2018年高考数学(文科)二轮复习 名师导学案：专题三 第2讲 数列的求和及综合应用2

第2讲 数列的求和及综合应用

高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

a n 2n ＋1的前n 项和.

2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a

3. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

b n a n 的前

n

项和T n .

热点一 数列的求和问题 命题角度1 分组转化求和

【例1－1】 (2017·郑州质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.

命题角度2 裂项相消法求和

【例1－2】 (2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和.

【训练1】(2017·昆明诊断)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a23＝a2a6.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足b1＝2，且b n＋1＝b n＋a n，求数列{b n}的通项公式；

(3)设c n＝a n

b n b n＋1

，求数列{c n}的前n项和为T n.

命题角度3错位相减求和

【例1－3】(2017·天津卷)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{a n}和{b n}的通项公式；

(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).

【训练2】(2017·衡阳模拟)已知等差数列{a n}满足：a n＋1>a n(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且a n＋2log2b n＝－1.

(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；

(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.

热点二 a n 与S n 的关系问题

【例2】 (2017·济南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.

【训练3】 (2017·梅州质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－1

2n －1，{b n }为等差数

列，且a 1＝b 1，a 2(b 2－b 1)＝a 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n

a n

，求数列{c n }的前n 项和T n .

热点三数列与函数、不等式的综合问题

【例3】(2017·惠州三调)在数列{a n}中，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{b n}的前n项和为T n，请写出适合条件T n≤S n的所有n的值.

【训练4】(2017·长郡中学联考)在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n.

(1)证明数列{a n＋1－a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝log2(a n＋1)，{b n}的前n项和为S n，求证：1

S1＋

1

S2＋

1

S3＋…＋

1

S n<2.

一、选择题

1.已知数列112，314，518，71

16，…，则其前n 项和S n 为( ) A.n 2＋1－1

2n B.n 2＋2－1

2n C.n 2＋1－1

2

n －1

D.n 2＋2－1

2

n －1

2.(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2017·沈阳二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9 B.15 C.18

D.30

4.(2017·衡水中学月考)数列a n ＝

1n （n ＋1）

，其前n 项之和为9

10，则在平面直角坐标系

中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A.－10 B.－9 C.10

D.9

5.(2017·湘潭三模)已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

2n ＋12n 的前

n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m

的最小值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023

二、填空题

6.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

7.(2017·潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1

S n S n ＋1

，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.

8.设向量a ＝(1，2)，b ＝⎝

⎛⎭

⎪⎫

1n 2＋n ，a n (n ∈N *)，若a ∥b ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则

S n 的最小值为________.