(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析

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培优点十 等差、等比数列
1．等差数列的性质
例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35
【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．
2．等比数列的性质
例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200
【答案】C
【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，
从而()()2
22
71339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，
即所求表达式的值为100．故选C ．
3．等差、等比综合
例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，
则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <
【答案】B
【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，
所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；
（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）
所以1111116622a a b b a b +=+⇒>．即66a b >．故选B ．
一、单选题
1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤
【答案】D
【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15
332
a a a +=
=， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．
2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68
C ．77
D ．84
【答案】C
【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得358
14a a =⎧⎨=⎩，
根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得12
3a d =⎧⎨=⎩，
()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-
【答案】C
对点增分集训
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【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故
412
λ
+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77
【答案】D
【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222
a a a a S ++=
⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．1
2
-
B ．2-
C ．1或1
2
-
D ．1-或
12
【答案】C
【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或1
2
q =-．故选C ．
6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，21
2a -，3a 成等差数列，若11a =，
则4S =（ ） A ．5- B ．0
C ．5
D ．7
【答案】A
【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，21
2a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，
若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，
则()()
()
4
4141125112a q S q
---=
=
=----，故选A ．
7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8
D ．32log 5+
【答案】B
【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，
且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：
()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L ．故选B ．
8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182- B ．78- C ．148- D ．82-
【答案】D
【解析】由两式的性质可知：36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++， 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6
【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，
∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．66
【答案】D
【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()
1111161111662
a a S a +===，故
选D ．
11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，
则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =
C ．95K K >
D ．6K 与7K 均为n K 的最大值
【答案】C
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【解析】设等比数列1
1n n a a q
-=，n K 是其前n 项的积，所以()
12
1
n n n n K a q -=，
由此55611K K a q <⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>
所以6711a a q ==，所以B 正确，
由511a q <，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确，
6
11a q =，()
12
1
n n n n K a q
-=可知()
()
1132
2
1
n n n n n n K a q
q
--==，
由01q <<，所以x q 单调递减，
()
n n 132
-在6n =，7时取最小值，
所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．
12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）
A ．7042
B ．7058
C ．7063
D ．7262
【答案】C
【解析】由题设知()13f =，()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =， ∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ，
∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==， ()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，
∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+，
∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L ，故选C ．
二、填空题
13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________
【答案】4
【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，
∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．
14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S
，若公比q =1231a a a ++=，则12S 的值是___________． 【答案】15
【解析】已知1231a a a ++=，则()313111a q S q
-=
=-，
又q =11a q =-；∴()(
)(
)12
12
1121111511q a q S q
q
---=
=
=--．
15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95
S
S =_______． 【答案】2
【解析】()()199553159
92552
a a S a S a a a +==+，又53109a a =，代入得95910
259
S S =⨯=．
16．在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是_______． 【答案】20
【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =， 根据等差数列性质，1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．
三、解答题
17．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；
（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）77． 【解析】（1）12a =，12n n a a +=，
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则数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=； （2）2n n n b n a n =+=+，
()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++
()5155
222772
12
+⨯-⨯=
+=-．
18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()
*n S n ∈N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()
*n T n ∈N ．
已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ；
（2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，求正整数n 的值． 【答案】（1）()12
n n n S +=
，21n n T =-；（2）4．
【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=． 因为0q >，可得2q =，故1
2n n b -=．所以122112
n
n n T -==--．
设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．
由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12
n n n S +=
．
（2）由（1），有()()1121221222212
22n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ．
由()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，可得
()1112222
n n n n n n ++++--=+，
整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．。