(完整版)1：命题的概念与形式

命题

学习目标

1．了解命题的概念．

2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式．

预习导引

1．命题的定义

(1)用表达的，可以判断的叫做命题．

(2)判断为真的语句叫做．(3)判断为假的语句叫做．

2．命题的结构

从构成来看，所有的命题都具由两部分构成．在数学中，命题常写成这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做，q叫

做．

要点一命题的判断

例1判断下列语句是否是命题．

(1)求证3是无理数． (2)x2＋2x＋1≥0. (3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果． (5)一个正整数不是质数就是合数．

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0. (7)x＋3>0.

要点二命题真假的判断

例2 判断下列命题的真假：

(1)小于90°的角是锐角；(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．

变式2 下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．

要点三命题的结构

例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac>bc时，a>b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

变式3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)负数的立方是负数； (3)对顶角相等．

课堂练习

1．下列语句不是命题的有( )

①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．下列命题中的真命题是( )

A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角

C．若a2＝b2，则|a|＝|b| D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是______________．4．下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；

④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．

同步训练

1．下列语句是命题的是( )

A．2018是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？ D．a≤15

2．下列语句中命题的个数为()

①{0}∈N②他长得很高③地球上的四大洋④5的平方是20

A．0B．1C．2D．3

3．下列命题是真命题的是( )

A．{∅}是空集 B．{x∈N||x－1|<3}是无限集

C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数

4．有下列命题：①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

6．下列命题是真命题的有()

①没有一个无理数不是实数②空集是任何一个非空集合的真子集

③1＋1<2 ④至少存在一个整数x，x2－x＋1是整数

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

7．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y 中至少有一个为0. 其中真命题的序号是( )

A．①②③ B．①②④ C．①③④D．②③④

8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件：

____________，结论____________．是__________命题．

9．给出下列命题

①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实根；

③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；④若p>0，则p2>p；

⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．

10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)当x＋y＝5时，x＝2且y＝3；(2)当m>1

4

时，mx2－x＋1＝0无实根；

(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.

(4)当 a>0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增加而增加

12．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”是真命题吗？证明你的结论．

13．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求出集合A.