二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程方程

y py qy 0

称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数

如果y i、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y Gy i Cy就是它

的通解

我们看看能否适当选取r 使y e”满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y e"代入方程

y py qy 0

得

2 rx

( r pr q) e 0

由此可见只要r满足代数方程r pr q 0 函数ye”就是微分方程的解

2

特征方程方程r pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程特征方程的两个根「1、「2可用公式

p Jp24q

2

122

求出

特征方程的根与通解的关系

(1) 特征方程有两个不相等的实根r i、「2时函数y1 e rix、y2 e r2X是方程的两个线性无

关的解

这是因为

y

函数y 1

e riX 、y 2 e r2X 是方程的解 又丄1春e

(ri r2)x

不是常数

y e r2X

因此方程的通解为

y C i e rix C 2e r2X

(2) 特征方程有两个相等的实根 r i 「2时

函数比e riX

、y 2 xe riX

是二阶常系数齐次线性

微分方程的两个线性无关的解

这是因为

y i e riX 是方程的解

又

p(xe 「iX ) q(xe 「iX ) (2r i xr i 2)e riX p(i xr-i )e riX qxe 「iX

e riX (2r i p ) xe riX (r i 2 pr i q ) 0

所以y 2 xe riX

也是方程的解

因此方程的通解为

y Ce riX C 2xe riX

(3) 特征方程有一对共轭复根

两个线性无关的复数形式的解

rx

且昱X 不是常数

y i e riX

r i, 2 i 时 函数y e (

函数 y e x

cos x 、y e x

sin

的实数形式的解

可以验证 y i e x

cos

x 、y 2 e x

sin

x 是方程的线性无关解

因此方程的通解为

y i e ( i )X

X

e (cos X i

sin

x )

y 2 e (

i )x

X

e (cos X

i

sin

x )

y i y 2 2e X

cos X

e x cos X

珈

Y 2)

y i

y 2 2ie X

si

n

X e x sin x

2i

(y

i

y 2)

函数 y i e

( i )x

和 y 2 e (

i )x

都是方程的解

故e x

cos x 、y 2 e x

sin x 也是方程解 (xe riX )

i )x

、y e

( i )x

是微分方程的

x 是微分方程的两个线性无关

而由欧拉公式

y e (G eos x C2sin x )

求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程

2 小

r pr q 0

第二步求出特征方程的两个根「1、「2

第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y 2y 3y 0的通解

解所给微分方程的特征方程为

2 r 2r

3 0 即(r 1)(r 3) 0

其根r i 1 r2 3是两个不相等的实根因此所求通解为

— X 3X

y Ge C2e

例2求方程y 2y y 0满足初始条件y|x o 4、y | x 0

解所给方程的特征方程为

2 2

r 2r 1 0 即(r 1) 0

y (C Gx) e

将条件y| x o 4代入通解得G 4 从而

将上式对x求导得

(C2 4 C2x) e

再把条件y | x o 2代入上式

x

x (4 2x) e

例3求微分方程y 2y 5y 0的通解

解所给方程的特征方程为

r22r 5 02的特解

其根n r2 1是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y (4 C2x) e

得C2 2 于是所求特解为

因此所求通解为

y e x(C cos2x C2sin2 x)

n 阶常系数齐次线性微分方程方程

(n) (n i) (n 2)

y P i y P2 y

P n i y P n y

称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p i P2 P n i P n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的n次多项式

L(D)=D n p i D1 i P2D1 2P n i D P n

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(D _n i _n 2

p i D P2 D P n i

D p n) y 0 或L(D) y

注D叫做微分算子D0y y D y D2y D3y D n y y(n)分析令ye" 则

・・rx

L(D) y L(D) e (r

n

p i r

n 2

P2 r

p n i r ・rx

L(r)e

因此如果r是多项式L(r)的根e”是微分方程L(D)y 0的解

n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

■ “、n n i n 2

L( r) r p i r p2 r P n i

r P

称为微分方程L(D) y 0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r对应于一项

一对单复根r i 2 i 对应于两项(C cos x C2sin x)

k 重实根r对应于k项rx 亠亠

e (C C2x

C k

一对k重复根r i 2 i 对应于2k项

x

e [( C Cx Gx k i)cos x (D

i Dx D x

k i)sin x]