k是不可取的。

系统频域分析：
然后，画出待校正系统的对数幅频特性bode图，如图14所示。

图14 系统伯德图
从图中可以得出，系统穿越频率为ωc=20.8rad/s，对应的相角为φc=−176°，由此可以得出系统相位裕量为
γ=180°+φc=180°−176°=4°≤40°±3°
因此，对于相位裕量，系统不能达到预定要求，要进行校正。

系统根轨迹：
W k=
k g
s(s+556)(s+2.08)
系统的开环极点分别为0，，-556，绘制出其根轨迹如图15：
图15 系统根轨迹图
可见，系统在k g≤6.64×105时均是稳定的，但是随着k g不断增大，系统稳定裕量不断降低，系统趋于不稳定的趋势越高。

4 系统的校正
校正过程如下：
（1）选择新的穿越频率ωc‘
从伯德图上可以看出，当ω=2.04rad/s时，相位移为−135°，此时系统有45°的相位裕量。

这样，选择ωc‘=2.04rad/s，可采用滞后引前校正电路进行校正。

（2）确定滞后引前校正电路相位滞后部分
设交接频率为ω1=1/T i,选择在穿越频率的十分之一处，即ω1=0.204rad/s，并且选择γ=10,则交接频率ω0=1/γ，T i=0.0204rad/s，所以，滞后-引前校正电路相位滞后部分的传递函数可写成
s+0.204 s+0.0204=10（
4.90s+1
49.0s+1
（
（3）相位引前部分的确定
因为新的穿越频率ωc′=2.04rad/s，从原传递函数伯德图可以求出W(jωc‘)= 36dB。

因此，如果滞后-引前校正电路在ωc′=2.04rad/s处产生−36dB的增益，则ωc′
即为所求。

据此，通过点（s，—36dB）可以画出一条斜率为20dB/十倍频的直线与0dB线及-20dB的交点，就确定了所求的交接频率。

故得相位引前部分的交接频率ω2=12.87rad/s，ω3=128.7rad/s。

所以引前部分的传递函数为
s+12.87
s+128.7
（4）滞后—引前校正装置的传递函数为
W c=
s+12.87s+0.204
（5）校正后系统的开环传递函数为：
W k W c=
180
()
s+12.87s+0.204
（6）校正系统时域分析
如图16所示，用试探法从图中可以测量得，系统超调量为34%，相比之前有了很大的改进，调节时间小于2s，满足系统要求。

图16 校正系统时序图
（7）校正系统频域分析
校正系统bode图和根轨迹图见图17。

由伯德图可知，系统相位裕量为γ(ωc)= 37°在40°±3°范围内，故满足要求。

图17 校正系统频域图
（8）系统最终开环传递函数
系统经过滞后—引前校正后的开环传递函数为
W=W k W c=
180
s(0.0018s+1)(0.48s+1)
s+13.1
s+131
s+0.21
s+0.021。