《两角和与差的余弦公式》公开课课件
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COS ( /3- ) =COS /3COS +sin /3 sin =(1/2)(- 4/5)+(√3 /2)(3/5) =（3√3 - 4）/10
四. 小结
COS（ + ）=COS CCOS – sSinsiSn
COS ( – ）=COS COS + sSinsinS
EF=|4-2|=2 GH=|-4-9|=13 FG长度又是多少？
2、两点间距离公式
在平面内任取两点P1(x1,y1) , P2(x2,y2) ， 从P1, P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2;与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0)； 再从P1, P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2;与y轴交于点N1(0, y1),N2(0,y2)；
COS（ ±） = COS ± COS
3.两角和的余弦公式的推导：
COS（ +）=COS COS -sin sin
y P2
x P1
- O
P3
图1
P2(COS ,Sin ) P3(COS(- ),Sin(- ))
y
P4
+ O
x P1
P1 (1,0) P4 (COS( + ),Sin( + ))
|P1P4|=|P2P3|
|P1P4| ²=|P2P3|²
如图1中
y
P2
P2(COS ,Sin ) P3(COS(- ),Sin(- ))
x P1
- O
P3
图1
|P2P3 |²=[COS -COS（- ）] ²+[Sin -Sin（- ）] ²
= COS² +COS² -2 COS COS + Sin² + Sin² + 2Sin Sin
注意： 1。公式中三角符号的顺序 CCSS
2。公式中角的顺序 3。公式中的运算符号
五. 作业 P40
3.(3) (4)(6)(8)
解：（1）原式=cos(80°-35°)=cos45°= （2）原式=cos(25°+35°)=cos60°=1/2 变式：sin25°sin35°- cos25°cos35°=？
三 . 练习 1. 不查表,求COS75°的值.
2. 已知sin = 3/5, ∈（ / 2，）, 求COS( /3- )的值.
C± =C C S S
±
练习1解答：
解: COS75°=COS（45°+30°）
= COS45°COS30°-sin45°sin30°
√2 √3 √2 1 2 2 22 √6 √2 4
练习2解答：
解：由 sin =3/5，∈（ /2，），得 COS = - √1-sin² = -√1-（3/5）²= - 4/5；
提问： COS（ /3 + /6 ）= COS / 3 +COS / 6 是否成立？
分析: 因为 COS（ / 3 + / 6 ）= COS /2 = 0
COS /3 +COS /6 = 1/2+√3/2 0 1/2+√3/2
所以COS（ /3+ /6 ） COS /3+COS /6
∵|P1P4| ²=|P2P3| ²
∴ 2 - 2 COS（ +）=2-2（ COS COS -Sin Sin ）
COS（ +）=COS COS –Sin Sin
4、公式延伸
在上式中，若将β替换成-β，则可得:
COS（ +（-）)=COS COS （-）-sin sin（-）
=2-2(COS COS -Sin Sin ）
在图2中，
|P1P4 | ²= [COS（ +）-1] ²+Sin ²（ +）
= COS ²（ +）+ 1 - 2 COS（ +） +Sin ²（ +） =2 - 2 COS（ +）
y
P4
+ O
x P1
P1(1,0) P4(COS(+ ),Sin( + ))
P2(x2,y2)
PP =
12
(x - x )2 + ( y - y )2 M1(x1,0)
12
1
2
O
P1(x1,y1)
N1(0,y1)
M2(x2,0) x
Q(x2,y1)
二、两角和与差的余弦公式
1、公式引入：
.已知OP为角wenku.baidu.com的终边，求单位圆上点P的坐标。
Y P
OX
P（COS ，SIN ）
2、COS（ ±） = COS ± COS
COS（ – ）=COS COS +Sin Sin
±
C± = C C S S
5、公式应用 例1 不查表，计算COS105°和 COS15° 解:COS105°= COS（45°+60°）
= COS45°COS60°-sin45°sin60°
√2 1 √2 √3 2 2 22
√2 √6 4
±
C± =C C S S
COS15°=COS（45°-30°) = COS45°COS30°+sin45°sin30°
√2 √3 √2 1 2 2 22 √6 + √2
4
例2：求下列各式的值
（1）cos80°cos35°+sin80°sin35° (2) cos25°cos35°-sin25°sin35°
直线P1N1与P2M2相交于点Q.
那么： P1Q= M1M2=| x2 － x1 |，QP2= N1N2=| y2 － y1 |
由勾股定理，可得： P1P22= P1Q2+ QP22
=| x2 － x1 |2+| y2 － y1 |2 =(x2 － x1)2+( y2 － y1 )2
y N2(0,y2)
一、新课引入
1、数轴上两点间距离公式是什么？ 数轴上两点间距离等于两点坐标差的绝对值
在平面直角坐标系中A（4，0）、B（2，0）、 C(0,-4)、D（0，9）AB、CD长度是多少？
AB=|4-2|=2 CD=|-4-9|=13 E（4，1）、F（2，1）、G(-1,-4)、H（-1，9） EF、GH长度是多少？
四. 小结
COS（ + ）=COS CCOS – sSinsiSn
COS ( – ）=COS COS + sSinsinS
EF=|4-2|=2 GH=|-4-9|=13 FG长度又是多少？
2、两点间距离公式
在平面内任取两点P1(x1,y1) , P2(x2,y2) ， 从P1, P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2;与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0)； 再从P1, P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2;与y轴交于点N1(0, y1),N2(0,y2)；
COS（ ±） = COS ± COS
3.两角和的余弦公式的推导：
COS（ +）=COS COS -sin sin
y P2
x P1
- O
P3
图1
P2(COS ,Sin ) P3(COS(- ),Sin(- ))
y
P4
+ O
x P1
P1 (1,0) P4 (COS( + ),Sin( + ))
|P1P4|=|P2P3|
|P1P4| ²=|P2P3|²
如图1中
y
P2
P2(COS ,Sin ) P3(COS(- ),Sin(- ))
x P1
- O
P3
图1
|P2P3 |²=[COS -COS（- ）] ²+[Sin -Sin（- ）] ²
= COS² +COS² -2 COS COS + Sin² + Sin² + 2Sin Sin
注意： 1。公式中三角符号的顺序 CCSS
2。公式中角的顺序 3。公式中的运算符号
五. 作业 P40
3.(3) (4)(6)(8)
解：（1）原式=cos(80°-35°)=cos45°= （2）原式=cos(25°+35°)=cos60°=1/2 变式：sin25°sin35°- cos25°cos35°=？
三 . 练习 1. 不查表,求COS75°的值.
2. 已知sin = 3/5, ∈（ / 2，）, 求COS( /3- )的值.
C± =C C S S
±
练习1解答：
解: COS75°=COS（45°+30°）
= COS45°COS30°-sin45°sin30°
√2 √3 √2 1 2 2 22 √6 √2 4
练习2解答：
解：由 sin =3/5，∈（ /2，），得 COS = - √1-sin² = -√1-（3/5）²= - 4/5；
提问： COS（ /3 + /6 ）= COS / 3 +COS / 6 是否成立？
分析: 因为 COS（ / 3 + / 6 ）= COS /2 = 0
COS /3 +COS /6 = 1/2+√3/2 0 1/2+√3/2
所以COS（ /3+ /6 ） COS /3+COS /6
∵|P1P4| ²=|P2P3| ²
∴ 2 - 2 COS（ +）=2-2（ COS COS -Sin Sin ）
COS（ +）=COS COS –Sin Sin
4、公式延伸
在上式中，若将β替换成-β，则可得:
COS（ +（-）)=COS COS （-）-sin sin（-）
=2-2(COS COS -Sin Sin ）
在图2中，
|P1P4 | ²= [COS（ +）-1] ²+Sin ²（ +）
= COS ²（ +）+ 1 - 2 COS（ +） +Sin ²（ +） =2 - 2 COS（ +）
y
P4
+ O
x P1
P1(1,0) P4(COS(+ ),Sin( + ))
P2(x2,y2)
PP =
12
(x - x )2 + ( y - y )2 M1(x1,0)
12
1
2
O
P1(x1,y1)
N1(0,y1)
M2(x2,0) x
Q(x2,y1)
二、两角和与差的余弦公式
1、公式引入：
.已知OP为角wenku.baidu.com的终边，求单位圆上点P的坐标。
Y P
OX
P（COS ，SIN ）
2、COS（ ±） = COS ± COS
COS（ – ）=COS COS +Sin Sin
±
C± = C C S S
5、公式应用 例1 不查表，计算COS105°和 COS15° 解:COS105°= COS（45°+60°）
= COS45°COS60°-sin45°sin60°
√2 1 √2 √3 2 2 22
√2 √6 4
±
C± =C C S S
COS15°=COS（45°-30°) = COS45°COS30°+sin45°sin30°
√2 √3 √2 1 2 2 22 √6 + √2
4
例2：求下列各式的值
（1）cos80°cos35°+sin80°sin35° (2) cos25°cos35°-sin25°sin35°
直线P1N1与P2M2相交于点Q.
那么： P1Q= M1M2=| x2 － x1 |，QP2= N1N2=| y2 － y1 |
由勾股定理，可得： P1P22= P1Q2+ QP22
=| x2 － x1 |2+| y2 － y1 |2 =(x2 － x1)2+( y2 － y1 )2
y N2(0,y2)
一、新课引入
1、数轴上两点间距离公式是什么？ 数轴上两点间距离等于两点坐标差的绝对值
在平面直角坐标系中A（4，0）、B（2，0）、 C(0,-4)、D（0，9）AB、CD长度是多少？
AB=|4-2|=2 CD=|-4-9|=13 E（4，1）、F（2，1）、G(-1,-4)、H（-1，9） EF、GH长度是多少？