2.质点动力学4【浙江大学 大学物理甲】
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又因为 A保内＝-(EP－EP0) 所以 A外＋ A非保内＝ (Ek+EP )-(Ek0 +EP0)
质点系在运动过程中，外力做功和非保守内力做功 之和等于系统机械能的增量，称功能原理。
2、机械能守恒定律
由功能原理 如果 A外＝0
A非保内＝0
那么 A外+ A非保内＝0 则 (Ek+EP ) = (Ek0 +EP0) =常量
G rb
ra
Mm r3
rdr
r • dr r dr cos rdr
F
G
Mm r3
r
rb
dr
b
Mm
Mm
(G ) (G )
r ra
rb
dr
r m
初态量
末态量
M
F
ra a
3、势能和保守力的关系： (1)保守力所做的功等于系统势能增量的负值。
A重 (mgzb mgza )
A引
(G0
F kx
A
xb xa
kxdx
(
1 2
kxb 2
1 2
kxa 2
)
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
初态量 末态量
弹簧振子
•• •
(1) 引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所
在处为原点, M指向m的方向为矢径的正方向。m
受的引力方向与矢径方向相反。
A
wk.baidu.com
G rb
ra
Mm r3
r • dr
选择o点为重力势能零点
O
a
x
l
mg
l
xdx
1
mv2
mg
l
0
ma
g
a
a
l
2
2
l 2
得v
g l
1
(l 2 a2 ) (l a)2 2
§2.10 碰撞
碰撞：如果两个或两个以上的物体相互作用，且作用 力较大时间极为短暂。
特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量守恒。
正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞）
势能为：
零势能位置
Epa F • dr
a
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用
下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
重力势能（以地面为零势能点）
势
0
能
EP
mgdy mg(0 y) mgy
y
只
具
弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
有
E p
0
kx
• dx
(0
1
kx2 )
保守力沿 x轴方向的分量等于 此保守力相应的势能函数沿 x 轴方向的空间变化率的负值.
直角坐标系中
əEp
Fx =
, əx
Fy =
əEp , əy
əEp
Fz =
əz
矢量式为:
F = Fx i +Fy j +Fz k
F
Fx i
Fy
j
Fz
k
EP x
i
EP y
j EP z
k Ep
即: 保守力等于相应势能 函数的梯度的负值.
Mm rb
)
(
G0
Mm
ra
)
A弹
( 1 2
kxb2
1 2
kxa2 )
b
A保 a F保 • dr
E pa E pb
E p
保守力做正功等于相应势能的减少； 保守力做负功等于相应势能的增加。
b
A F保 • dr (Epb Epa ) Ep
a
设b点为零势能位置，Epb=0；则作任一位置a相应的
§2.8 势能
1、势能：由于物体位置的变化而具有的能量为 势能。
2、引入势能的条件： （1）质点系；（2）保守力做功。
1、保守力：做功与路径无关，只与始末位置有关的力 为保守力。
APQ (沿1） APQ (沿2）
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 万有引力、静电力、弹性力
2、非保守力：做功的大小与路 径有关。
解：(1)建坐标系如图
f mg(l x) / l
l-a
O
a
Af
l
f •dr
a
l mg (l x)dx
al
mg
l
(lx
1 2
x
2
)
l a
mg
2l
(l
a)2
x
注意：摩擦 力作负功！
(2)解：
l-a
根据功能原理：
A外＋ A非保内＝ (Ek+EP )-(Ek0 +EP0)
Af＝ (Ek+EP )-(Ek0 +EP0)
1
kx 2
x
2
2
相 对 意
引力势能（以无穷远为零势能点）
义
EP＝
－G
r
Mmdr r2
GMm
1 r
(2)保守力等于势能函数梯度的负值。
F
φ Fx a dx b 其势能增量为dEp, Aab= -dEp = F· dx
= Fcos φ dx 即: -dEp =Fx dx
dEp Fx= - dx ◆结论:
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械 能保持不变。
例 1 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上， 物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦系数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
第二章 质点动力学
(§2.8 - §2.11)
§2.8 势能 §2.9 功能原理 机械能守恒定律 §2.10 碰撞 §2.11 角动量定理 角动量守恒定律
说明：1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。2、EK为动能的增量，增量可正可负，视功 的正负而变。3、动能是质点因运动而具有的做功本 领。
斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
完全弹性碰撞 非完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
动量守恒 动量守恒 动量守恒
动能守恒
e=1
例如：
1. 用引力势能公式求引力
dEp
F
r
dr
d (G m1m2 )
dr
r
G
m1m2 r2
2. 用弹性势能公式求弹力
F dEp
x
dx
d
1 ( kx2 )
dx 2
kx
§2.9 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=Ek – Ek0 因为 A内=A保内＋A非保内 所以 A外+ A保内＋A非保内= Ek – Ek0
Aab (沿1） f .d
Aab
(沿2）
f
.
.
d 2
(2) 重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
ab
mg
dr
b
a ( mg )k ( dxi dyj dzk )
zb
za
mgdz
mgza mgzb
初态量 末态量
Z a•
dr
• •b
mg
O
Y
X
(3) 弹力的功
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
C
D
C
D
A
B
A
B
例2、一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其 下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？
质点系在运动过程中，外力做功和非保守内力做功 之和等于系统机械能的增量，称功能原理。
2、机械能守恒定律
由功能原理 如果 A外＝0
A非保内＝0
那么 A外+ A非保内＝0 则 (Ek+EP ) = (Ek0 +EP0) =常量
G rb
ra
Mm r3
rdr
r • dr r dr cos rdr
F
G
Mm r3
r
rb
dr
b
Mm
Mm
(G ) (G )
r ra
rb
dr
r m
初态量
末态量
M
F
ra a
3、势能和保守力的关系： (1)保守力所做的功等于系统势能增量的负值。
A重 (mgzb mgza )
A引
(G0
F kx
A
xb xa
kxdx
(
1 2
kxb 2
1 2
kxa 2
)
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
初态量 末态量
弹簧振子
•• •
(1) 引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所
在处为原点, M指向m的方向为矢径的正方向。m
受的引力方向与矢径方向相反。
A
wk.baidu.com
G rb
ra
Mm r3
r • dr
选择o点为重力势能零点
O
a
x
l
mg
l
xdx
1
mv2
mg
l
0
ma
g
a
a
l
2
2
l 2
得v
g l
1
(l 2 a2 ) (l a)2 2
§2.10 碰撞
碰撞：如果两个或两个以上的物体相互作用，且作用 力较大时间极为短暂。
特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量守恒。
正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞）
势能为：
零势能位置
Epa F • dr
a
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用
下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
重力势能（以地面为零势能点）
势
0
能
EP
mgdy mg(0 y) mgy
y
只
具
弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
有
E p
0
kx
• dx
(0
1
kx2 )
保守力沿 x轴方向的分量等于 此保守力相应的势能函数沿 x 轴方向的空间变化率的负值.
直角坐标系中
əEp
Fx =
, əx
Fy =
əEp , əy
əEp
Fz =
əz
矢量式为:
F = Fx i +Fy j +Fz k
F
Fx i
Fy
j
Fz
k
EP x
i
EP y
j EP z
k Ep
即: 保守力等于相应势能 函数的梯度的负值.
Mm rb
)
(
G0
Mm
ra
)
A弹
( 1 2
kxb2
1 2
kxa2 )
b
A保 a F保 • dr
E pa E pb
E p
保守力做正功等于相应势能的减少； 保守力做负功等于相应势能的增加。
b
A F保 • dr (Epb Epa ) Ep
a
设b点为零势能位置，Epb=0；则作任一位置a相应的
§2.8 势能
1、势能：由于物体位置的变化而具有的能量为 势能。
2、引入势能的条件： （1）质点系；（2）保守力做功。
1、保守力：做功与路径无关，只与始末位置有关的力 为保守力。
APQ (沿1） APQ (沿2）
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 万有引力、静电力、弹性力
2、非保守力：做功的大小与路 径有关。
解：(1)建坐标系如图
f mg(l x) / l
l-a
O
a
Af
l
f •dr
a
l mg (l x)dx
al
mg
l
(lx
1 2
x
2
)
l a
mg
2l
(l
a)2
x
注意：摩擦 力作负功！
(2)解：
l-a
根据功能原理：
A外＋ A非保内＝ (Ek+EP )-(Ek0 +EP0)
Af＝ (Ek+EP )-(Ek0 +EP0)
1
kx 2
x
2
2
相 对 意
引力势能（以无穷远为零势能点）
义
EP＝
－G
r
Mmdr r2
GMm
1 r
(2)保守力等于势能函数梯度的负值。
F
φ Fx a dx b 其势能增量为dEp, Aab= -dEp = F· dx
= Fcos φ dx 即: -dEp =Fx dx
dEp Fx= - dx ◆结论:
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械 能保持不变。
例 1 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上， 物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦系数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
第二章 质点动力学
(§2.8 - §2.11)
§2.8 势能 §2.9 功能原理 机械能守恒定律 §2.10 碰撞 §2.11 角动量定理 角动量守恒定律
说明：1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。2、EK为动能的增量，增量可正可负，视功 的正负而变。3、动能是质点因运动而具有的做功本 领。
斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
完全弹性碰撞 非完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
动量守恒 动量守恒 动量守恒
动能守恒
e=1
例如：
1. 用引力势能公式求引力
dEp
F
r
dr
d (G m1m2 )
dr
r
G
m1m2 r2
2. 用弹性势能公式求弹力
F dEp
x
dx
d
1 ( kx2 )
dx 2
kx
§2.9 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=Ek – Ek0 因为 A内=A保内＋A非保内 所以 A外+ A保内＋A非保内= Ek – Ek0
Aab (沿1） f .d
Aab
(沿2）
f
.
.
d 2
(2) 重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
ab
mg
dr
b
a ( mg )k ( dxi dyj dzk )
zb
za
mgdz
mgza mgzb
初态量 末态量
Z a•
dr
• •b
mg
O
Y
X
(3) 弹力的功
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
C
D
C
D
A
B
A
B
例2、一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其 下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？