概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布

(X ≤ x) 的概率 P(X ≤ x)
定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量X 的 的实值函数，称为随机变量X 分布函数，记为F ,即 分布函数，记为F ( x ) ,即
F(x) = P(X ≤ x), −∞< x < +∞
注: 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性， 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性， 或者说， 或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分 布情况 .
10这10个数字中随机取出5个数字， 个数字中随机取出 例2.2.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律． 取出的5个数字中的最大值． 的分布律． 求分布率一定要说 5，6，7，8，9，10． 并且 10． 解：X 的可能取值为 的取值范围！ 明 k 的取值范围！ 4 C k −1 P{X = k }=—— k = 5， 6， L， 10 . 5
请 填 空
P(a < X < b) = F(b −0) − F(a) P(a ≤ X < b) = F(b−0) − F(a −0)
例2.1.1 设随机变量的 分布律为 :
x
pk
-1
1 4
2
1 2
3
1 4
1 的分布函数，并求: 求 X的分布函数，并求 P(X ≤ ), P(3 < X ≤ 5), P(2 ≤ X ≤ 3) 2 2 2
解: X 分 函 为 的 布 数
即
0 1 F(x) = 1 4 1 + 4 2 1
x < −1 −1≤ x < 2 2≤ x < 3 3≤ x
0 1 F(x) = 4 3 4 1
x < −1 −1≤ x < 2 2≤ x < 3 3≤ x
1 1 1 , 又 P(X ≤ ) = F( ) = 2 2 4
3 5 5 3 3 1 1 P( < X ≤ ) = F( ) − F( ) = − = 2 2 2 2 4 4 2
P(2 ≤ X ≤ 3) = F(3) − F(2) + P(X = 2)
3 1 3 = 1− + = 4 2 4
课堂练习 设随机变量X的分布函数为 设随机变量 的分布函数为: 的分布函数为
一、离散型随机变量的概念
定义: 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个， 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 分布律， 或分布律，即
P(X = xk ) = pk , k =12,L ,
, 面 上 1 正 向 X(ω) = 面 上 0, 反 向
2.1
随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
随机地掷一颗骰子， 表示所有的样本点 表示所有的样本点, 例: (1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点 随机地掷一颗骰子
ω: 出现1 出现1点 出现2 出现2点 出现3 出现3点 出现4 出现4点 出现5 出现6 出现5点 出现6点 X(ω): 1
概率分布的性质
pk ≥ 0, k =12,L ,
非负性 规范性
∑pk =1
k= 1
∞
二、离散型随机变量的分布函数
F(x) = P(X ≤ x) = P( U(X = xk ))
xk ≤x
= ∑P(X = xk ) = ∑pk
xk ≤x xk ≤x
pk = P(X = xk ) = F(xk ) − F(xk−1)
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
(3) 二项分布 B(n, p)
背景： 试验中， 背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则
k P (k) = P(X = k) = Cn pk (1− p)n−k , k = 0,1 L n , , n
第二章
一维随机变量及其分布
一、随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念 2.1.2 随机变量的分布函数
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学 工具描述其规律， 工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的 不同结果． 不同结果． 电话总机某段时间内接到的电话次数， 例:电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一 电话总机某段时间内接到的电话次数 来描述． 个变量 X 来描述． 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果， 例: 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用 一个变量来描述． 一个变量来描述．
P(X = k) = p (1− p) , k = 0,1
k
1k −
(2) 离散型均匀分布
X
x1
1 n
x2
1 n
pk
L xn L1 n
i 如在“掷骰子”的试验中，用 = i} 表示事件｛出现 表示事件｛ 如在“掷骰子”的试验中， {X 点｝， 是均匀分布． 则随机变量 X是均匀分布．
X
pk
1
1 6
若用X 表示电话总机在9:00＿10:00接到的 如，若用 表示电话总机在 ＿ 接到的 电话次数， 电话次数， 则
{X >100} 或 (X >100)
—— 表示“某天 表示“某天9:00 ＿ 10:00 接到的电话次 数超过100次”这一事件． 数超过 次 这一事件．
再如， 再如，用随机变量 , 面 上 1 正 向 X(ω) = 面 上 0, 反 向 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果 则
∀ ∈Ω ∃ 实 X(ω) ω → 数
按 定 则 一 法
为随机变量． 则称 Ω 上的单值实值函数 X ( ω)为随机变量． 为随机变量 随机变量一般用 X, Y , Z ,…或小写希腊字母ξ, η, …或小写希腊字母ξ 表示. ζ 表示 特别
{
离散型 连续型
取值为有限个和至多可列个的 随机变量. 随机变量. 可以取区间内一切值的随机变量. 可以取区间内一切值的随机变量.
C 10
具体写出，即可得 X 的分布律： 具体写出， 的分布律：
X P
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
袋内有5个黑球3个白球, 例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放 回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽 直到取得黑球为止。 为取到白球的数目,Y为抽 ,Y 取次数， 的概率分布及至少抽取3次的概率。 取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。 (1)X的可能取值为 的可能取值为0,1,2,3, 解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, Y的可能取值为 的可能取值为1,2,3,4, (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有： 类似有： 2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=2)=(3× P(X=2)=(3× P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(X=3)=1/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56, X 0 1 所以,X ,X的概率分布为 所以,X的概率分布为 2 3 所以Y的概率分布为： 所以Y的概率分布为： (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56 P 5/8 15/56 5/56 1/56
(3) 某车站每隔 分钟开出一辆公共汽车 旅客在任意 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车 分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意 时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间 表示该旅客的候车时间, 时间到达车站 表示该旅客的候车时间 Ω: 候车时间 X(ω): [0, 10]
定义: 是一随机试验， 定义 设E是一随机试验，Ω 是它的样本空间，若 是一随机试验
(X(ω) =1 — 表示正面向上． ) 表示正面向上．
也可以用
面 上 0, 正 向 Y(ω) = , 面 上 1 反 向
描述这个随机试验的结果． 描述这个随机试验的结果．
例如，要研究某地区儿童的发育情况， 例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要 多个指标，例如，身高、体重、头围等． 多个指标，例如，身高、体重、头围等． {儿童的发育情况 Ω = {儿童的发育情况 ω }
服从参数为 的二项分布， 称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
是分段阶梯函数， F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处 发生间断，间断点为第一类跳跃间断点. 发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.
注意: 注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (1)确定随机变量的所有可能取值; 确定随机变量的所有可能取值 (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的 (2)设法（如利用古典概率） 设法 概率. 概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率 (3)列出随机变量的概率分布表（ 列出随机变量的概率分布表 函数） 函数）.
x<0 0 x 2 0≤ x<1 F ( x) = 2 3 1≤ xபைடு நூலகம்< 3 1 x≥3
求: (1) P ( X < 3), ( 2) P ( X ≥ 2), ( 3) P ( X = 1), 14 (4) P ( X > 1), (5) P (1 ≤ X < ). 3
2.2-2.3 随机变量的分布函数 2.2一、离散型随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布
随机变量是 如下的特点： 如下的特点：
上的映射， Ω→ R 上的映射，这个映射具有
定义域 :
Ω
的可能取值不止一个， 随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值． 取哪个值． 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值． 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 引入随机变量后， 等式表达随机事件． 等式表达随机事件．
t→x+0
利用分布函数可以计算
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a)
] （ （ ]
a
b
P(X > a) =1− P(X ≤ a) =1− F(a)
P(X = a) = F(a) − F(a −0) P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a −0)
2
3
4
5
6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击 直至射中为 某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为 某人接连不断地对同一目标进行射击 表示射击次数， 止，ω表示射击次数，则 表示射击次数 Ω:射击1 Ω:射击1次 射击 X(ω): 1 射击2 射击2次 2 ...... ...... 射击n 射击n次 ...... n ......
X ( ω ) — 身高 Y ( ω ) — 体重 Z ( ω ) — 头围
各随机变量之间可能有一定的关系， 各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有 关系—— 即相互独立． 即相互独立． 关系
2.1.2 随机变量的分布函数
定义： 为随机变量, ,随机事件 定义：设 X 为随机变量,对每个实数 x ,随机事件
三、常见的离散型随机变量的概率分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk Pk
应用场合 1 0 0 < p < 1
p
1-p
凡是随机试验只有两个可能的结果， 凡是随机试验只有两个可能的结果，
常用0 分布描述，如产品是否格、 常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 注:其分布律可写成
分布函数的性质： 分布函数的性质：
F ( x ) 单调不减，即 单调不减，
∀ x1 < x2, F(x1) ≤ F(x2 )
0 ≤ F(x) ≤1 且
x→ +∞
lim F(x) =1 lim F(x) = 0 ,
x→ −∞
F ( x ) 右连续，即 右连续，
F(x +0) = lim F(t) = F(x)