2015届高考数学总复习 第六章 第五节合情推理与演绎推理课时精练 理

第五节 含绝对值的不等式
1．若关于x 的不等式||x －a <1的解集为()1，3，则实数a 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．－2
答案：A
2．已知p ：||x ≤2，q ：0≤x ≤2，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案：B
3．(2013·株洲模拟)不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集是( )
A ．{x |0≤x <1}
B ．{x |x <0且x ≠1}
C ．{x |－1<x <1}
D ．{x |x <1且x ≠－1}
解析：当x ≥0时，(x ＋1)(x －1)<0，∴0≤x <1.当x <0时，(x ＋1)2>0，∴x ≠－1，综
上可知，选D.
答案：D
4．(2013·佛山一模)已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：由集合M 中的不等式，解得：0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，于是a ＋b ＝2＋5＝7.故选B.
答案：B
5．已知a ∈R ，则“a <2”是“|x －2|＋|x |>a 恒成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：∵|x －2|＋|x |≥|(x －2)－x |＝2，∴当a <2时，不等式成立，反之也成立．故选C.
答案：C
6．(2013·广州一模)不等式|x －1|≤x 的解集是________________．
解析：当x ≥1时，x －1≤x ，即－1≤0；当x ＜1时，1－x ≤x ，x ≥12
；所以原不等式解集是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞
7．(2013·汕尾二模)不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________________．
解析：当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0， 当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，
当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53
， 综上不等式的解集为：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，53. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，53
8．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为________．
解析：∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意的a ，b 恒成立，∴最小值为4.
答案：4
9．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．
解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|.
∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3.
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
10．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________________．
解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3依题意有|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
11．不等式1x 2－x ≤1|x |
的解集是________．
解析：当x 2－x <0，即0<x <1时，不等式成立；
当x 2－x >0，即x <0或x >1时，x 2－x ≥|x |，
∴x －x 2≤x ≤x 2－x .
解得x ≥2或x ≤0，
∴x ≥2或x ＜0.
综上可知，不等式的解集为(－∞，0)∪(0,1)∪[2，＋∞)．
12．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.
解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，
当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；
当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；
当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.
综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．
又∵x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)，
∴x ≥2
4t ·1t －6＝－2，当t ＝12
时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．
答案：{x |－2≤x ≤5}
13．设函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .
(1)不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，求a 的值；
(2)若g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m
的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
．解析：(1)由f (x )≤a ，得1－a 2≤x ≤1＋a 2
. ∵不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＝0，
1＋a 2＝1.
解得a ＝1. (2)由g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m ＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m
的定义域为R 知， 对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立．
∵|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，
∴m >－2，即实数m 的取值范围为(－2，＋∞)．
14．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .
(1)求M ；
(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.
(1)解析：f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，
2x ，x >1.
当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；
当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4恒成立；
当x >1时，由2x <4，得1<x <2，
∴M ＝{x |－2＜x ＜2}．
(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2，
∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2.
∴2|a ＋b |<|4＋ab |.。