有限元第九讲 等参单元

•
从而可以计算应变矩阵：
N i x Bi 0 N i y 0 N i (i 1,2,3,4) y N i x
2、刚度矩阵积分式的坐标变换 • 对平面问题的四节点等参元，计算出应变矩阵后，单 元刚度矩阵由下式决定：
N i x N x i y N i N i x x J N i y N i y y
•
这样就得到一个事实上的映射，只要验证该映射把母单 元映射成实际单元，就是所需要的映射，实际单元上局 部坐标系就满足前面设定的要求。而事实上正是如此。
•
上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。 由于该几何变换式中采用了与位移插值相同的节点和参 数（插值函数），因此称为等参变换。而所有采用等参
从上式解出：
N i N i x 1 N J N i i y
x J x
y 坐标变换的雅可比矩阵 y
公共节点的位移在交界面上插值决定，因此该单元的
协调性得到满足。此外，该单元满足完备性条件，因 此单元是收敛的。
•
等参变换
x 20 xi y N i yi z i 1 z i
• 如果实际六面体单元的边/面是抛物线/面，那么上述等 参变换就是实际所需要的变换。否则，等参变换仅仅 是一种近似的变换。 • 三维等参单元的力学分析和数学分析原理和方法与平 面等参元相同。
k B DBhd
e T
e
•
由于[B]矩阵已是ξ ,η 的函数，上式积分应该在自然 坐标系下进行，或者说进行积分变量替换。由二维重 积分变量替换公式得到：
k 1 1 B DBh J dd
e 1 1
T
3、刚度矩阵的数值积分 • 由于等参单元刚度矩阵积分式中被积函数很难导出解 析表达式，因此等参单元的计算都采用数值积分求积
u N1u1 N 2 u2 N 3u3 N 4 u4
v N1v1 N 2 v2 N 3v3 N 4 v4
其中，形函数为：
1 N i (1 i )(1 i ) 4
i ,i 为i节点的局部坐标。
(i=1,2,3,4)

显然该位移模式关于ξ ,η 坐标是双线性位移模式，在 x，y坐标系下不是双线性位移模式。由于实际单元的 边界上有一个局部坐标为常数，因此位移沿单元边界 线性变化，能保证单元的协调性。
i 1 j 1 k 1
L
M
N
来自百度文库
沿不同的坐标方向可以取不同积分阶L,M,N，对应的坐标 位置（积分点）和权重分别按一维积分表选取。 • 对于平面四节点等参元，刚度矩阵积分通常在ξ ,η 方 向各采用2个积分点（2×2积分）：
k BTjk DBjk J jk w j wk h
平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然， 母单元的节点对应于不同的x，y坐标就得到不同的任意 四边形单元。
• 建立了局部坐标系或映射后，我们可以在ξ -η 平面上 的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 • 任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者
称为ξ -η 坐标系下的位移模式）可以参考矩形单元的 位移模式写为：
变换的单元称为等参单元。等参单元是一个单元家族， 目前在通用程序中广泛采用。
x N i xi
i 1 4
4
y N i yi
i 1
3、单元刚度矩阵计算 1）形函数导数的坐标变换 • 等参单元中形函数是局部坐标ξ ,η 的显函数，而计算 应变时需要形函数对x,y坐标的导数。根据等参变换式， ξ ,η 和 x,y之间有一定函数关系，由复合函数求导规 则有：
8 等参单元
一、概述 • 回顾前面的各种二、三维单元，这些单元受到两个方 面的限制：

第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精
度越高。因此在这一点上，矩形单元优于3节点三角形
单元，六面体单元优于四面体单元；

第二是单元几何上的限制，矩形和六面体（长方体） 单元要求单元的边（面）平行于坐标轴（面），因此 都不能模拟任意形状和方位的结构。此外，线性单元
e j 1 k 1
2
2
三、平面8节点曲边四边形等参元简介 • 上述构造4节点任意四边形等参单元的方法完全可以用 于构造更复杂的等参元。对于二维问题，一个精度更 高的单元是8节点曲边四边形单元，该单元的建立同样 需要等参变换，因而也是等参单元。该单元及其母单 元如图4-4所示。
8节点任意四边形等参元及其母单元
四、20节点三维等参元简介 • 三维结构有限元分析中采用高精度单元将具有问题的节 点、单元数目少，求解精度高的特点。而带有边中节点
的任意六面体单元是三维实体单元的首选，该单元必须
采用等参单元技术加以实施。
•
如图所示，单元每个边有3个节点，共20个节点。单元 上建立曲线自然坐标系 ,每个单元边界面上有一个 局部坐标值为常数（+1或-1）。因此，每个实际的曲面 六面体单元映射为 坐标系下边长为2的立方体单元 （母单元）。
下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。
•
对于二、三维高斯积分，有：
I
I
1
1
1 1

1
1
f ( , )dd f (i , j ) wi w j
i 1 j 1
1
L
M
1 1 1

f ( , , )ddd f (i , j , k ) wi w j wk
五、等参变换的条件 • 等参变换要保证母单元与实际单元之间形成1-1对应的 映射，数学上的条件是变换的Jacobi行列式大于零。要
保证这个条件，单元的几何必须满足一定要求，主要是： ①单元形状不能过度畸变；②边中节点不能过于偏离中 间。
六、等参单元评价 1) 等参单元形状、方位任意，容易构造高阶单元，适应 性好，精度高。
需单元少，在结构应力分析中应用最广泛。
• 单元的形函数可以看作是平面8节点曲边四边形等参元 形函数在三维空间的推广： 8个角节点 (i 1,2,8) :
1 N i (1 i )(1 i )(1 i )( i i i 2) 8
对于i 0的边点（i 9,11,13,15)
•
位移模式插值公式
u 20 ui v N i vi w i 1 w i
• 20节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标是完 全二次多项式，因此该单元称为二次等参元，是典 型的高精度单元。 • 根据形函数性质，相邻单元在交界面上的位移仅仅由
1 N i (1 2 )(1 i )(1 i ) 4
对于i 0的边点（i 10,12,14,16)
1 N i (1 2 )(1 i )(1 i ) 4
对于 i 0的边点（i 17,18,19,20)
1 N i (1 2 )(1 i )(1 i ) 4
标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变化，单元 在公共边界上不满足协调性。
• 因此须建立一种新的局部坐标系ξ -η （如图），使 得4条边上有一个局部坐标为常数（±1），显然，该 局部坐标系随单元形状变化，两组坐标线一般不正交。 单元内，所有点的坐标ξ 、η 皆在-1与+1之间。所以 该坐标系可称为单元的自然坐标系。 • ξ -η 平面内，单元是一个边长为2的正方形。
都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。
•
解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元 几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意 六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲
边四边形和曲面六面体高精度单元。
• 任意四边形和任意六面体单元的位移模式、形函数的 构造和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的 方法，必须引入所谓的等参变换，采用相同的插值函 数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。
2) 等参单元列式具有统一的形式，规律性强，采用数值
积分计算，程序处理方便。 3) 由于等参单元涉及单元几何形状的变换，对实际单元的 形态有一定要求。单元形态好坏影响计算结果的精度。 单元形态应满足：①单元各方向的尺寸尽量接近；②单 元边界不能过于曲折，不能有拐点和折点，尽量接近直 线或抛物线；③边之间夹角接近直角。 4) 高阶等参元精度高，描述复杂边界和形状的能力强，所
• 该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次式的不完 全三次多项式。插值函数可以用形函数性质直接构造。 对应图中局部节点编号，8个节点形函数为：
1 N i (1 i )(1 i )( i i 1)(i 1,2,3,4) 4 1 N i (1 2 )(1 i )(i 5,6) 2 1 N i (1 2 )(1 i )( i 7,8) 2
2、坐标变换关系式 • 为了得到上述映射的数学表达式，在母单元上引入x， y坐标插值的思想：母单元上任意一点在实际单元中对 应点的x，y坐标由节点的x，y坐标插值得到，并采用 与位移插值相同的插值函数。从而得到一个数学变换
式：
x N i xi
i 1 4
4
y N i yi
i 1
1 N i (1 i )(1 i ) (i=1,2,3,4) 4
这种单元称为等参单元。
• 等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具 有重要意义。
二、平面四节点等参元 1、局部坐标系与位移模式 • 下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。 • 建立位移模式时的新问题：如果直接用x，y坐标系下 的双线性位移模式，由于任意四边形单元的边界与坐
将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。
容易验证，上述形函数满足 形函数性质。
•
根据上述形函数插值得到的位移在单元边界上呈二次 抛物线变化，由边界上三个节点位移唯一确定，所以， 边界上满足协调性。
• 相应等参变换把母单元的4条直线边界映射为实际单元 中的4条抛物线边界。即如果实际单元的边是抛物线， 则等参变换是实际单元和母单元之间的精确变换。 • 8节点平面等参元刚度矩阵计算方法及其数学变换原理 与前面4节点等参单元相同。 • 单元等效节点力积分的计算，在单元上和边界上也是 采用高斯数值积分。
分的近似值，考虑到减少计算点数，多采用高斯数值
积分。
•
一维积分高斯求积公式：
I f ( x)dx f ( xi ) wi
1 1 i 1 N
xi为积分点，wi为权重，N为积分点数目（积分阶）。 分别按积分表选取。
•
关于高斯积分有如下结论： 采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以
• 该局部坐标系在x-y平面上的任意四边形单元与ξ -η 平 面上的正方形单元之间形成了1-1对应的映射。正方形 的4个顶点对应任意四边形单元的四个节点； 4条边对 应任意四边形单元的4条边；正方形内任一点p(ξ ,η ) 对应于任意四边形内一点p(x,y)。 • 称ξ -η 平面内的正方形单元为基本单元或母单元。x-y