(黄梦莉)研析二重极限与累次极限的关系

通化师范学院

本科生毕业论文

（2016 届）

题目研析二重极限与累次极限的关系

学院数学学院

专业数学与应用数学

班级12级01班

作者姓名黄梦莉学号201206010104

指导教师王宏志职称副教授学位硕士论文成绩

2016年5月

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

中文摘要 (1)

英文关键词 (1)

1 引言 (1)

2 预备知识 (1)

3 二重极限与累次极限之间的联系 (3)

3.1二重极限与累次极限没有必然的联系 (3)

3.2二重极限与累次极限在一定条件下的联系 (5)

3.3利用累次极限求解二重极限 (5)

3.4数列的二重极限与累次极限的关系 (6)

4 结束语 (6)

5 参考文献 (7)

研析二重极限与累次极限的关系

数学学院1201 黄梦莉

摘 要：二元函数极限概念是多元函数微积分学的一个重要内容，本文利用二重极限与

累次极限的概念，讨论它们的本质性区别，归纳总结了二重极限与累次极限存在性之间的内在联系.

关键词：多元函数；二重极限；累次极限；关系

Research on the Relationship between Double Limit

and Repeated Limit

Class1201 School of Mathematics HUANG Mengli

Abstract: The concept of limit of two elements function is an important content of multivariate function differential calculus, using the concept of double limit and the repeated limit, discussed their essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and double limit.

Key words: multivariate;double limit; repeated limit; relationship

1 引言

二元函数的两种极限——二重极限和累次极限，二重极限在多元函数微积分中占有突出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的基础，而二重极限与累次极限的关系是其重要内容．对于初学者，很容易对两者之间的关系产生疑问及误解，甚至分不清这两种极限的概念．为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在性的联系．掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函数极限的计算．在本文中还将介绍二重极限与累次极限的关系同样适用于数列中——数列的二重极限与累次极限的关系，在这里的数列是指二重数列，而二重数列可以看成二元函数.

2 预备知识

（1）二重极限与累次极限的概念

定义1 设f 为定义在上的2R D 二元函数，0P 为D 的一个聚点，

A 是一个确定的

实数.若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当D P U P

);(0δ∈ 时，都有

ε＜A P f -)(.

则称f 在D 上当0P P →时以

A 为极限，记作 A P f D

P P P =∈→)(lim 0

. 在对于D P ∈不致产生误解时，也可以简单地写作 ()A P f P P =→0

lim .

当 0,P P 分别用坐标()y x ,，()00,y x 表示时，上式也常写作 ()()

()A y x f y x y x =→,lim

00,,.

在所研究的极限

()()

()y x f y x y x ,lim

00,,→ 中，

两个自变量y x ,同时以任何方式趋于0x ，0y ．这种极限也称为二重极限．

定义2 设()x,y f ,()D y x ∈,,D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X ，Y ．即 {}D y x x X ∈=),(,{}D y x y Y ∈=),(.

0x ，0y 分别是X ，Y 的聚点．若对每一个()0y y Y y ≠∈，存在极限 ()y x f x x ,lim 0

→，它一般

与y 有关，故记作 ),(lim )(0

y x f y x x →=ϕ，如果进一步还存在极限)(lim 0

y L y y ϕ→=，则称此极限L

为()y x f ,先对()0x x →，后对()0y y →的累次极限记作 ),(lim lim 0

0y x f L x x y y →→=.

类似地可以定义先对

y 后对x 的累次极限

),(lim lim 0

0y x f K y y x x →→=. （2）二重数列及其极限的定义

定义3 用D 来表示下面的点集：

{}都是自然数n m n m D ,:),(=. (每个点的坐标都是由两个自然数组成的．)在点集D 上定义的函数()y x f ,， 通常写成数列的形式：),2,1,)(,( ==n m y x f a mn .

这叫做二重数列．这种数列也可以写成“无穷阶矩阵”的形式：

212222111211m m n n a a a a a a a a