简谐振动

（一）简谐振动

最简单和最基本的振动是简谐振动．任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成．

1．特点

质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置．所受的力与位移的关系表示为

（7.1）

式中为正的常数．对于弹簧振子，就是弹簧劲度系数

2．运动的微分方程及其解

根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成

即

（7.2）

式中。如下面的（7.3）和（7.4）听示，是简谐振动的圆频率。

微分方程（7.2）的解是

（7.3）

或

（7.4）

式（7.3）也可以表为复数形式

（7.5）

但要约定取其实数部分．

利用三角公式，很容易导出A ，和B，C之间的关系

即（7.6）

3．速度和加速度

作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到．只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，

（7.7）

（7.8）

式（7.1）、（7.2）、（7.3）、（7.4）、（7.5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐．

4．圆频率、周期和频率之间的关系

，，（7.9）

，，三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率．

5．振幅和初周相

（7.3）中和是两个积分常数，可由初始条件决定．将初始条件：

“，，

”代入（7.3）和（7.7），得

（7.10）

解得

（7.11）

求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的，，三

个值．其中和由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值和，

而根据（7.10）或（7.11）求出和值．至于（或或），它是由系统

固有性质决定的，与初始情况无关．例如对于弹簧振子，，完全由弹簧劲

度系数和物体质量所决定．弹簧的大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率也就大。而物体的质量m大，就小．

6．简谐振动系统的能量

作简谐振动的质点动能为

（7.12）

振动系统弹性势能为

（7.13）

因此系统总机械能为

（7.14）

系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变．这是简谐振动的一个特性．总机械能E与振动的振幅平方A 2，振动

的圆频率平方成正比．

动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是

（7.15）

注意和在一周期内对时间的平均值均等于1／2．这样，

（7.16）

7.弹簧振子、单摆和复摆

弹簧振子：

无摩擦的水平面上的弹簧振子的振动是简谐振动的典型例子(图7－1)．将坐标原点取在的平衡位置上，则物体所受的力如式(7.1)，运动微分方程如式（7.2），其解

如式（7.3）或式（7.4）．振动周期

对于竖直悬挂的弹簧振子（图7－2）．在竖直方向，除了受弹性力作用外，还受重力作用．若选取坐标OX，竖直向下，原点O在弹簧既不伸长也不缩短的端点，则物体

在任意位置所受到的力表为．除了弹力之外多了一项恒定的外力——重力．但是若将坐标原点取在物体重力作用下的平衡位置O’（显然O’在O之下

面处，见图7－2），则物体在任意位置X’所受的力就可简单地表示

为．这在形式上与水平弹簧振子相同在这种情况下，重力似乎可以不加考虑，同水平振子一样处理．

图7－1

单摆：

在摆角

很小情况下，单摆的摆动是简谐振动。

单摆的位置由角位移

决定．单摆摆锤受重力

和摆绳张力T作用（图7-3）．摆

锤在竖直面上作圆周运动，如果仅考虑切向运动，则切向力为

．只

要

则

（弧度单位），因此切向力表为

（7.17）

负号表示切向力指向平衡位置，驱使

减小，是一恢复力．这种力具有弹性

力的特点，常称为准弹性力．

单摆的运动方程

由牛顿第二定律切向分量式决定

即

（7.18）

图7－

2 图7-3

此式与微分方程（7.2）形式相同，所以单摆作 简谐振动，其振动圆频率为

（7.19）

振动周期

．运动的表达式为

（7.20）

和

为两个待定常数，由初始摆角和初始角速度决定

复摆:

一个可绕固定轴O 摆动的刚体称复摆（图7－4）．当在重力作月下平衡时，重力作用线通过O ；设重心为C （即质心），当 偏离平衡位置

时，复摆所受

的重力矩为

．设复摆质量为m ，摆对O 的转动惯量为I ，并令

，根据转动定律有

对于小角度的摆动，

，

上式变为

（7.21）

此式也与（7.2）相仿，因此复摆也作简谐振动． 振动圆频率为

（7.22）

周期

．运动表达式为

图7- 4

和 同样是由初始条件决定的积分常数．拿（7.22）与（7.19）相比较，可把

称作复摆的等值摆长． 8．简谐振动的矢量图示法 设简谐振动

在图7－5的OX 轴上进行．由原点O 作一矢量，它的长

恰等于振幅A ，这个矢量称为振幅矢量． t ＝0时，振幅矢量A 与 轴正向所成的角等

于初周相 ．这个矢量以数值等于圆频

率

的角速度绕O 作逆时针方

向匀速转动．在时刻t ，振幅矢量在 轴上的投影为

，恰好表示简谐振

动的位移 ．而振幅矢量的端点Q 在 轴上的投影P 点就在OX 轴上作简谐振动． Q 点在一个圆上作匀速圆周运动，这个圆称为参考圆．振幅矢量了旋转一周所需要的时间与简谐振动的周期相同简谐振动是一种变速运动，而振幅矢量的转动却是匀速运

动．对初学者来说，匀速运动更易于掌握．同时，图示方法更形象、更直观．这种方法还为振动叠加的研究提供了最简洁的方法． （二）阻尼振动

事实上无摩擦的简造振动只是理想情况．由于摩擦阻尼和辐射阻尼使简谐振动的能量逐渐减小，因而振幅也逐渐减小，这种振动称为阻尼振动． 1．运动的微分方程及其解

若所受的阻力与速度一次方成正比（在速度较小情况下的湿摩擦就是如此），阻力表为

则运动的微分方程为

（7.23）

图7－5