高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导数知识要点

导数的概念导数的几何意义、物理意义

常见函数的导数

导

数导数的运算

导数的运算法则

函数的单调性

导数的应用函数的极值

函数的最值

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0 是函数y f (x) 定义域的一点，如果自变量x 在x0 处有增量x ，则函数值y 也引起相应的增量y f (x0 x) f (x0 ) ；比值y f (x0 x) f (x0 )

x x

称为函数y f (x) 在点x0 到x0 x 之间的平均变化率；如果极限

lim x 0 y

x

lim

x 0

f ( x

x)

x

f (x

)

存在，则称函数y f (x) 在点x0 处可导，并把这个极限叫做

' x

y 在x0 处的导数，记作( 0 )

f (x) f 或

'

' x

y ，即( 0 )

| f =

x x

lim

x 0

y

x

lim

x 0

f ( x

x) f

x

( x

)

.

注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x 可正，可负，但不为零.

' x

②以知函数y f (x) 定义域为 A ，y f ( ) 的定义域为 B ，则 A 与B 关系为 A B .

2. 函数y f (x) 在点x0 处连续与点x0 处可导的关系：

⑴函数y f ( x) 在点x0 处连续是y f (x) 在点x0 处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果y f (x) 在点x0 处可导，那么y f (x) 点x0 处连续.

事实上，令x x0 x ，则x x0 相当于x 0 .

于是lim ( ) lim ( ) lim [ ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )]

f x f x x f x x f x f x

x x x 0 x 0

f (x x) f ( x ) f (x x) f (x)

0 0 0 0 '

lim [ x f (x )] lim lim lim f (x ) f (x0) 0 f (x0 ) f (x0

0 0

x 0 x 0 x 0 x 0

x x

).

⑵如果y f ( x) 点x0 处连续，那么y f (x) 在点x0 处可导，是不成立的.

例： f (x) | x |在点x0 0 处连续，但在点x0 0 处不可导，因为y| x |

x x

，当x ＞0 时，

y x

y

；当x ＜0 时， 1

，故

1

x

y

lim 不存在.

x

x 0

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数y f ( x) 在点x0 处的导数的几何意义就是曲线y f ( x) 在点( x0 , f (x)) 处的切线的斜率，

' x

也就是说，曲线y f ( x) 在点P (x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是( 0 )

f ，切线方程为

y '

y ).

0 f (x)(x x0

4. 求导数的四则运算法则：

' ' ' ' ' ' '

(u v u v y ( ) ( ) ... n ( ) ( ) ( ) ... n ( ) )

f1 x f x f x y f x f x f x

2 1 2

' ( )

' ' ' ' ' '

( uv) vu v u cv c v cv cv （c为常数）

'

' '

u vu v u

( v 0 )

2

v

v

注：①u, v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、

积、商不一定不可导.

例如：设 f 2

(x) 2 sin x ，

x

2

g (x) cos x ，则 f (x), g( x) 在x 0 处均不可导，但它们和

x

f ( x) g( x)

sin x cos x 在x 0 处均可导.

' x f ' u x '

' ' '

5. 复合函数的求导法则： f x ( ( )) ( ) ( ) 或y x y u u x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

' x ⑴函数单调性的判定方法：设函数y f (x) 在某个区间内可导，如果 f ( ) ＞0，则y f (x) 为

增函数；如果 f ' (x) ＜0，则y f (x) 为减函数.

⑵常数的判定方法；

'

如果函数y f (x) 在区间I 内恒有 f ( ) =0，则y f ( x) 为常数.

x

注：① f ( x) 0 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3 在( , ) 上并不是都有 f (x) 0 ，有一个点例外即x=0 时f（x）= 0，同样 f (x) 0 是f（x）递减的充分非必

要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在x0 附近所有的点，都有 f (x) ＜ f ( x0 ) ，则 f (x0) 是函数 f ( x)