一阶常微分方程初等解法

一阶常微分方程初等解法
摘 要: 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.
关键词: 一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子
First-order Differential Equation With The Pirmary
Method For Nalysis
Abstract : Based on the first-order differential equations of the elementary solution of the induction and conclusion, and the separation of variables, integrating factor, equations, etc. summary analysis of various elementary solution, combined with examples the problem of solving ordinary differential equations into integral on the problem solving.
Key Words: First-order differential equation;cain declined equations;variable transformation;appropriate differential equation; integrating factor
1.预备知识 1. 1 变量分离方程
形如
()()dy
f x y dx
ϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．
如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成
()()
dy
f x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到
()()dy
f x dx c y ϕ=+⎰⎰，
c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．
1. 2 积分因子
恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．
如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠，使得
()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=
为一恰当微分方程，即存在函数u ，使
Mdx Ndy du μμ+=，
则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子． 函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是
()()
M N y x
μμ∂∂=∂∂， 即
()M N N
M x y y x
μμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂． 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则
0x
μ
∂=∂，则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂，即()(
)
M N
y x x N
φ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为()x dx
e φμ⎰
=．同样有只与y 有关的积分
因子的充要条件是()(
)M N
y x
y M
ϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数，此时可求得方程(11)的一
个积分因子为()y dy
e ϕμ⎰
=
1. 3恰当微分方程
考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即
()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y
∂∂+==
+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程． 对于一阶微分方程
()(),,0M x y dx N x y dy +=，
若有
M N
y x
∂∂=∂∂，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把
(),u
M x y x
∂=∂看作只关于自变量x 的函数，对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰，由此式可得
()(),d y u M x y dx x x dy
ϕ∂∂
=+∂∂⎰， 又因为有
(),u
N x y x
∂=∂，故 ()(),d y N M x y dx dy x
ϕ∂
=-∂⎰， 对该式积分可得
()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡
⎤
=-
⎢⎥∂⎣⎦
⎰⎰， 将该式代入，得恰当微分方程的通解为
()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤
+-=⎢⎥∂⎣⎦
⎰⎰⎰． 2.基本方法
2. 1一般变量分离 形如
()()dy
f x y dx
ϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．
如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()
dy
f x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到
()()dy
f x dx c y ϕ=+⎰⎰，
c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．
2. 2齐次微分方程
2. 2. 1齐次微分方程类型一 一阶线性微分方程
()(),x Q y x P dx
dy
+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为
(),y x P dx
dy
= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为
(),⎰
=dx
x P ce y
这里c 是任意常数.
2.2.2齐次微分方程类型二
有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:
()1021==c c 的情形 这时，有
=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪
⎭⎫ ⎝⎛=++x y g x
y b a x y
b a 221
1 因此,只要作变换x
y
u =
,则方程就转化为变量分离方程.
()
22
1
21b b a a =k =的情形. 这时方程可写为
()().222
221
22y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为
().22u f b a dx
du
+= 这是变量分离方程.
()
32
1
21b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此
⎩⎨
⎧=++=++.0,
0222
111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令
⎩⎨
⎧-=-=,
,
βαy Y x X 则化为
⎩⎨
⎧=+=+,
0,
02211y b x a y b x a 从而变为
.2211⎪⎭
⎫
⎝⎛=++=X
Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 3常数变易法 一阶线性微分方程
()(),x Q y x P dx
dy
+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为
(),y x P dx
dy
= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为
(),⎰
=dx
x P ce y
这里c 是任意常数.
现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.
不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令
()(),dx
x P e x c y ⎰
=
微分之,得到
()()()()().dx x P dx
x P e x P x c e dx
x dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到
()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dx
x dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即
()()(),⎰=-dx x P e x Q dx
x dc
积分后得到
()()(),1c dx e x Q x c dx
x P +⎰=-⎰
这里1c 是任意常数.将代入得到
()()().1⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰⎰
=⎰-c dx e x Q e y dx x P dx
x P
这就是方程的通解. 3.基本方法的应用
3. 1. 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例
例1 求解方程
dx dy -=x
y 解 将变量分离，得到
xdx ydy -= 两边积分，即得
2
2222c
x y +-= 因而，通解为
c y x =+22 这里c 是任意正常数，或者解出y ，写出显函数形式的解
2x c y -±=
3.1.2应用举例 例2 求解方程
y x p dx
dy
)(= )3.2( 的通解，其中是)(x p x 的连续函数
解 将变量分离，得到
dx x p y
dy
)(= 两边积分，即得
c
dx x p y ~)(||ln +=⎰ 这里c
~是任意常数。

由对数定义，既有 c dx x p e
y ~)(||+⎰=， 即
dx
x p c e e y ⎰
•±=)(~
令c e c =±~
，得到
⎰
=dx
x p ce y )( )4.2(
此外，0=y 显然也是方程)3.2(的解，如果允许)4.2(中允许0=c 则0=y 也就包括在)4.2(中，因而)3.2(的通解为)4.2(，其中c 为任意常数。

3. 2齐次微分方程应用 3.2.1类型一应用举例
例1 求解方程x
y x y dx dy tan += 解 这是齐次微分方程，以u dx du
x dx dy u x y +==及代入，则原方程变为
,tan u u u dx
du
x +=+
即 x u
dx du tan =
)9.2( 将上式分离变量，既有
,cot x
dx
udu =
两边积分，得到
c
x u ~||ln |sin |ln += 这里c
~是任意常数，整理后，得到 u sin =,~
x e c •±
c e
=±~得到 cx u =sin
此外，方程)9.2(还有解
0tan =u
如果在)9.2(中允许0=c ，则0tan =u 也就包括在)10.2(中，这就是说，方程)9.2(的通解为)10.2(
带回原来的变量，得到方程的通解为
.sin
cx x
y
= 3.2.2类型一应用举例 例2 求解方程y xy dx
dy
x
=+2（0<x ） 解 将方程改写为
x
y x y dx dy +=2 这是齐次微分方程.以
u dx
du
x dx dy u x y +==及代入，则原方程变为 .2u dx du
x = )11.2(
分离变量，得到
,2x
dx u
du =
两边积分，得到)11.2(的通解 .)ln(c x u +-=
即当0)ln(>+-c x 时，
2])[ln(c x u +-= 这里c 时任意常数.此外，方程)11.2(还有解 .0=u 注意，此解并不包括在通解)11.2(中. 代回原来的变量，即得原方程的通解为
.])[ln(2c x x y +-= 当0)ln(>+-c x 及0=y .
3.2.3类型二应用举例
例3 求解方程2
2dy
x xy y dx
=-． 解 方程可化为2()dy y y dx x x =-，令y u x =，将dy du
x u dx dx
=+代入上式，
可得2du
x u dx
=-，易知0u =是上式的一个解，从而0y =为原方程的一个解．当0u ≠时，分离变量得2
du dx
u x
-
=，两边积分得1ln u x c =+，故可得原方程的通解为ln x
y x c
=
+．
3.2.4类型二应用举例
例4 求解方程
111
dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有
1y u x -=--,
代入所求方程
()11
1d u x dx u
---
=+,
整理可得
1du dx u
=-, 由变量分离得
22u x c =-+,
故所求方程的解为
()
2
12x y x c -++=.
3. 2. 5类型二应用举例
例5 求解方程
3
1-++-=y x y x dx dy 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-030
1y x y x
得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=11
Y y X x
代入上式方程，则有
Y
X Y
X dX dY +-= 再令,uX Y X
Y
u ==
即则上式可化为
,2112
du u u u
X dX --+= c
u u X ~|12|ln ln 22+-+-=
因此
c e u u X ~
22)12(±=-+
记,1~c e c =±并带回原变量，得 .
)1()2)(1(2)2(,
2122122c x y x y c Y XY Y =----+-=-+ 此外容易验证
,0122=-+u u
即
,0222=-+X XY Y
也是方程的解 ，因此方程的通解为
,26222c x y x xy y =---+
其中c 为任意的常数.
3. 3利用积分因子求解
例6 求解方程.0)(=-+dy x y ydx
解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==X
N y M x y N y M 方程不是恰当的。

因为y
y M 2-=∂∂只与y 有关，故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221y e e
u y y ==⎰=-- 以21y u =
乘方程两边，得到
0112=-+y xdy dy y dx y 或者写成
02
=+-y dy y xdy ydx
因而通解为
.||ln c y y
x =+ 3. 4利用恰当微分方程求解
例7 求解方程.0)1()1(cos 2=-++dy y x y dx y x 解 因为
221,1y
x N y y M -=∂∂-=∂∂，故方程是恰当微分方程。

把方程重新分项组合，得到 .0)1()1(cos 2=-++dy y
x y dx y x ， 即
,0||ln sin 2=-+
+y
xdy ydx y d x d 或者写成
.0)||ln (sin =++y x y x d 于是，方程的通解为
,||ln sin c y
x y x =+
+ 这里c 是任意常数 结束语
一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果。

对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验, ,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型.
参考文献
[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京:高等教育出版
社;2006.
[2] 杨继明,常系数线性微分方程组的解法[J];宝鸡文理学院学报（自然科学
版）;2001.
[3] 伍卓群，李勇编，常微分方程（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2004
[4] 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J].宝鸡文
理学院学报（自然科学版）;2001年01期。