电路分析的基本方法及定理

§2-3 回路电流法
回路电流法是以一组独立回路电流作为变量列写电路方程求解电路变量的方法。

倘若选择基本回路作为独立回路，则回路电流即是各连支电流。

如图2-3-1所示，已知12312,,,,S S R R R U U ，要求12,I I 和3I 。

这里仍然沿用介绍支路电
流法的例题，现将运用回路电流法求解。

首先选择22S U R 、所在支路为树支（用粗线条表示），如图选择各支路参考方程，以连支电流13,I I 作为变量，那么树支电流就可以用连支电流表示，即：
231I I I =- （式2-3-1）
然后对两个独立回路列写KVL 方程，即：
1:l 112212S S R I R I U U -=- （式2-3-2）
2:l 22332S R I R I U += （式2-3-3）
将（式2-3-1）代入（式2-3-2）与式（2-3-3），整理得到：
1212312233212() (2-3-4)
() (2-3-5)
S S S R R I R I U U R R I R I U +-=-⎧⎨
+-=⎩式式
11l I I =； 32l I I =； 221l l I I I =-。

如果将图2-3-1中3I 的参考方向反一下变为3
I '，基本回路2l 的取向也反一下为2l I '，那么有：
213
11221222
332S S S I I I R I R I U U R I R I U
'=--⎧⎪
-=-⎨⎪'-+=-⎩ 12123
12233212() (236)() (237)
S S S R R I R I U U R R I R I U '++=---⎧⎨
'++=---⎩式式 归纳（式2-3-4）—（式2-3-7），可以得到运用回路电流法列写基本回路电流方程的一
般式：
整理得
图2-3-1
1
2111122211222 (238) (239)
l l S l l l S l R I R I U R I R I U ⎧+=--⎪⎨
+=--⎪⎩
∑∑式式 在（式2-3-8）（式2-3-9）中，11R 称为1l 回路的自电阻，等于1l 回路中各电阻之和，恒为正；22R 称为2l 回路的自电阻，等于2l 回路中各电阻之和，恒为正；1221R R 、称为
12l l 、回路的互电阻，等于12l l 、两个回路的公共支路电阻。

当12l l I I 、流经公共电阻
时方向一致，互电阻为正，反之，互电阻为负。

（式2-3-8）（式2-3-9）中方程的右边是
各个独立回路中各电压源电压的代数和。

当各电压源电势与回路方向一致时，相应电压源电压取正；反之，取负。

当电路中含有电流源、受控源时，其处理方法与支路电流法相同，请看例题。

例2-3-1 如图2-3-2 所示电路中，已知：11R =Ω，44R =Ω，55R =Ω，66R =Ω，
2342,3,4S S S I A I A U V ===，试用回路电流法求各支路电流。

解：图2-3-2中含有两个电流源，电流源所在支路应尽可能放在连支上，因而选4456,,S R U R R 、所在支路为树（用粗线条表示），如图选择各支路电流参考方向，画出3个基本回路，根据回路电流法，列出：
1146142634:()l l l S l R R R I R I R I U +++-= 222:
l S l I I =
333:l S l I I =
代入已知数据得到： 12314/11(), 2(), 3()l l l I A I A I A ===
11223314/11(), 2(), 3()l l l I I A I I A I I A ======
41252363136/11(), 5(), 19/11()I I I A I I I A I I I A =+==+==-=
例2-3-2 如图2-3-3所示，已知：
图2-3-2 例2-3-1附图
13462462,1,0.5,2,S S S R R R R I A g S U U V ====Ω====求各支路电流。

解：如图选择各支路电流参考方向，选择1443,,S R R U R 、所在支路为树支（用粗线条表示），画出三个基本回路，有：
22
56
1
4661424546()()S S S I I I gU R R R I R R I R I U U
=⎧⎪
=⎨⎪+++++=-⎩ 附加方程：666U R I = 代入已知数据求解得到： 2651,0.5,0.5I A I A I A ==-=-
12646253460.5,0,0.5I I I A I I I I A I I I A =--=-=---==--=
§2-4 网孔电流法
如图2-4-1所示，该电路有3个网孔。

假设在三个网孔中有环流123m m m I I I 、、按顺时
针方向流动，即有：
112123242353,,,,m m m m m m m I I I I I I I I I I I I ==-==-=。

对三个网孔列写KVL 方程，
得到；
图2-3-3 例2-3-2附图
图2-4-1
122111
22233
44434455
4
:
:
:S
S
S
m R I R I U
m R I R I R I U m R I R I U
+=⎫
⎪-++=-
⎬⎪-+=⎭
网孔网孔网孔 （式2-4-1） 将支路电流与网孔环流之间的关系式代入，整理得到：
121221
212342434424534
()()()m m S m m m S m m S R R I R I U R I R R R I R I U R I R R I U +-=⎫⎪
-+++-=-⎬⎪-++=⎭
（式2-4-2）
（式2-4-2）就是以三个网孔环流作为未知量的网孔电流方程。

需要指出的是，网孔环流的方向可以自由选择，例如1m I 也可以选择为按逆时针方向流动，如果以1m I 为逆时针方向流动，23m m I I 、仍按顺时针方向流动，得到的网孔电流方程为：
121221212342434424534
()()()m m S m m m S m m S R R I R I U R I R R R I R I U R I R R I U ++=-⎫⎪
+++-=-⎬⎪-++=⎭
（式2-4-3）
比较（式2-4-2）（式2-4-3）后知道，与回路电流法一样，可写出运用网孔电流法列写网孔电流方程的一般式：
11112211
211222221122m m m mm S m m m m mm S m m m m m mm mm S mm R I R I R I U R I R I R I U R I R I R I U ⎫
++
+=⎪⎪+++=⎪⎬⎪⎪
+++=⎪
⎭∑∑
∑ （式2-4-4）
（式2-4-4）中，(1,2,
)ii R i m =是网孔i 的自电阻，等于网孔i 的各电阻之和，恒为正；
(,1,2,
,)ij R i j m i j =≠是网孔i 、j 之间的互电阻，等于网孔i 、j 公共支路上的电阻之和。

当网孔i 、j 的网孔电流流经公共支路时，方向一致，则互电阻为正，反之，互电阻为负。

（式
2-4-4）方程的右边是各个网孔中各电压源电压的代数和。

当电压源电势与网孔的绕行方向一致时，相应电压源电压取正，反之，取负。

例2-4-1 如图2-4-2所示电路，12123100,140,15,5,10S S U V U V R R R ===Ω=Ω=Ω，
454,50R R =Ω=Ω，求各支路电流。

解：利用网孔电流法，选择各网孔电流、各支路电流参考方向如图2-4-2所示，列写网孔电流方程：
31141421
241345253352252
:():()0:
()m m S m m m m m S m R R I R I U m R I R R R I R I m R I R R I U ⎫+-=-⎪-+++-=⎬⎪-++=⎭
网孔网孔网孔
代入数据整理得： 12194100m m I I -=- 123464500m m m I I I -+-=
235055140m m I I -+=
解得： 14()m I A =-
26()m I A = 38()m I A =
1123324,8,6,m m m I I A I I A I I A ==-====
42153210,2m m m m I I I A I I I A =-==-=
当电路中含有含电流源、受控源时，处理方法与回路电流法、支路电流法相同，请看例题。

例2-4-2 图2-4-3所示电路，1312341,6,3,2,3,2,
S S U V U V R R R R ===Ω=Ω=Ω=Ω
1,6S I A α=-=，求网孔电流123,,m m m I I I 。

图2-4-2 例2-4-1附图
解：本题的特点是电路中有独立电流源，且在电路的外围，此外，电路中还含有受控源。

如
图选择三个网孔电流的参考方向，列写网孔电流方程得到：
网孔1：121221()m m S R R I R I U +-=
网孔2：2123423332()m m m S R I R R R I R I U I α-+++-=- 网孔3：3m S I I = 附加方程：212m m I I I =- 代入数据整理得到： 12521m m I I -=
123824m m I I -+=
解之得： 128()17m I A =
2
123()34
m I A = 36m I A =
图2-4-3 例2-4-2附图。