傅里叶光学第3章 标量衍射理论
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U x, y Aexp j2 fx x
即可用空间频率表示xy平面上的复振幅分布；空间频率与传播方向一一对应 *上式就是一个传播方向为(cos =x、cos=0)的单色平面波的复振幅表达式。
1、光波的数学描述
(3)空间频率为负数的情况
1 cos fx X 0
r
z2 x x0 2 y y0 2 z
1
x
x0
2
z2
y
y0
2
对上式进行二项式展开，并考虑旁轴近似，上式可进一步简化为：
r z x x0 2 y y0 2
2z
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U P a0 e jkr
1、光波的数学描述
当
kX cos 2
则有
X 2 k cos cos
其中，为广波波长。空间周期的倒数即为空间频率，表示x方向单位长 度内变化的周期数，即
1 cos fx X
又因为等相位线平行于y轴，则y方向的空间频率为
1 fy Y 0
此时，xy平面上的复振幅分布可表示为
1、光波的数学描述
发散球面波
会聚球面波
✓重要概念：波前，等相位面
当等相位面与某一平面相交，则得到一系列的交线，这些交线就是光 波在该平面上的等相位线！68页球面波的等位相线及其方程
1、光波的数学描述
1.3 平面波 平面波也是光波最简单的一种形式。 沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：
r
r z x x0 2 y y0 2
2z
jk
z
x
x0
2
y
y0
2
U P a e a e e 0
2z
0
jkz
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
wk.baidu.com
2
z
z
常量位相因子
二次位相因子
思考题：表征球面波 （1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？ （2）会聚球面波在旁轴近似下的复振幅表达式是什么？68页
其中， exp jk x cos y cos
称为平面波的位相因子。
✓ 思考题：等相位线是什么形式？
Answer: 等位线方程为
x cos y cos C
不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线，如右图所示。 周期分布特点
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率 ✓ 平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量，透彻理解这个 概念的物理意义是非常重要的。 ✓ 如下图，首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,
标量衍射理论
衍射现象 光波传播的规律 标量理论的条件 空间域和频率域两种分析方法 最基本的光波形式
本章主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
1、光波的数学描述
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u x, y, z,t a x, y, z cos 2 t x, y, z
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅 和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
U P a0 e jkr
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
a0
表示距点光源单位距离处的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
U P a0 e jkr
r
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
Aexp jk x cos y cos
U x, y, z a x, y, z e jx,y,z
称之为单色平面波在P点的复振幅，它与时间t无关，仅是空间位置坐标 的函数。光强分布则为
I U 2 UU
1、光波的数学描述
1.2 球面波
单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
其中， k 2 r
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
Re a x, y, z e e jx,y,z j2t
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
（1）xy平面上复振幅分布为
U x, y, z Aexp jkx cos
（2）等位相线方程为
x cos C
等位相线的分布如右图所示，是一组垂直于x轴的平行线，而且间距相等。 由于等相位线上的振动相同，所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以 用位相相差2的两相邻等位相线的间隔X表示。
fy
1 Y
0
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
1、光波的数学描述
（4）传播方向为任意情况，情况又如何？ 如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为 1 cos fx X 1 cos fy Y
其中，
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
（1）a 是常量振幅；
（2）cos、cos、cos 为传播方向的方向 余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波， 在xy平面上的复振幅为：
即可用空间频率表示xy平面上的复振幅分布；空间频率与传播方向一一对应 *上式就是一个传播方向为(cos =x、cos=0)的单色平面波的复振幅表达式。
1、光波的数学描述
(3)空间频率为负数的情况
1 cos fx X 0
r
z2 x x0 2 y y0 2 z
1
x
x0
2
z2
y
y0
2
对上式进行二项式展开，并考虑旁轴近似，上式可进一步简化为：
r z x x0 2 y y0 2
2z
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U P a0 e jkr
1、光波的数学描述
当
kX cos 2
则有
X 2 k cos cos
其中，为广波波长。空间周期的倒数即为空间频率，表示x方向单位长 度内变化的周期数，即
1 cos fx X
又因为等相位线平行于y轴，则y方向的空间频率为
1 fy Y 0
此时，xy平面上的复振幅分布可表示为
1、光波的数学描述
发散球面波
会聚球面波
✓重要概念：波前，等相位面
当等相位面与某一平面相交，则得到一系列的交线，这些交线就是光 波在该平面上的等相位线！68页球面波的等位相线及其方程
1、光波的数学描述
1.3 平面波 平面波也是光波最简单的一种形式。 沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：
r
r z x x0 2 y y0 2
2z
jk
z
x
x0
2
y
y0
2
U P a e a e e 0
2z
0
jkz
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
wk.baidu.com
2
z
z
常量位相因子
二次位相因子
思考题：表征球面波 （1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？ （2）会聚球面波在旁轴近似下的复振幅表达式是什么？68页
其中， exp jk x cos y cos
称为平面波的位相因子。
✓ 思考题：等相位线是什么形式？
Answer: 等位线方程为
x cos y cos C
不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线，如右图所示。 周期分布特点
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率 ✓ 平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量，透彻理解这个 概念的物理意义是非常重要的。 ✓ 如下图，首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,
标量衍射理论
衍射现象 光波传播的规律 标量理论的条件 空间域和频率域两种分析方法 最基本的光波形式
本章主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
1、光波的数学描述
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u x, y, z,t a x, y, z cos 2 t x, y, z
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅 和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
U P a0 e jkr
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
a0
表示距点光源单位距离处的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
U P a0 e jkr
r
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
Aexp jk x cos y cos
U x, y, z a x, y, z e jx,y,z
称之为单色平面波在P点的复振幅，它与时间t无关，仅是空间位置坐标 的函数。光强分布则为
I U 2 UU
1、光波的数学描述
1.2 球面波
单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
其中， k 2 r
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
Re a x, y, z e e jx,y,z j2t
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
（1）xy平面上复振幅分布为
U x, y, z Aexp jkx cos
（2）等位相线方程为
x cos C
等位相线的分布如右图所示，是一组垂直于x轴的平行线，而且间距相等。 由于等相位线上的振动相同，所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以 用位相相差2的两相邻等位相线的间隔X表示。
fy
1 Y
0
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
1、光波的数学描述
（4）传播方向为任意情况，情况又如何？ 如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为 1 cos fx X 1 cos fy Y
其中，
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
（1）a 是常量振幅；
（2）cos、cos、cos 为传播方向的方向 余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波， 在xy平面上的复振幅为：