2021新高考数学二轮总复习课件：专题一

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高考数学二轮复习选填题(一)课件

AD 与椭圆 τ 的另一个交点为 B，若 PA⊥PB，则椭圆τ的离心率 e＝( )
A．12
B．
2 2
C．
3 2
D．
3 3
答案 C
解析设 P(x1，y1)，则 A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，P→D＝34P→Q，则 Dx1，－y21，设 B(x2，y2)，则aaxx212222＋＋bbyy212222＝＝11，，两式相减得（x1＋x2）a（2 x1－x2）＝－（y1＋y2）b（2 y1－y2），kPB＝xy11－－xy22＝－ba22·yx11＋＋yx22，kAD＝kAB，即4yx11＝yx11＋＋yx22， kPA＝yx11＝4（xy11＋＋xy22），PA⊥PB，故 kPA·kPB＝－1，即－4ab22＝－1，a2＝4b2，又 a2＝b2＋c2，故 3a2＝4c2，故 e＝ 23.故选 C.
＝9×a1（11－－qq3），解得 q3＝8，则 q＝2，又 S5＝62，则有 S5＝a1（11－－qq5）
＝31a1＝62，解得 a1＝2.故选 B.
7．已知点 P 在椭圆 τ：ax22＋by22＝1(a>b>0)上，点 P 在第一象限，点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设P→D＝34P→Q，直线
解析由函数的图象可得 A＝2，周期 T＝4×π3－1π2＝π，所以 ω＝2Tπ＝ 2ππ＝2，当 x＝1π2时，函数取得最大值，即 f1π2＝2sin 2×1π2＋φ＝2，所以 2×1π2＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，则 φ＝2kπ＋π3，又|φ|<π2，得 φ＝π3，故函数 f(x)＝ 2sin 2x＋π3.对于 A，f－π3＝2sin －π3≠0，故 A 错误；对于 B，当 x＝－152π 时，f－51π2＝2sin －51π2×2＋π3＝2sin －π2＝－2，即直线 x＝－51π2是函数 f(x)

高中数学二轮复习ppt课件

13
考试我们只需要做好这两条：
会做的少失误不会的混点分
因为：失误不可避免，不会在所难免！没有完美的高考、只有不后悔的高考！
我们要：淡化结果保持专注
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三、科学的备考习惯
• 高考最后一个月也是提分的黄金时刻 • 要逐步调整作息时间、生物钟 • 科学安排好最后25天的复习
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前12天，专题训练+综合训练，着力解决好高考的常考点和临界生“会而不对”的问题；
2
各专题复习建议
（二）三角函数、解三角形
（4）可以让学生适当了解: ①托勒密定理（凸四边形与对角线有关时可考虑）; ②角平分线定理（通过等面积推导）; ③中线定理（通过向量法或互补两角的余弦值互为相反数推导）。
3
二、试题特点
（三）立体几何
1、考试形式：一大两小。 2、大题重点关注: (1)第一步不能建系或不好建系的问题；第二步建系前考虑是否要证明；注意某个点坐标不好求的情况。 (2)勾股定理的运用，注意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，注意相似三角形的运用等。 (3)线线角、线面角、二面角的定义等。
线的切线有关（求导法求切线），理科常以椭圆为载体。要注意图形对称性和基本量的运用，
ab
如双曲线焦点到渐近线的距离为 b,顶点到渐近线的距离为 .
c
2、常考问题:
（1）轨迹问题：定义法，直接法，迭代法等；
（2）面积和长度的最值问题：常换元后用均值、二次函数、求导等方法研究最值；
（3）定点定值问题：常用先猜后证或直接法两种；
7
三、各专题复习建议
（五）解析几何
3、适当掌握常用二级结论:
(1)
AB 是椭圆 x2 a2
y2 b2

2021年高考数学二轮复习讲义-原卷版(全国通用)

x1－x2 fx1－fx2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
x1－x2 (2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b] 上是减函数． 2．函数的值域和最值的区别与联系 (1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； (2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应
名称
称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B
个函数
的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应 f：A→B 是一个映射
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数 y＝f(x)，x∈A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y＝f(x)的定义域；将所有 y 组成的集合叫做函数 y＝f(x)的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3
【知识拓展】 1．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 2．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 3．A∪A＝A，A∪∅＝A. 4．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 6．若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2.
2021 年高考数学二轮复习讲义（原卷版）
1
目录
第一章集合与常用逻辑用语................................................................................................................... 3 第二章函数概念与基本初等函数........................................................................................................... 7 第三章三角函数、解三角形................................................................................................................. 28 第四章平面向量..................................................................................................................................... 44 第五章数列............................................................................................................................................. 53 第六章不等式......................................................................................................................................... 61 第八章平面解析几何............................................................................................................................. 72 第九章导数及其运用............................................................................................................................. 90 第十章推理与证明、复数..................................................................................................................... 94

2021届高考数学二轮专题复习PPT-数形结合思想(21张)

•4.用高超的手法描写动人的音乐：
2．了解作者生平及概况，正确理解作者的写作意图如作品的思想内容，才能做出正确的分析和评价。
(
• A．7 B．6 二、结合课文学习，进一步掌握常见的文言实词、虚词和句式，培养文言标点和翻译的能力。
4. 举现实生活中的实例，通过舟的浮动对水的依赖性，从而得出结论来说明大鹏鸟的飞翔对风的依赖性的句子是：风之积也不厚，则其负大翼也无力。 21.《离骚》中屈原通过加高自己的帽子和佩带表明要使自己品格更加高洁的两句：
人行刺这种恐怖政策。
看，一群活泼可爱的小朋友向我们走来，笑容在他们脸上格外灿烂，时间在这一刻仿佛成为永恒。请欣赏3 年级小朋友为我们带来的歌曲《娃哈哈》。
值范围是 ( D ) 一、导入：
一到阴雨的天气,天是湿漉漉的,地是湿漉漉的,让我们的心情不由得也有几分湿漉漉的。雨总是带给我们一些莫名的忧郁、无可名状的哀伤，但这种微妙的情绪又很难准确把握，用
10.杜牧在本文中最后总结，六国和秦国的灭亡都是由于不修自身，咎由自取，怨不得别人的语句是：灭六国者六国也，非秦也。族秦者秦也，非天下也。
1．杜甫一生失意，常陷入病痛孤独之境，《登高》一诗对此都有直接描述，这些句子是：
（六）《诗经·卫风·氓》
【课时安排】一课时。
问：诗人回忆了在大堰河家里生活的几个分镜头？主画面又是什么呢？
第三部分
思想篇•素养升华
第3讲数形结合思想
1 思想方法 • 解读 2 思想方法 • 应用
• 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
• 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．

2024届新教材高考数学二轮复习概率课件(69张)

A.15
B．13
C．25
D．23
【解析】从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
(5,6)，15 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，
2.古典概型一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
多维题组·明技法
角度1：随机事件的关系 1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D ) A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治 C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－ β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3 表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选项A，C，D错误，选项B正确．故选B.

山东2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破解答题命题区间精讲精讲1三角函数和解三角形课件

(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3， ∴cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2＝522＋×352×－372＝－12，∴∠ADC＝
23π.
在△ABD中，AD＝5，B＝π4，∠ADB＝π3，由sin∠ABADB＝sAinDB，
得AB＝AD·ssiinn∠BADB＝5×sinsiπ4nπ3＝5×2223＝5
化为边a，b的等式. 第3步：化简利用第1步、第2步的结论化简得b＝c. 第4步：变角利用三角形内角和定理求A．第5步：计算根据条件②及第4步的结论求得结果.
4分
←于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c，
6分
←所以B＝C＝π6，A＝23π.
8分
←由因②此c，si选n A条＝件3，②所时以问c题＝中b＝的2三角3，形a存＝在6. ，
(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)＝－2sin 4x＋1，当1π2≤x≤π3时，π3≤4x≤43π，－ 23≤sin 4x≤1， ∴－1≤g(x)≤ 3＋1， ∴g(x)在1π2，π3上的值域为[－1， 3＋1]．
2．(2020·济宁模拟)在①函数 f (x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为 5，②函数 f (x)的图象的一条对称轴方程为 x＝－1，③函数 f (x)的一个对称中心的横坐标为12，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线处，并解决问题.
[解]
(1)由bcos
A＋
22a＝c，根据正弦定理得sin
BcosBiblioteka A＋2 2 sinA＝sin C，
sin
Bcos
A＋
2 2 sin
A＝sin(A＋B)，sin
Bcos
A＋

2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题

3k2＋2
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4，易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0，所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0，则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3，所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，

2021新高考数学二轮复习课件：板块1 应试技巧必备

角形，E，F分别是PA，AB的中外接球，从而体积为 6π.选D
点，∠CEห้องสมุดไป่ตู้＝90°，则球O的体积
为( )
A．8 6π
B．4 6π
C．2 6π
D． 6π
真题示例
(2017·全国卷Ⅰ)已知 α∈0，π2，tan α＝2，则 cosα－π4＝________.
技法应用结合三角函数的定义，取角α终边
ƒ(x)在(－∞，0)单调递减，且 ƒ(2)＝0，则满 1)＝0，符合题意，
足 xƒ(x－1)≥0 的 x 的取值范围是( )
排除 B；当 x＝4
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
时，f (4－1)＝f
B．[－3，－1]∪[0,1]
(3)<0，此时不符合
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
题意，排除选项 A，
D．[－1,0]∪[1,3]
C．选 D
真题示例 (2019·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝12n2－2n
技法应用由已知 S4＝0，a5 ＝5 可知 S5＝5，验证选项 C，D 可知 C，D 错误；再由 a1＋a2＋a3＋a4＝0 验证选项 A，B，可知 B 错误．选 A
b＝12时，选项 A，C，D 对应的不等式不成立．选 B
真题示例 (2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则 ()
A．y＝2sin2x－π6 B．y＝2sin2x－π3 C．y＝2sinx＋π6 D．y＝2sinx＋π3
技法应用
结合图象，分别取x＝0和x＝π3验证．选A

2021新高考数学二轮总复习学案：第1讲选择题、填空题的解法含解析

第1讲选择题、填空题的解法方法思路概述高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.解法分类指导方法一直接法直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数=1-b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+b i|=()A.-1+2iB.1C.5D.(2)(多选)(2020山东济宁模拟,11)已知函数f(x)=cos-2sin cos(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)在上单调递增D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{a n}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=()A.-14B.9C.14D.20(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是.方法二特值、特例法特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则=.【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则()A. B.sin a>sin bC. D.a2>b2(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点.方法三等价转化法在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.【例3】(1)函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1(2)已知f(x)与函数y=-a sin x关于点,0对称,g(x)与函数y=e x关于直线y=x对称,若对任意x1∈(0,1],存在x2∈,2,使g(x1)-x1≤f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.-∞,B.,+∞C.-∞,D.,+∞【对点训练3】(1)在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为()A.3B.2C. D.(2)(2020福建福州模拟,16)已知函数f(x)=ax-ln x-1,g(x)=,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为.方法四数形结合法数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是()A.3B.4C.3D.4(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【对点训练4】(1)已知函数f(x)=若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是()A.(24,36)B.(48,54)C.(24,27)D.(48,+∞)(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|,下列说法正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)在区间上是增函数C.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=(k∈Z)D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点方法五构造法利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,则()A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式e x-1f(x)<f(2x-1)的解集为.【对点训练5】(1)(2020天津和平区一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53(lo5),则a,b,c大小关系为()A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则()A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0方法六排除法(针对选择题)数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是()A.y=x+B.y=2x+2-xC.y=sin x+,x∈D.y=x2-2x+3(2)(2020浙江,4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是()方法七估算法选择题提供了正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.【例7】(2019全国Ⅰ,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm【对点训练7】已知正数x,y满足2x+y<4,则的取值范围是()A.B.C.∪(5,+∞)D.∪[5,+∞)专题方法归纳1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解题能力.第1讲选择题、填空题的解法解法分类指导【例1】(1)D(2)BD解析(1)由=1-b i,得2-a i=i(1-b i)=b+i,∴a=-1,b=2,则a+b i=-1+2i,∴|a+b i|=|-1+2i|=,故选D.(2)由题得,f(x)=cos-sin sin2x-cos2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x时,2x-,函数f(x)在上先单调递减后单调递增,故C错误;将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=f=sin2x,故D正确.对点训练1(1)D(2)解析(1)令f(x)=0,则方程x2-9x+14=0,解得方程的两个根为2,7.∵等差数列{a n}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,当a1=2,a6=7时,d==1,则a3=4,a4=5,所以a3a4=20;当a1=7,a6=2时,d==-1,则a3=5,a4=4,所以a3a4=20.故选D.(2)|2e1-e2|2,解得e1·e2又e1·e2≤1,所以e1·e2≤1.cosθ==,设e1·e2=x,则x≤1.cos2θ=,得cos2,所以cos2θ的最小值是【例2】(1)B(2)解析(1)因为a>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b,故A,C错;log c b=3>log b a=,故D错,B正确.(2)所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,=(x,3y)·(-x,3y)=-x2+9y2=4;=(x,y)·(-x,y)=-x2+y2=-1;解得x2=,y2=则=(x,2y)(-x,2y)=-x2+4y2=对点训练2(1)C(2)(1,0)解析(1)对于A,取a=1,b=-1,则a>b成立,但,故A 错误;对于B,取a=π,b=0,则a>b 成立,但sin π=sin0,故B 错误; 对于C,因y=在R 上单调递减,若a>b ,则,故C 正确;对于D,取a=1,b=-2,则a>b 成立,但a 2<b 2,故D 错误. (2)曲线y=的对称中心为(1,0),设过对称中心的直线与曲线交于A ,B 两点,则A ,B 的中点为对称中心(1,0),所以过D ,E ,F 三点的圆一定经过定点(1,0). 【例3】(1)A (2)C 解析(1)当x>0时,函数f (x )过点(1,0),又函数f (x )有且只有一个零点,可推出,当x ≤0时,函数y=-2x +a 没有零点,即在(-∞,0]内,函数y=2x 与直线y=a 无公共点.由数形结合,可得a ≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a ≤0或a>1},故选A .(2)依题意得f (x )=a sin(1-x ),g (x )=ln x ,设h (x )=g (x )-x=ln x-x ,x ∈(0,1],∵h'(x )=-1≥0,∴h (x )在(0,1]上单调递增, ∴h (x )max =h (1)=ln1-1=-1. 故原题等价于存在x ∈,2,使得a sin(1-x )≥-1,∵sin(1-x )≤0,∴a 故只需a 而y=在x ∈,2上单调递减,而,∴a 故选C .对点训练3(1)C (2) 解析(1)如图,延长CA 至D ,使得AD=3,连接DB ,PD ,因为AD=AB=3,故△ADB 为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB ⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC 2=PB 2+BC 2,所以CB ⊥PB.因为DB ∩PB=B ,DB ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以CB ⊥平面PBD.所以V 三棱锥P-CBD=V 三棱锥C-PBD =CB×S △PBD .因为A 为DC 的中点,所以V 三棱锥P-ABC =V 三棱锥P-CBD =3×S △PBD =S △PBD .因为DA=AC=AP=3,故△PDC 为直角三角形,所以PD=又DB=AD=3,而PB=4,故DB 2=PD 2+PB 2,即△PBD 为直角三角形,所以S △PBD =4=2,所以V 三棱锥P-ABC =故选C .(2)当x ∈(0,3)时,g (x )=,当x ∈[3,+∞)时,g (x )=,所以φ(x )在[3,+∞)必成立,问题转化为φ(x )在(0,3)恒成立,由ax-ln x-1恒成立,可得a 在x ∈(0,3)恒成立,设h (x )=,x ∈(0,3),则h'(x )=,当0<x<1时,h'(x )>0,当1<x<3时,h'(x )<0,所以h (x )在(0,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,所以h (x )max =h (1)=,所以a,故实数a 的取值范围为【例4】(1)A (2)C 解析(1)作出对勾函数y=x+(x>0)的图象如图,由图象知函数的最低点坐标为A (2,4),圆心坐标为C (2,0),半径R=1,则由图象知当A ,B ,C 三点共线时,|AB|最小,此时最小值为4-1=3,故选A .(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练4(1)B(2)AC解析(1)画出f(x)=的图象,如图所示.∵a<b<c,∴由二次函数的性质可得a+b=6.由图可知,4<c<log29+1,∴f(4)<f(c)<f(log29+1),f(4)=8,f(log29+1)==9,∴8<f(c)<9,48<6f(c)<54,即(a+b)f(c)的取值范围是(48,54),故选B.(2)由题得,f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|==图象如图所示,由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;f(x)在区间上不是单调函数,故B错误;若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=(k∈Z),故C正确;函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有2个零点,故D错误.故选AC.【例5】(1)A(2)(1,+∞)解析(1)∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>ln1=0.故选A.(2)设F(x)=,则F'(x)=f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∵e x-1f(x)<f(2x-1),,即F(x)<F(2x-1),∴x<2x-1,即x>1,∴不等式e x-1f(x)<f(2x-1)的解集为(1,+∞).对点训练5(1)C(2)C解析(1)构造函数g(x)=,则函数在(0,+∞)内单调递减,∵0.22<1<log35,则f(0.22)>f(1)>f(log35)=-f(lo5),∵a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53×f(lo5),∴25f(0.22)>f(1)>-log53×f(lo5),∴a>b>c.(2)当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不满足条件;当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,①当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,(x-a)·(x-2a-b)≥0不恒成立;②当a+b<0时,此时2a+b<a,若满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,只需满足a<0;③当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.故选C.【例6】(1)D(2)A解析(1)由题意可知,a·b=|a|·|b|cos60°=对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=0,不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-0,不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.(2)∵f(-x)==f(x),∴f(x)是偶函数,故f(x)图象关于y轴对称,排除C,D;又x=1时,f(1)=<0,排除B,故选A.对点训练6(1)BD(2)A解析(1)对于A,若x<0,则最小值不为2,故A错误;对于B,y=2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,故B正确;对于C,对x,y=sin x+2,但等号成立需sin x=,方程无解,故C错误;对于D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当x=1时取等号,故D正确.故选BD.(2)因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(x cos x+sin x)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x时,x cos x+sin x>0,所以排除B.故选A.【例7】B解析设人体脖子下端至肚脐长为x cm,则,得x≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.对点训练7A解析作出表示的可行域如图所示,直线2x+y=4与坐标轴的交点为B(2,0),C(0,4).设z=,∵A(0,0), ∴z A=1;∵B(2,0),∴z B=;∵C(0,4),∴z C=5.由题知,无法取到B,C两点,的取值范围是。

高考数学二轮复习第1讲三角函数的化简与求值课件

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答案 2 4
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解析两式平方相加得13-12sin αcos β-12cos αsin β= 3 7 , 则12sin(α+β)=13-3 7
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= 2 8 8 ,sin(α+β)= 2 4 .
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x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=
例1 (2018高考数学模拟)如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边
与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈
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,.将2 角α的终边按逆时针
方向旋转 ,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2). 3
12/11/2021
(1)若x1=
1 3
,求x2;
(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D,记△AOC的面积为S1,△BOD的面
1tan2αtan(αβ) 1 1
12/11/2021
【方法归纳】解决三角函数的给值求角问题的关键是角的变换和三角公式的选择,对于角的变换,若已知角与所求角之间有2倍的关系,则利用二倍角公式求解,在此过程中,要注意同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1与tan α= s i n 的α 应用;若已知角与所求角之间是和或差的形式,则先用已知角和特
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(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
12/11/2021
解析 (1)因为tan α= s i n =α 4 ,所以sin α= 4
cosα 3
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因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α= 9 ,

2021年江苏高考数学二轮讲义：专题一第4讲不等式

第4讲不等式[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．不等式的解法第4题不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式是考查重点．试题多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中高档题．不等式成立问题会在压轴题中出现，难度较大，不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现，主要利用基本不等式求最值．2．基本不等式第10题第13题第10题3．不等式成立问题4．线性规划5．不等式的实际应用1．必记的概念与定理已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24．(简记：和定积最大) 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．2．记住几个常用的公式与结论(1)几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤⎝⎛⎭⎫a＋b22(a，b∈R)；⎝⎛⎭⎫a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(3)简单分式不等式的解法①变形⇒f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)且g (x )≠0；②变形⇒f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0．(4)两个常用结论①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0．②ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0．3．需要关注的易错易混点(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．(2)在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．不等式的解法 [典型例题](1)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，则实数m 的值为________．(2)(2019·苏州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，ln （x －1），1＜x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)因为函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0．令f (x )＝0，可得Δ＝4a 2－4×(－4)×(－b )＝4a 2－16b ＝0，即b ＝a 24．关于x 的不等式f (x )≥m 可化简为4x 2－2ax ＋b ＋m ≤0，即4x 2－2ax ＋a 24＋m ≤0．又关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，所以方程4x 2－2ax ＋a 24＋m ＝0的两个根为x 1＝c ，x 2＝c ＋8，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a 2x 1x 2＝a 216＋m4，又|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(a 2)2－4(a 216＋m4)＝64，解得m ＝－64． (2)作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0，5)，由f (x )≤g (x )恒成立，并数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52．【答案】 (1)－64 (2)⎣⎡⎦⎤0，52二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．[对点训练]1．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(六))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x－3，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (a )＞f (f (－2))，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，f (－2)＝(12)－2－3＝1，f (1)＝1，所以不等式化为f (a )>1．当a ≤0时，f (a )＝(12)a －3>1，解得a <－2；当a >0时，f (a )＝a >1，解得a >1．因而a 的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A ，2∉A ，则a 的取值范围是________． [解析] 因为2∉A ，所以4－4a ＋a 2－1<0，即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3． [答案] 1<a <3基本不等式 [典型例题](1)(2019·南通市高三调研)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．(2)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．【解析】 (1)因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x ＋4（x ＋y ）y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4x y ＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时，取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8． (2)设P ⎝⎛⎭⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4．【答案】 (1)8 (2)4用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．[对点训练]3．(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数x ，y 满足15x －y ＝22，则x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为________．[解析] x 3＋y 3－x 2－y 2＝x 3＋94x ＋y 3＋14y －x 2－y 2－94x －14y ≥3x 2＋y 2－x 2－y 2－94x －14y ＝2x 2－94x －14y ＝2x 2＋92－94x －14y －92≥6x －94x －14y －92＝15x －y 4－92＝224－92＝1，当且仅当x ＝32，y ＝12时取等号，故x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为1．[答案] 14．(2018·高考江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．[解析] 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．[答案] 9线性规划 [典型例题](1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．(2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0．若z 的最大值为12，则实数k ＝________．【解析】 (1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2，3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0，2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k ＝2．【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤45，13 (2)2确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[对点训练]5．(2019·江苏名校高三入学摸底)若变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋6≥0y ≥0，则⎝⎛⎭⎫12x ＋y的最小值为________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中△OAB (含边界)所示，作直线l ：x ＋y ＝0，若向上平移直线l ，则x ＋y 的值增大，当平移至过点B (2，4)时，x ＋y 取得最大值6，此时⎝⎛⎭⎫12x ＋y取得最小值18．[答案] 186．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为M ，且M 的取值范围是[1，2]，则点P (a ，b )所组成的平面区域的面积是________．[解析] 作出约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB 及其内部)．将目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)化为直线方程的形式为y ＝－a b x ＋zb，若－a b ≤－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点A (1，0)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝a ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b≤－2a ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．若－a b >－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点B (0，2)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝2b ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b>－22b ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．综上，点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为32．[答案] 32不等式的实际应用[典型例题]“第五届上海智能家居展览会”于2017年7月5日－7月7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居．某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于2016年没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有1．25万套，如果延续2016年的经营策略，预计2017年的销量只有2016年的80%．为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在2017年借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动．经过市场调研，该品牌套餐的年销量x 万套与年促销费用t 万元之间满足关系：x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)．预计2017年生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好能销售完．(1)将该企业2017年的利润y 万元表示为关于年促销费用t 万元的函数； (2)该企业2017年的促销费用为多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定成本＋可变成本) 【解】 (1)由题意可知在x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)中，当t ＝0时，x ＝1．25×0．8＝1，代入上式得m ＝1，所以x ＝4t ＋1t ＋1(t ≥0)．当年生产x 万套时，年生产成本为 27x ＋4＝27×4t ＋1t ＋1＋4．当年销售x 万套时，年销售收入为160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t ．由题意，生产x 万套该品牌套餐正好销售完，由利润＝销售收入－生产成本－促销费用，得y ＝160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t －⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4－t ．所以y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）(t ≥0)．(2)y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1＋81t ＋1≤35×(113－18)＝57，当且仅当t ＋1＝81t ＋1，即t ＝8时等号成立，即当该企业2017年的促销费用为8万元时，企业的年利润最大，且最大值为57万元．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．[对点训练]7．(2019·苏州调研)如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB ＝y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上)，现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？[解] (1)因为AB ＝y ，AB ＝AC ＋1，所以AC ＝y －1．在直角三角形BCF 中，因为CF ＝x ，∠ABC ＝60°，所以∠CBF ＝30°，BC ＝2x ．由于2x ＋y －1 >y ，得x >12．在△ABC 中，因为AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 60°，所以(y －1)2＝y 2＋4x 2－2xy ．则y ＝4x 2－12（x －1）．由y ＞ 0，及x >12，得x ＞ 1．即y 关于x 的函数解析式为y ＝4x 2－12（x －1）(x ＞ 1)． (2)M ＝3(2y －1)＋4x ＝12x 2－3x －1－3＋4x ．令x －1＝t ，则M ＝12（t ＋1）2－3t －3＋4(t ＋1)＝16t ＋9t＋25≥49，在t ＝34，即x ＝74，y ＝152时，总造价M 最低．所以x ＝74时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低．1．函数f (x )＝1xlg(2＋x －x 2)的定义域为__________．[解析] ⎩⎨⎧x ≠0，2＋x －x 2>0，⇒－1<x <0或0<x <2，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，2) [答案] (－1，0)∪(0，2)2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．[解析] 因为t >0，所以y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．[答案] －23．(2019·高三第一次调研测试)若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为______． [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，数形结合易知当直线z ＝x ＋y 过点A (－3，－3)时，z 取得最小值，z min ＝－6．4．(2019·苏北四市高三质量检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．[解析] 因为当x ＞0时，f (x )＝2x －3，所以当x ＜0，即－x ＞0时，f (－x )＝2－x －3，因为函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝2－x －3＝－f (x )，所以f (x )＝－2－x ＋3．当x ＞0时，不等式f (x )≤－5等价为2x －3≤－5，即2x ≤－2，无解，故x ＞0时，不等式不成立；当x ＜0时，不等式f (x )≤－5等价为－2－x ＋3≤－5，即2－x ≥8，得x ≤－3；当x ＝0时，f (0)＝0，不等式f (x )≤－5不成立．综上，不等式f (x )≤－5的解集为(－∞，－3]． [答案] (－∞，－3]5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30． [答案] 306．(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5，即实数a 的取值范围是(1，5]．7．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为______．[解析] x ＋4y －xy ＝0，即x ＋4y ＝xy ，等式两边同时除以xy ，得4x ＋1y＝1，由基本不等式可得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y ＝6时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，因为m ≤9．[答案] m ≤98．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32． [答案] ⎣⎡⎦⎤－12，32 9．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为______．[解析] 因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2（x 2＋2y 2）x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为2．[答案] 210．(2019·宁波统考)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________．[解析] 易知已知函数为偶函数，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时为减函数．对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时， f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，a ≠1) 设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a >1，1≤a 2，g （1）>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2≤12，g ⎝⎛⎭⎫12>0，则2≤a <4或0<a <1． [答案] (0，1)∪[2，4)11．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． [解] (1)因为x ＞0，a ＞2x ，所以y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（a －2x ）22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28．(2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2．当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a 2．12．已知关于x 的不等式x ＋2x 2－（1＋a ）x ＋a >0．(1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．[解] (1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －2）>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －a ）>0，当－2<a <1时，解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，解集为{x |x >－2且x ≠1}；当a >1时，解集为{x |－2<x <1或x >a }．13．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD 用来种植草莓，其中AB ＝99 m ，AD ＝49．5 m ．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n (n ∈N *)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m 宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF ＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31．4元．(1)当n ＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π) (2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3．14) [解] (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r ．当n ＝20时，共有19块空地，所以r ＝99－19×12×20＝2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 πr 2＋πr ×AD ＝π×22＋2π×49．5＝103π(m 2)，即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m 2． (2)设两项费用的和为f (n )．因为r ＝99－（n －1）×12n ＝100－n2n，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 S ＝πr 2＋πr ×AD ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×100－n 2n ，则f (n )＝10nS ＋31．4×1×49．5(n －1)＝10n [π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n ]＋31．4×1×49．5(n －1)＝31．4×[（100－n ）24n ＋49．5×100－n2＋49．5(n －1)]＝31．44×[（100－n ）2n＋99(100－n )＋198(n －1)]＝31．44×(1002n ＋100n ＋9 502)＝31．44×[100×⎝⎛⎭⎫100n ＋n ＋9 502]，因为100n＋n ≥2100n·n ＝20，当且仅当n ＝10时等号成立，所以，当且仅当n ＝10时，f (n )取得最小值，即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．14．设m 是常数，集合M ＝{m |m >1}，f (x )＝log 3(x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1)．(1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有的实数x 都有意义； (2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值；(3)求证：对每个m ∈M ，函数f (x )的最小值都不小于1． [解] (1)证明：f (x )＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2m ）2＋m ＋1m －1，当m ∈M ，即m >1时，(x －2m )2＋m ＋1m －1>0恒成立，故f (x )的定义域为R ．(2)令g (x )＝x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1，因为y ＝log 3g (x )是增函数，所以当g (x )最小时f (x )最小，而g (x )＝(x －2m )2＋m ＋1m －1，显然当x ＝2m 时，g (x )的最小值为m ＋1m －1．此时f (x )min ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1． (3)证明：m ∈M 时，m ＋1m －1＝m －1＋1m －1＋1 ≥2＋1＝3，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1≥log 33＝1，结论成立．。

2021高考数学二轮专题训练2.21课时突破数列解答题数列求和及数列的综合应用课件

n a
n
,求数列{cn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由已知得an+1=3an+3n,得bn+1a3=nn+1＝3a3n+ n3n＝3an－ n=1+ b1n+1,所以 bn+1-bn=1,又a1=1,所以b1=1,
所以数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列. (所2以)bSn=n=3 an1－n 1=1(1n,1所31n以)＝ a32n=(1n·31n3).＝ n-132,cn2=331n1n－－ 11,
(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;
(2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
(1)利用定义,证明 a n 1 (n∈N*)为一常数;
an
(2)利用等比中项,即证明
a
2 n
=an-1an+1(n≥2).
3.若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成等差(等
(2)设Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,
-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n1=
( 3
2
)n -n×(-2)n.
a1 a2
an
3
1 3 n1
=3 (1 1 ). 3
2 3n 2

【2021新高考数学二轮复习】第1讲直线与圆

【2021新高考数学二轮复习】[学生用书P69]第1讲直线与圆考点一直线的方程[学生用书P70][自主练透]1．设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8，得a ＝1或a ＝－2.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．2．(多选)(2020·福建三明一中期中)下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)C ．过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 解析：选AB.A 中，直线x －y －2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为2，－2，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2，所以A 正确．B 中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B 正确．C 中，直线方程成立需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误．D 中，还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．故选AB.3．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎨⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为点P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝04．设点P 为直线l ：x ＋y －4＝0上的动点，点A (－2，0)，B (2，0)，则|P A |＋|PB |的最小值为________．解析：设点B (2，0)关于直线l 的对称点为B 1(a ，b )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×（－1）＝－1，a ＋22＋b 2－4＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝2，所以B 1(4，2)．因为|P A |＋|PB |＝|P A |＋|PB 1|，所以当A ，P ，B 1三点共线时，|P A |＋|PB |最小，最小值为|AB 1|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：210(1)求直线方程的两种方法①直接法：根据已知条件，找出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接求出直线方程．②待定系数法：其具体步骤为：〈1〉设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；〈2〉根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；〈3〉解方程或方程组得到待定系数；〈4〉写出直线方程；〈5〉验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．(2)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．考点二圆的方程[学生用书P70][典型例题](1)(多选)(2020·日照模拟)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是()A．圆A的半径为2B．圆A截y轴所得的弦长为2 3C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离(2)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A．22B．8C．5 D． 5(3)已知圆心在直线x－y－1＝0上的圆与y轴的两个交点的坐标分别为(0，4)，(0，－2)，则该圆的方程为________．【解析】(1)把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×4－1＝23，B正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．故选ABC.(2)因为圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C在直线y＝x或y＝－x上．①当圆心C在直线y＝x上时，设C(m，m)，半径为R，则(m＋1)2＋m2＝(m －2)2＋(m－3)2＝R2，可得m＝1，R2＝5，所以R＝ 5.②当圆心C在直线y＝－x上时，设C(m，－m)，半径为R，则(m＋1)2＋(－m)2＝(m－2)2＋(－m－3)2＝R2，该方程组无解．所以圆C 的半径为5，故选D.(3)因为圆与y 轴的两个交点的坐标分别为(0，4)，(0，－2)，所以圆心在点(0，4)，(0，－2)连线的垂直平分线y ＝1上，又因为圆心在直线x －y －1＝0上，所以由⎩⎨⎧y ＝1，x －y －1＝0得圆心的坐标为(2，1)，圆的半径为22＋（1－4）2＝13，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝13.【答案】 (1)ABC (2)D (3)(x －2)2＋(y －1)2＝13求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程1．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则圆C 关于直线y ＝－x －4对称的圆的方程是( )A ．(x ＋4)2＋(y ＋6)2＝1B ．(x ＋6)2＋(y ＋4)2＝1C ．(x ＋5)2＋(y ＋7)2＝1D ．(x ＋7)2＋(y ＋5)2＝1解析：选A.设所求圆的圆心为C ′(a ，b )．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，故其圆心为(2，0)，半径r ＝1.因为C 与C ′关于直线y ＝－x －4对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2＝1，b 2＝－a －22－4，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝－6，所以所求圆的圆心坐标为(－4，－6)，半径r ′＝1，其方程为(x ＋4)2＋(y ＋6)2＝1，故选A.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4解析：选A.设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，ba－2＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.3．(多选)(2020·淄博模拟)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 2解析：选ACD.因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，故C正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D正确．考点三直线与圆的位置关系[学生用书P71][典型例题]命题角度1圆的切线问题(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋1 2C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12 (2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________．【解析】 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55 ①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5，则|OM |≥d ＝5，所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23，所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46.所以四边形OBMC 面积的最小值为46.【答案】 (1)D (2)46直线与圆相切问题的解题策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．(2)过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．命题角度2 圆的弦长问题(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于点M ，N ，点P 在圆C 上，且∠MPN ＝π3，则实数a 的值等于( ) A ．2或10B ．4或8C ．6±2 2D ．6±2 3【解析】 (1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3，0)，半径r ＝3.设点(1，2)为点A ，过点A (1，2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22<9，所以点A (1，2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－（22）2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)由∠MPN ＝π3，可得∠MCN ＝2∠MPN ＝2π3.在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，∠CMN ＝∠CNM ＝π6，可得点C (3，－3)到直线MN ，即直线l ：x －3y －a ＝0的距离为2sin π6＝1.所以|3－3×（－3）－a |1＋3＝1，解得a ＝4或a ＝8.故选B. 【答案】 (1)B (2)B求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r 2＝d 2＋l 24(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)公式法根据公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解命题角度3 直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→. 【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0.设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A.55 B ．255C.355 D ．455解析：选B.因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，所以(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255，故选B. 2．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线y ＝2x －1上的一个动点．若线段OP 的垂直平分线与圆有交点，则|OP |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设P (a ，2a －1)，则线段OP 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a －12.若线段OP 的垂直平分线与圆有交点，则由图可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a －12在圆O ：x 2＋y 2＝1内部(包括边界)．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤1，整理得5a 2－4a ≤3.所以|OP |＝a 2＋（2a －1）2＝5a 2－4a ＋1≤3＋1＝2.所以|OP |的最大值为2.故选B.3．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为________．解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.答案：x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[学生用书(单独成册)P145]1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( ) A ．(3，3) B ．(2，3) C ．(1，3) D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切解析：选B.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心O 1(1，0)，半径r 1＝1，圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心O 2(0，2)，半径r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|<|O 1O 2|<|r 1＋r 2|，所以两圆的位置关系是相交．3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B.依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2. 故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.4．直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B ． 2 C. 6 D ．2 6解析：选 C.圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2，2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2，2)．所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0，3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12.所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2× 2－12＝ 6.故选C.5．(多选)(2020·辽宁葫芦岛普通高中质量监测)若P 是圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上任一点，则点P 到直线y ＝kx －1距离的值可以为( )A ．4B ．6C ．32＋1D ．8解析：选ABC.由题意，知圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C 到直线y ＝kx －1距离的最大值为（－3－0）2＋（3＋1）2＝5，则点P 到直线y ＝kx －1距离的最大值为5＋1＝6，因此A ，B ，C 正确，只有D 不正确．故选ABC.6．(多选)(2020·山东枣庄滕州一中期中)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论正确的是( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b解析：选ABC.圆C 2的方程可化为x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，则将圆C 1与圆C 2的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入直线AB 的方程可得⎩⎨⎧2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2，两式相减可得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，所以选项A ，B 是正确的．由圆的性质可得，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，所以选项C 是正确的，选项D 是不正确的．故选ABC.7．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝________．解析：由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案：108．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP→的最大值为________，|OA→＋OP →|的最大值为________．解析：设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，所以AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2(x ＋2)．因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以－1≤x ≤1，所以AO →·AP →∈[2，6]．所以AO →·AP→的最大值为6. 因为OA→＋OP →＝(－2，0)＋(x ，y )＝(x －2，y )，所以|OA→＋OP →|＝（x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋1－x 2＝5－4x ，又－1≤x ≤1.故1≤5－4x ≤9，所以1≤|OA →＋OP →|≤3，从而|OA →＋OP →|max＝3. 答案：6 310．已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B .(1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，求实数a 的值．解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0，由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34，由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以a ＝34.11．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.12．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点Q ，使得OQ→＝OA →＋OB →？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径为r .因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)存在，直线l 的斜率为±2 2.因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|3|1＋k 2<2. 所以k >52或k <－52.假设存在点Q ，使得OQ→＝OA →＋OB →. 因为A ，B 在圆上，且OQ→＝OA →＋OB →. 同时|OA→|＝|OB →|，连接AQ ，BQ ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直且平分．所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OQ |＝1，即|3|1＋k 2＝1. 解得k 2＝8，则k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点Q ，使得OQ →＝OA →＋OB →，此时直线l 的斜率为±2 2.。

2021高考数学二轮专题复习第一部分专题二数列ppt课件

专题二数列
真题研析命题分析知识方法
2．(2019·全国卷Ⅰ)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
解析：3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d⇒3a1＋2d＝0，又 a1＝2，
所以 d＝－3，所以 a5＝2＋4×(－3)＝－10，故选 B. 答案：B
专题二数列
真题研析命题分析知识方法
类型一等差数列 1．(2019·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝12n2－2n 解析：依题意有Sa54＝＝a41a＋1＋4d6＝d＝5，0，可得ad1＝＝2－，3，所以 an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选 A. 答案：A
所以{an}的前 n 项和为 n·1＋n（n2－1）·6＝3n2－2n. 答案：3n2－2n
专题二数列
真题研析命题分析知识方法
类型二等比数列
1．(2020·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项
和．若 a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Sann＝(
)
A．2n－1
B．2－21－n
所以 S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝ 480.
专题二数列
真题研析命题分析知识方法
1．高考数学试题数列部分一般两个小题或一个解答题，从近几年来看前者出现的频率更高，都是占 10 分，难度一般较低．
(1)求{an}的公比； (2)若 a1＝1，求数列{nan}的前 n 项和．解：(1)设{an}的公比为 q，因为 2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以 q2＋q－2＝0，因为 q≠1，所以 q＝－2. (2)设{nan}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1， Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①