平面任意力系
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MA H C G
D B
E H A R
A
C
G
’
D E
D
E
3
平面任意力系的平衡条件
R' ( X )2 ( Y )2
0
M O M O ( Fi )
0
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R' 和主矩 MO 都等于零。
X
0
平面任意力系的 平衡方程
35
Y 0
M O ( Fi ) 0
P YA 3
36
m, q=20kN/m, a=0.8m [例5] 已知：P=20kN, M=16kN· 求：A、B的支反力。
解：[AB梁]
M
M A (F ) 0 ,
X 0 , X A 0
a q a M RB a P 2a 0 2
Y 0 , qa YA RB P 0
8
力的平移定理 揭示了力对刚体产 生移动和转动两种 运动效应的实质。
9
力的平移定理在机械中的应用
10
如果一个刚体上承受的力多于三个，并且 不是一个汇交力系，在这种情况下如何解决刚
体的平衡问题？如何研究这些力之间的关系？
再复杂些，比如还有力偶等，又该如何处理？
11
2 平面任意力系向一点简化
合 成
Fx Fy cos( FR ', i ) 0.3283 , cos( FR ', j ) 0.9446 FR ' FR ' (FR ', i ) 70.84 , (FR ', j ) 180 19.16
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5 P 1 3.9 P 2 2355kN m
13
M1
M M
简化 中心
主矢
R ' F1 F2 F3 F1 F2 F3
Fi M O M1 M 2 M 3
M O ( F1 ) M O ( F2 )
M O ( Fi )
14
主矩
主矢
R ' Fi
R R
（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
24
④ R ≠0,MO ≠0 ,为最一般的情况。 此种情况还可以继续简化为一个合力 R 。 R'
d
O'
R´≠0 ,MO ≠0
R"
R=R''= R' M d O R
合力 R 的大小等于原力系的主矢
MO 合力 R 的作用线位置 d R
一个投影式 方程，两个力矩 式方程 使用条件： AB连线与x轴不垂 直
三力矩式
M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0 M C ( Fi ) 0
三个力矩式 方程
方程
说明
使用条件： A、B、C三点不 共线
可以把作用在刚体上点A的力 F 平行移到任一点B ， 但必须同时附加一个力偶。这个附加力偶 的矩等于原来 的力 F 对新作用点B 的矩。
F F B
A
M
A
5
[证 ]
M
F′= F˝ = F
M
6
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
平 移
简化 中心
M1
M
M
F1 F1 F2 F2 F3 F3
M 1 M O ( F1 ) M 2 M O ( F2 ) M 3 M O ( F3 )
12
M1
M M
简化 中心
一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系
向一点简化
汇交力系+力偶系
力 ， R´ (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
F F
A B
B M
A
7
二、力的平移性质
1．当作用在刚体上的一个力沿其作用线滑动到任意 点时，因附加力偶的力偶臂为零，故附加力偶矩为零。 2．当力的作用线平移时，力的大小、方向都不改变， 但附加力偶矩的大小与正负一般会随指定点O的位置的不 同而不同。 3．力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系 分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。
15
平 移
简化 中心
M1
M M
合 成
大小： M O M O ( Fi )
主矩MO
方向： 方向规定 +
与简化中心有关
—
[因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和]
16
固定端约束 P P
FA
FAy FAx
17
固定端约束
18
Fx
M Fy
19
20
21
简化结果分析
简化
简化 中心
简化结果： 主矢R ，主矩MO ，下面分别讨论：
结论： 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力
R 25
• 机床床鞍的导轨运动
在卧式车床中，传动丝杠曳引床鞍的作用力Ｆ
26
因此，在某些大型车床或高精度的螺纹车床中，往 往把传动丝杠安排在两个导轨的中间，以达到消除或减 小附加力偶的目的。
27
[例1] 已知F1=2kN，F2=4kN，F3=10kN，正方形的边长为 a（cm），求力系的最终简化结果。 3 解：Rx X 2 10 4(kN) 5 y F3 3 R’ O F2 α 4
Y 0 , FAy P1 q 8 FB P2 0
FAx 0 FB 5kN FAy 7 kN
38
平面任意力系平衡方程的其他形式
X 0
M A ( Fi ) 0
R
M B ( Fi ) 0
A 二矩式 B x
条件：x 轴不 AB 连线
39
M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
45
[例9] 求A处 支座反力。 P=qa m=qa2 a
解：[整体]
a
3a
q
A
46
P=qa m=qa2 a a 解：[整体] 1 X 0 , FAx 2 q (3a ) 0
3 qa 2
3a
FA y P 0 1 M A 0 , M A 2 q (3a) a Pa m 0
33
[例3] 已知:在刚体上的同一平面内作用有大小均为F 的六个力 （如图），则该力系可简化为一合力，其大小为 （ 2F ）， 作用线依次通过（ D 、 B ）两点。
B H C
R' x X 0
向A点简化：
G
R' y Y
2F
A
M A M A ( Fi ) 2Fa
B
Y 0，
M A ( Fi )
FAy FBD sin 45 P 0
0 ，( FBD cos 45) a P 2a 0
FAy P ； FAx 2 P
43
FBD 2 2P ；
FAy FAx 二矩式：
A
B
P
C
45°
FBD
M A (F ) 0 ,
A i
B i
C i
R
A B
C
三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
40
[例7] 已知：AB=BC=a，载荷P，求BD杆所受力和A点反力。
a A 45° B
a
P
C
D
41
a A B
a
P
C
45°
D 解：受力分析 [AC杆]
FAy
FAx
A
B
P
C
45°
FBD
42
FAy FAx
A 45° FBD
B
P
C
X 0 ， FAx FBD cos 45 0
Y 0 ,
MA q A FAx FAy
3 FAx qa 2 FA y qa 3 2 M A qa 2
47
总结 平面一般力系的平衡和应用
一、平面一般力系的平衡方程
物体在平面一般力系作用下，既不发生移动， 也不发生转动的静力平衡条件为：
各力在任意两个相互垂直的坐标轴上的分量的代数和均
解得：
XA 0
YA 24(kN)
RB 12(kN)
37
[例6]
FAy
P1=2kN q=1kN/m
M=10kNm FB D
P2=2kN
A
FAx
4m 解： X
C
4m
B
4m 3m
E
0 , FAx 0
M A 0 , P1 4 q 8 4 M FB 12 P2 15 0
为零，且力系中各力对平面内任意点的力矩的代数和也等于 零。
48
平面一般力系的平衡和应用
形式 基本形式
Fi x 0 Fiy 0 M 0 ( Fi ) 0
两个方程投 影式方程，一个 力矩式方程
二力矩式
Fix 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
3 4 2a 10 a 10 a 5 5
=4a (kN· cm)
MO
R’ O F2 d R
x
Mo 2 d a R 2
最终简化结果为一个合力R，作用线距离O点为d
29
例2 已知： F2 70kN; P 1 450kN,P 2 200kN, F 1 300kN,
31
（2）求合力及其作用线位置.
MO 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
32
（3）求合力作用线方程
2355 x 670.1 y 232.9
607.1x 232.9 y 2355 0
内容回顾：
汇交力系 力偶系
?
1
2.3
工程实例：
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面
内，并呈任意分布的力系.
2
2.3 平面任意力系
1 力的平移
2
平面任意力系向一点简化
3 平面任意力系的平衡条件 4 刚体系的平衡 5 静定与静不定问题的概念
3
观察图中书本的受力和运动情况。
思考？
4
1 力的平移
（移动效应）
主矩 M O M O ( Fi )
主矢
（转动效应）
R 的解析式 ：R Rx Ry ( X )i (Y ) j
2 2 R ( X ) ( Y ) R Rx y
大小：
2
2
与简化中心位置无关 [因主矢等于各力的矢量和]
Rx 方向： co s(R , i ) R
① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。
22
简化
M=MO
简化 中心
R´=0
② R =0,MO≠0
即简化结果为一合力偶, M=M O 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
23
简化
y R=R´ O
x
简化 中心
MO =0
③ R ≠0,MO =0,即原力系简化为一个作用于简化中心的合力。 这时，主矢就是原力系的合力。
( FBD cos 45) a P 2a 0
M B (F ) 0 ,
FAy a Pa 0
X 0
解得：
,
FAx FBD cos 45 0
FBD 2 2P ,
FAy P , FAx 2 P
44
FAy FAx
A
45° FBD
B
P
C
三矩式：
D
M A (F ) 0 ,
( FBD cos 45) a P Leabharlann Baidu 2a 0
M B (F ) 0 ,
FAy a Pa 0
M D (F ) 0 , FAx a P 2a 0
解得：
FBD 2 2P ,
FAy P , FAx 2 P
[例4] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究 ②画受力图 ③列平衡方程 A A B B
M A (F ) 0 ,
P 2a N B 3a 0,
2P NB 3
X 0 ， XA 0
Y 0 ， YA N B P 0,
求： 力系向O点的简化结果
合力与OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程
30
解：
（1）主矢：
F F
x y
F1 F2 cos 232.9kN P 1P 2 F2 sin 670.1kN
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
4 10 4 4(kN) R y Y 5
F1
R' R' x R' y
x
2
2
( X )2 ( Y )2
4 2kN
Y =45° tan tan Rx X 28
1 1
Ry
y F1
F3
4
3
M O M O ( Fi )
F1 a F3 x a F3 y a
D B
E H A R
A
C
G
’
D E
D
E
3
平面任意力系的平衡条件
R' ( X )2 ( Y )2
0
M O M O ( Fi )
0
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R' 和主矩 MO 都等于零。
X
0
平面任意力系的 平衡方程
35
Y 0
M O ( Fi ) 0
P YA 3
36
m, q=20kN/m, a=0.8m [例5] 已知：P=20kN, M=16kN· 求：A、B的支反力。
解：[AB梁]
M
M A (F ) 0 ,
X 0 , X A 0
a q a M RB a P 2a 0 2
Y 0 , qa YA RB P 0
8
力的平移定理 揭示了力对刚体产 生移动和转动两种 运动效应的实质。
9
力的平移定理在机械中的应用
10
如果一个刚体上承受的力多于三个，并且 不是一个汇交力系，在这种情况下如何解决刚
体的平衡问题？如何研究这些力之间的关系？
再复杂些，比如还有力偶等，又该如何处理？
11
2 平面任意力系向一点简化
合 成
Fx Fy cos( FR ', i ) 0.3283 , cos( FR ', j ) 0.9446 FR ' FR ' (FR ', i ) 70.84 , (FR ', j ) 180 19.16
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5 P 1 3.9 P 2 2355kN m
13
M1
M M
简化 中心
主矢
R ' F1 F2 F3 F1 F2 F3
Fi M O M1 M 2 M 3
M O ( F1 ) M O ( F2 )
M O ( Fi )
14
主矩
主矢
R ' Fi
R R
（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
24
④ R ≠0,MO ≠0 ,为最一般的情况。 此种情况还可以继续简化为一个合力 R 。 R'
d
O'
R´≠0 ,MO ≠0
R"
R=R''= R' M d O R
合力 R 的大小等于原力系的主矢
MO 合力 R 的作用线位置 d R
一个投影式 方程，两个力矩 式方程 使用条件： AB连线与x轴不垂 直
三力矩式
M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0 M C ( Fi ) 0
三个力矩式 方程
方程
说明
使用条件： A、B、C三点不 共线
可以把作用在刚体上点A的力 F 平行移到任一点B ， 但必须同时附加一个力偶。这个附加力偶 的矩等于原来 的力 F 对新作用点B 的矩。
F F B
A
M
A
5
[证 ]
M
F′= F˝ = F
M
6
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
平 移
简化 中心
M1
M
M
F1 F1 F2 F2 F3 F3
M 1 M O ( F1 ) M 2 M O ( F2 ) M 3 M O ( F3 )
12
M1
M M
简化 中心
一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系
向一点简化
汇交力系+力偶系
力 ， R´ (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
F F
A B
B M
A
7
二、力的平移性质
1．当作用在刚体上的一个力沿其作用线滑动到任意 点时，因附加力偶的力偶臂为零，故附加力偶矩为零。 2．当力的作用线平移时，力的大小、方向都不改变， 但附加力偶矩的大小与正负一般会随指定点O的位置的不 同而不同。 3．力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系 分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。
15
平 移
简化 中心
M1
M M
合 成
大小： M O M O ( Fi )
主矩MO
方向： 方向规定 +
与简化中心有关
—
[因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和]
16
固定端约束 P P
FA
FAy FAx
17
固定端约束
18
Fx
M Fy
19
20
21
简化结果分析
简化
简化 中心
简化结果： 主矢R ，主矩MO ，下面分别讨论：
结论： 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力
R 25
• 机床床鞍的导轨运动
在卧式车床中，传动丝杠曳引床鞍的作用力Ｆ
26
因此，在某些大型车床或高精度的螺纹车床中，往 往把传动丝杠安排在两个导轨的中间，以达到消除或减 小附加力偶的目的。
27
[例1] 已知F1=2kN，F2=4kN，F3=10kN，正方形的边长为 a（cm），求力系的最终简化结果。 3 解：Rx X 2 10 4(kN) 5 y F3 3 R’ O F2 α 4
Y 0 , FAy P1 q 8 FB P2 0
FAx 0 FB 5kN FAy 7 kN
38
平面任意力系平衡方程的其他形式
X 0
M A ( Fi ) 0
R
M B ( Fi ) 0
A 二矩式 B x
条件：x 轴不 AB 连线
39
M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
45
[例9] 求A处 支座反力。 P=qa m=qa2 a
解：[整体]
a
3a
q
A
46
P=qa m=qa2 a a 解：[整体] 1 X 0 , FAx 2 q (3a ) 0
3 qa 2
3a
FA y P 0 1 M A 0 , M A 2 q (3a) a Pa m 0
33
[例3] 已知:在刚体上的同一平面内作用有大小均为F 的六个力 （如图），则该力系可简化为一合力，其大小为 （ 2F ）， 作用线依次通过（ D 、 B ）两点。
B H C
R' x X 0
向A点简化：
G
R' y Y
2F
A
M A M A ( Fi ) 2Fa
B
Y 0，
M A ( Fi )
FAy FBD sin 45 P 0
0 ，( FBD cos 45) a P 2a 0
FAy P ； FAx 2 P
43
FBD 2 2P ；
FAy FAx 二矩式：
A
B
P
C
45°
FBD
M A (F ) 0 ,
A i
B i
C i
R
A B
C
三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
40
[例7] 已知：AB=BC=a，载荷P，求BD杆所受力和A点反力。
a A 45° B
a
P
C
D
41
a A B
a
P
C
45°
D 解：受力分析 [AC杆]
FAy
FAx
A
B
P
C
45°
FBD
42
FAy FAx
A 45° FBD
B
P
C
X 0 ， FAx FBD cos 45 0
Y 0 ,
MA q A FAx FAy
3 FAx qa 2 FA y qa 3 2 M A qa 2
47
总结 平面一般力系的平衡和应用
一、平面一般力系的平衡方程
物体在平面一般力系作用下，既不发生移动， 也不发生转动的静力平衡条件为：
各力在任意两个相互垂直的坐标轴上的分量的代数和均
解得：
XA 0
YA 24(kN)
RB 12(kN)
37
[例6]
FAy
P1=2kN q=1kN/m
M=10kNm FB D
P2=2kN
A
FAx
4m 解： X
C
4m
B
4m 3m
E
0 , FAx 0
M A 0 , P1 4 q 8 4 M FB 12 P2 15 0
为零，且力系中各力对平面内任意点的力矩的代数和也等于 零。
48
平面一般力系的平衡和应用
形式 基本形式
Fi x 0 Fiy 0 M 0 ( Fi ) 0
两个方程投 影式方程，一个 力矩式方程
二力矩式
Fix 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
3 4 2a 10 a 10 a 5 5
=4a (kN· cm)
MO
R’ O F2 d R
x
Mo 2 d a R 2
最终简化结果为一个合力R，作用线距离O点为d
29
例2 已知： F2 70kN; P 1 450kN,P 2 200kN, F 1 300kN,
31
（2）求合力及其作用线位置.
MO 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
32
（3）求合力作用线方程
2355 x 670.1 y 232.9
607.1x 232.9 y 2355 0
内容回顾：
汇交力系 力偶系
?
1
2.3
工程实例：
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面
内，并呈任意分布的力系.
2
2.3 平面任意力系
1 力的平移
2
平面任意力系向一点简化
3 平面任意力系的平衡条件 4 刚体系的平衡 5 静定与静不定问题的概念
3
观察图中书本的受力和运动情况。
思考？
4
1 力的平移
（移动效应）
主矩 M O M O ( Fi )
主矢
（转动效应）
R 的解析式 ：R Rx Ry ( X )i (Y ) j
2 2 R ( X ) ( Y ) R Rx y
大小：
2
2
与简化中心位置无关 [因主矢等于各力的矢量和]
Rx 方向： co s(R , i ) R
① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。
22
简化
M=MO
简化 中心
R´=0
② R =0,MO≠0
即简化结果为一合力偶, M=M O 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
23
简化
y R=R´ O
x
简化 中心
MO =0
③ R ≠0,MO =0,即原力系简化为一个作用于简化中心的合力。 这时，主矢就是原力系的合力。
( FBD cos 45) a P 2a 0
M B (F ) 0 ,
FAy a Pa 0
X 0
解得：
,
FAx FBD cos 45 0
FBD 2 2P ,
FAy P , FAx 2 P
44
FAy FAx
A
45° FBD
B
P
C
三矩式：
D
M A (F ) 0 ,
( FBD cos 45) a P Leabharlann Baidu 2a 0
M B (F ) 0 ,
FAy a Pa 0
M D (F ) 0 , FAx a P 2a 0
解得：
FBD 2 2P ,
FAy P , FAx 2 P
[例4] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究 ②画受力图 ③列平衡方程 A A B B
M A (F ) 0 ,
P 2a N B 3a 0,
2P NB 3
X 0 ， XA 0
Y 0 ， YA N B P 0,
求： 力系向O点的简化结果
合力与OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程
30
解：
（1）主矢：
F F
x y
F1 F2 cos 232.9kN P 1P 2 F2 sin 670.1kN
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
4 10 4 4(kN) R y Y 5
F1
R' R' x R' y
x
2
2
( X )2 ( Y )2
4 2kN
Y =45° tan tan Rx X 28
1 1
Ry
y F1
F3
4
3
M O M O ( Fi )
F1 a F3 x a F3 y a