二次函数教学§2.4 二次函数的图象习题课(两课时)

§2.4 二次函数c bx ax y ++=2的图象习题课(两课时）

一、例题：

【例1】二次函数y=ax 2

＋bx 2

＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）

【例2】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

【例3】在同一坐标系中，函数y=ax 2

＋bx 与y=x

b

的图象大致是图中的（ ）

【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2

＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？

【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2

＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

【例6】抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．

【例7】已知二次函数y=（m －2）x 2

＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．

（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．

【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x

（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－

102x ＋107x ＋107，如果把利润

看作是销售总额减去成本费和广告费．

（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？

（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：

符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．

【例9】已知抛物线y=a （x －t －1）2

＋t 2

（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2

－2x ＋1的顶点是B （如图）．

（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2

－2x ＋1上，为什么？ （2）如果抛物线y=a （x －t －1）2

＋t 2

经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

【例10】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=3

4

，

直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？

【例11】已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2

－1）x 2

－2（k －2）x ＋1上．

（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B 与A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．

【例12】如图，A 、B 是直线ι上的两点，AB=4cm ，过ι外一点C 作CD ∥ι，射线BC 与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm ，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1cm 的速度，沿由B 向C 的方向运动；Q 以每秒2cm 的速度，沿由C 向D 的方向运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒，当t ＞2时，PA 交CD 于E ．（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长；（2）求△APQ 的面积S 与t 的函数表达式；（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？

【例13】如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι

按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：

（1）当t=3秒时，求S的值；

（2）当t=5秒时，求S的值；

【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．

（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？

（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）

【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．

（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

【例16】阅读材料，解答问题．

当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2

－2mx ＋m 2

＋2m －1①，有y=（x －m ）2

＋2m －1②，∴抛物线的

顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩

⎨⎧-==．　④， ③

12m y m x 当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化． 把③代入④，得y=2x －1．⑤

可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题：

（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．

（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2

－2mx ＋2m 2

－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．

二、课后练习：

1．抛物线y=－2x 2

＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．

2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的大致图象为（ ）

3．已知二次函数y=41x 2－2

5

x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，

y 随x 的增大而减小．

4．抛物线y=2x 2

向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为

．

5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。

6．已知点（－1，y 1）、（－321，y 2）、（2

1，y 3）在函数y=3x 2

＋

6x ＋12的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）

A ．y 1＞y 2＞y 3

B ．y 2＞y 1＞y 3

C ．y 2＞y 3＞y 1

D ．y 3＞y 1＞y 2