等差数列的性质同步练习题(含答案)

等差数列的性质同步练习题二

班级 姓名

( )1．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9等于 A ．30 B ．27 C ．24 D ．

21 ( )2．已知在等差数列｛a n ｝中，a 1＜0，S 25＝S 45，若S n 最小，则n 为 A ．25 B ．35 C ．36 D ．

45

( )3．设{a n }是等差数列，公差为d ,S n 是其前n 项和，且S 5S 8．下列结论错误的是 A ．d <0 B ．a 7=0 C ．S 9>S 5

D ．S 6和S 7为S n 最大值 ( )4．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700,则a 1等于 A ．－20

B ．－20

2

1 C ．－21

2

1 D ．－22

( )5．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则其前n 项和n S 的最小值是 A ．-784 B ．-392 C ．-389 D ．-368 ( )6．公差不为0的等差数列{}n a 中，236,,a a a 依次成等比数列，则公比等于 A ．

12． B ．1

3

． C ．2． D ．3． ( ) 7．等差数列{}n a 中,共有21n +项,其中13218n a a a +++

+=,2427n a a a ++

+=,则n 的值是

A ．3．

B ． 5．

C ． 7．

D ．9

( )8．数列{}n a 的前n 项和是n S ,如果*

32 ()n n S a n N =+∈,则这个数列一定是

A ．等比数列．

B ．等差数列．

C ．除去第一项后是等比数列．

D ．除去第一项后是等差数列． ( )9．设{a n }是公差为–2的等差数列，如果1479750a a a a +++

=．那么36999a a a a +++=

A ．–182

B ．–78

C ．–148

D ．–82

( )10．已知函数 22

()

()()

n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时 且 )1()(++=n f n f a n ， 则=+⋯+++100321a a a a

A .100 B.-100

C.2100

D.11012-

( )11．数列{}n a 满足2

1

1=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，n s 是{}n a 的前n 次和，则21S 为 A 、

29 B 、2

11

C 、6

D 、10 ( )12．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 1 2 3 4 5 6 7

…………… 则第8行中的第5个数是

A 、68

B 、132

C 、133

D 、260

( ) 13．等差数列}{n a 的公差,0

112

1a a =，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ） A ．5

B ．6

C ．5或6

D ．6或7

14．等差数列{}n a 中,35710133()2()24a a a a a ++++=,则此数列前13项和是_____26_____．

15．已知等差数列{a n }的公差d =

2

1

，且前100项和S 100 = 145，那么a 1 + a 3 + a 5 +…+a 99 = 60 . 16．等差数列{a n }中，若a 3+a 5=a 7－a 3=24,则a 2=___0___． 17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d 等于__5 _． 18．设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项和为100，后2n 项和是200，则该数列的中间n 项和等于 75 ．

19．已知f (x +1)=x 2－4,等差数列{a n }中,a 1=f (x －1), a 2=－

2

3

,a 3=f (x )．(1)求x 值；（2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值． 【解】 （1）∵f (x －1)=(x －1－1)2－4=(x －2)2－4 ∴f (x )=(x －1)2－4,∴a 1=(x －2)2－4,a 3=(x －1)2－4 又a 1+a 3=2a 2,解得x =0或x =3．

(2)∵a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或－3、－23、0 ∴a n =－23(n －1)或a n =2

3

(n －3)

①当a n =－23(n －1)时，a 2+a 5+…+a 26=29

(a 2+a 26)=3512-

②当a n =23(n －3)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2

297

．

20．已知函数f (x)＝－x 3

＋ax 在(0，1)上是增函数．(1) 求实数a 的取值集合A ；

(2) 当a 取A 中最小值时，定义数列{a n }满足：2a n ＋1＝f (a n )，且a 1＝b ∈(0，1)(b 为常数)，试比较a n ＋1与a n

的大小； (3) 在(2)的条件下，问是否存在正实数c ．使0

＜2对一切n ∈N ＊

恒成立？

(1)f'(x)＝3x 2

＋a ＞0，对x ∈(0，1)恒成立，求出a ≥3．………………4分 (2)当a ＝3时，由题意：a n ＋1＝－12a 3n ＋3

2

a n ，且a 1＝

b ∈(0，1)

以下用数学归纳法证明：a n ∈(0，1)，对n ∈N ＊

恒成立．

①当n ＝1时，a 1＝b ∈(0，1)成立；………………………………………………6分

②假设n ＝k 时，a k ∈(0，1)成立，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12a k 3＋32a k ，由①知g(x)＝12(－x 3

＋3x)

在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(a k )＜g(1) 即0＜a k ＋1＜1， 由①②知对一切n ∈N ＊

都有a n ∈(0，1) 而a n ＋1－a n ＝－12a n 3＋32a n －a n ＝12a n (1－a n 2

)＞0 ∴a n ＋1＞a n …………………………………10分

(3)存在正实数c ，使0＜a n ＋c a n －c ＜2恒成立,令y ＝x ＋c x －c ＝1＋2c

x －c ，在(c ，＋∞)上是减数，

∴

a n ＋c a n －c 随着a n 增大，而小， 又{a n }为递增数列，所以要使0＜a n ＋c

a n －c

＜2恒成立， 只须⎩⎪⎨⎪⎧a 1－c ＞0 a 1＋c a 1－c

＜2 ∴0＜c ＜a 13，即0＜c ＜b 3 ……… 14分

21.已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=

2

3n

a +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列； (Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；

(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <12

． 【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1=2

3n

a += a n ……………………2’ 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n =23，即a 1 = a n =2

3

……………………4’ (Ⅱ)研究a n +1－a n =

23n a +－231

-+n a =⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛+++---232321

1n n n n a a a a (n ≥2) 注意到⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++

+-232321

n n a a >0