高三复习数学(圆锥曲线学生用书)

一．考情分析

高考分值圆锥曲线内容在高考卷中所占的分值一般为15分左右，约占全卷分数的10%

考查方式1．近几年高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容．以圆锥曲线为载体在知识

网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点．圆锥曲线的知识综合性强，在

解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容．计算量大，要求学生

有较高的计算水平和较强的计算能力．

2．以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与讨论圆锥曲线

的位置关系．解答题的题型设计主要有三类：一是圆锥曲线的有关元素计算．关系证

明或范围的确定；二是涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；三

是求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹．预测2012年高考的命题趋势是：将加强

对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，

教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应

用．有1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题．

二．知识回顾

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F1、F2 的距离之和为常数2a(2a>|F1F2|)的动点P 的轨迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2 叫椭圆的焦点．

当|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|时，P 的轨迹为椭圆；

当|PF1|＋PF2|＝2a<|F1F2|时，P 的轨迹不存在；

当|PF1| ＋|PF2| ＝2a ＝|F1F2| 时，P 的轨迹为

以F1、F2 为端点的线段

(2)第二定义：平面内到定点F 与定直线l(定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e(0

2．椭圆的方程与几何性质

1．双曲线的定义

(1)第一定义：当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|时，P 的轨迹为双曲线；

当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，P 的轨迹不存在；

当|| PF1| －| PF2|| ＝ 2 a ＝| F1F2| 时，P 的轨迹为以F1、F2 为端点的两条射线。

(2)第二定义：平面内到定点F 与定直线l(定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e(e>0)的点的轨迹为双曲线。

2．双曲线的标准方程与几何性质

1．抛物线的定义

平面上到定点的距离与到定直线 l (定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p >0)

标准方程

y 2＝2px y 2＝－2px x 2＝2py x 2＝－2py

图形

焦点

F ⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫p 2，0 F ⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫

－p 2，0 F ⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫0，p 2 F ⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫0，－p 2 准线 x ＝－p

2

x ＝p 2 y ＝－p 2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

x ∈R ，y ≥0

x ∈R ，y ≤0

对称轴 x 轴

y 轴

顶点

(0,0)

三．重点突破

典例解析

1．已知椭圆x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a >b >0)，过焦点F 1的弦AB 的长是2，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长

是 ( ) A ．2a B ．4a －2 C ．4a D ．4a ＋4

解析：△ABF 2的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a . 答案：C

2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为4

5，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为

( )

A ．9

B ．1

C ．1或9

D ．以上都不对 解析：由题意知b ＝3，又e ＝

a 2－

b 2

a 2

＝ 1－9a 2＝4

5

，得a ＝5. ∴c ＝a 2－b 2＝4，

∴焦点F 到长轴的一个端点的距离为1或9. 答案：C

3.已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10

5，则m 的值为________．

解析：若5>m ，则

5－m 5

＝10

5，∴m ＝3.

若5

＝105，∴m ＝25

3.

答案：3或

25

3

4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2

PF ＝0，tan ∠

PF 1F 2＝1

2，则此椭圆的离心率为________．

解析：如图，令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则n m ＝1

2

，∴m ＝2n . 又⎩⎪⎨⎪⎧

m ＋n ＝2a m 2＋n 2＝4c

2，∴e ＝c a ＝53. 答案：

5

3

学 习 心 得

5. (2011·徐州模拟)（1）已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1

(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且1PF ⊥2PF

.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.

(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的长轴的一个端点是A (2,0)．直线l 经过椭圆的中心O 且与椭圆相

交于B 、C

两点，AC ·BC

＝0，|OC －OB

|＝2|BC －BA |，则椭圆的方程为________________．

解析：（1）设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧

r 1＋r 2＝2a ，

r 21＋r 22

＝4c 2

， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2

，

∴S △PF 1F 2＝1

2

r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.

(2)由已知得a ＝2，又AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA

| 所以AC ⊥BC ，BC ＝2·AC ，而OB ＝OC ， 所以CO ＝CA ，即△COA 是等腰直角三角形， 又OA ＝2，于是可以求得C (1,1)或C (1，－1)， 代入椭圆方程可求得b 2

＝43，故椭圆的方程为x 24＋y 2

4

3

＝1.

[答案] (1)3 (2)x 24＋y 2

4

3

＝1

6.已知椭圆x 216＋y 2

4＝1的焦点为F 1、F 2，P 点椭圆上一点且

∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．

解：在△F 1PF 2中由余弦定理得

|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2

即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝48 ① 由椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8

∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64 ② ①－②得 3|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1||PF 2|＝163

∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝12×163×32＝43

3

.

7. 已知椭圆：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且

与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，若B 为线段CF 1的中点，若|k |≤

14

2

求椭圆离心率e