2017届辽宁省沈阳市高三数学(文)一模试题答案

参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P
【考点】子集与真子集．
【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．
【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，
可知Q⊆P，
故选：B．
2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．
【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），
可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0
所以m=
故选C．
3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，
∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，
方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．
方法2：由题意知y i=x i+a，
则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，
方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．
故选：A．
4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）
A．18B．24C．60D．90
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．
【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，
∴a42=a3a7，
即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），
整理得2a1+3d=0，①
又∵，
整理得2a1+7d=8，②
由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，
∴，
故选：C．
5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，
∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
∴=2c，∴c2+4b2=4c2，
∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，
∴c2=4a2，即c=2a，
b==a ，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x ，
即为y=±
x ．
故选：B ．
6．在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足
，则△AOB 和△AOC 的面积比是（ ）
A ．3：4
B ．3：2
C ．1：1
D ．1：3 【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．
【分析】设M 为AC 的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得
+=2，结合题意可得2
=﹣3，由数乘向量的性质可得B ，O ，M 三点共线，且2OM=3BO ；进而可得==，而又由S △AOB +S △BOC =S △ABC ，分析可得S △AOB =S △ABC ，结合题意计算可得△AOB 和△AOC 的面积比，即可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：在△ABC 中，M 为AC 的中点，
则
+=2， 又由，则有2=﹣3，
从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM=3BO ；
由2OM=3BO 可得，
==，
S △AOB +S △BOC =S △ABC ，
又由S △AOB =S △BOC ，则S △AOB =S △ABC ，
则=；
故选：D．
7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）
A．18B．C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，
∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，
∴圆半径r=3．
圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，
其两者之差即为圆的直径，
故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，
故选：B
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．3πC．D．6π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为：=3π．
故选B．
9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）
A．4B．9C．16D．18
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，
其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，
联立，解得A（3，﹣1），
而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，
∴x2+2x+y2的最大值是16．
故选：C．
10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=log23＞==b，
=＞log34=c，
∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．
故选：D．
11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC 最短为（）
A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米
【考点】余弦定理；基本不等式．
【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．
【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，
在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，
即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
因此y=，
y=（x﹣1）++2≥+2，
当且仅当x﹣1=时，取“=”号，
即x=1+时，y有最小值2+．
故选：D．
12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，
∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．
∴椭圆的离心率为．
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n
+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=
+2
．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．
【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为
a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，
∴q2+q﹣6=0．
∵q＞0，∴q=2．
a2=a1q=1，∴a1=．
∴S4===．
故答案为
14．如图所示，输出的x的值为17．
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=51，b=221
不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，
不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，
不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，
不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，
不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，
不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，
满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．
故答案为：17．
15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为12．（用数值作答）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．
【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18x|，
∴|sinx|=|log18x|，
作出y=|sinx|与y=|log18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：
由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点，
∴方程|cos（x+）|=|log18x|有12个解．
故答案为：12．
16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．
【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．
设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，
∴d=，CD=6，
∴R==2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．
【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a
=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+）+3，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，
由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，
∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，
解得x=+或x=+，（k∈Z），
∵x∈[0，]，
∴x=或x=，
∴所有根之和为+=．
18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
学历35岁以
下35～50
岁
50岁以
上
本科803020
研究生x20y
（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅰ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．
【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．
【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．
（Ⅰ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．
【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．
∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．
（Ⅰ）解：依题意得：，解得N=78．
∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．
∴，解得x=40，y=5．
19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．
（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；
（Ⅰ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．
+V E﹣ABCD ，只有分别求解【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V E
﹣FCD
两个棱锥的体积即可；
（Ⅰ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅰ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）连接ED，
∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，FD∩AD=D，
∴AD⊥平面FDC，
V E
=AD•S△FDC=××1×2×2=，
﹣FCD
=EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，
V E
﹣ABCD
∴多面体EABCDF的体积V=V E
+V E﹣ABCD =+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣FCD
﹣﹣﹣
（Ⅰ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C （2，2，0），F（0，2，1），
∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：
取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设直线EB与平面ECF所成角为θ，
∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣
（Ⅰ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
如图所示…
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，
过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅰ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅰ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b 的值，即可求得椭圆的方程；
（Ⅰ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y Q=∈[﹣，0）∪（0，
]，即可求得Q的纵坐标的范围；
（Ⅰ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅰ）可知，代入即可求得m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，
e==，c=1，
b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，
∴椭圆的方程；
（Ⅰ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，
当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，
∴x1+x2=，x1•x2=，
设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，
则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），
令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，
∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；
（Ⅰ）存在m=4，
假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，
即+=0，
k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，
∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，
∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，
解得：m=4．
21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．
（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；
（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．
【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f （x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当
时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；
（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f （x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．
【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：
x（﹣∞，﹣
2）﹣2（﹣2，﹣
）
﹣（﹣，+
∞）
f（x）+0﹣0+
f'（x）c c﹣
所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，
使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．
由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．
即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．
（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），
此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，
所以f（x）不可能有三个不同零点．
当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0，
当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增；
当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．
所以f（x）不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．
故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．
当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．
因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x0，y0），则为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
选修4-5：不等式选讲
23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：|a+b|＜；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；
（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．
【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，
由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…
∵a、b∈M，∴，
所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…
（2）由（1）得a2＜，b2＜．
因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）
=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…
所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。