数学物理方程课程

《数学物理方程》课程
教学大纲
课程代码：B0110040
课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics
课程类型：学科基础课
学时学分：64学时/4学分
适用专业：地球物理学
开课部门：基础课教学部
一、课程的地位、目的和任务
课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。

数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。

对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。

期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。

课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。

掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。

使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。

二、课程与相关课程的联系与分工
学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。

这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。

本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。

且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。

三、教学内容与基本要求
第一章绪论
1.教学内容
第一节偏微分方程的基本概念
第二节弦振动方程及定解条件
第三节热传导方程及定解条件
第四节拉普拉斯方程及定解条件
第五节二阶线性偏微分方程的分类
第六节线性算子
2.重点难点
重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题
难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间
3.基本要求
（1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。

了解三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。

（2）掌握微分算子的运算规律，理解线性问题的叠加原理
（3）了解二阶线性方程的特征理论
（4）掌握两个变量二阶线性偏微分方程分类方法及化简方法
（5）掌握三类方程的标准形式及其化简过程，会三类方程的比较，并能通过标准形式求得某些方程的通解。

第二章分离变量法
1.教学内容
第一节有界弦的自由振动。

第二节有界长杆的热传导问题。

第三节二维拉普拉斯方程的边值问题。

第四节非齐次方程得求解问题。

第五节具有非齐次边界条件的问题。

第六节本征值与本征函数。

2.重点难点
重点：分离变量的思路和方法
难点：将具有非齐次边界条件的定解问题化为具有齐次边界条件的定解问题
3.基本要求
（1）熟练掌握分离变量的思路和方法。

（2）会用分离变量求解弦振动问题。

（3）会用分离变量法求解有界区域的热传导问题，如拉普拉斯方程边值问题和梁振动问题。

（4）了解有界区域的非齐次问题。

会用本征函数展开法求解非齐次方程。

（5）了解定解问题的适定性：解的存在性、唯一性、稳定性。

第三章特征线积分法
1.教学内容
第一节达朗贝尔公式
第二节传播波
2.重点难点
重点：达朗贝尔公式
难点：特征线法的应用
3.基本要求
（1）了解特征线积分法的原理和步骤。

（2）掌握柯西问题的求解过程并给出解的表达式—达朗贝尔公式。

（3）掌握特征线法的应用。

第四章格林函数法
1.教学内容
第一节格林公式及其应用
第二节格林函数
第三节格林函数的应用
第四节试探法、泊松方程求解
2.重点难点
重点：求解偏微分方程有界区域的格林函数解法
难点：格林函数的应用
3.基本要求
（1）了解格林函数及其性质
（2）会用格林函数法求解拉普拉斯算子及亥姆霍兹算子的狄利克莱问题
（3）了解试探法
第五章积分变换法
1.教学内容
第一节傅里叶积分变换及性质
第二节拉普拉斯积分变换及性质
第三节卷积及其傅里叶变换
第四节卷积及其拉普拉斯变换
2.重点难点
重点：傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换及用其求解无界区域的定解问题的方法、步骤。

难点：用积分变换求解定解问题的一般步骤。

3.基本要求
（1）了解Fourier变换及Laplace变换的定义、存在条件及函数正、反变换的求法。

（2）重点掌握用Fourier变换法求解无界域中偏微分方程的定解问题和用Laplace 变换法求解常微分方程及方程组的初值问题
（3）了解半无限区域的定解问题。

（4）学会正确使用积分变换表。

第六章贝塞尔函数、勒让德多项式
1.教学内容
第一节贝塞尔方程及贝塞尔函数
第二节贝塞尔函数的递推公式
第三节按贝塞尔函数展开成为级数
第四节勒让德方程及其求解
第五节勒让德多项式
第六节勒让德多项式的递推公式及其展开成级数
2.重点难点
重点：贝塞尔函数展开成为级数、勒让德多项式的展开成级数难点：贝塞尔函数的递推公式、勒让德多项式的递推公式
3.基本要求
（1）了解贝塞尔方程及勒让德方程
（2）了解贝塞尔函数及勒让德多项式的递推公式的推导过程四、课程学时分配（以章节为单位）
1.推荐教材：《数学物理方程》，作者：华中科技大学数学系，出版社：高等教育出版社，出版年月：2009年8月，版次；第二版
2.主要教学参考书：《数学物理方程》，作者：谢鸿政杨枫林，出版社：科学出版社，出版年月：2007年6月，版次。

第一版
参考书：姜礼尚等编，《数学物理方程讲义》，高等教育出版社。

谷超豪等编，《数学物理方程》，高等教育出版社。

上海交大数学系编，《特殊函数与数学物理方程》，上海交通大学出版社。

六、教学方法与考核方式
教学方法与教学手段：
（1）根据地球物理学专业的特殊要求制定出相应的教学大纲、教学计划和教学内容。

（2）针对本课程的性质，主要采取以讲授为主的授课方式。

（3）加强课后对学生的辅导，并鼓励学生利用图书馆教学资源，自主学习相关辅助资料，以巩固和加深对课堂上所学内容的理解。

（4）改革考核成绩的方法。

根据学生平时学习成绩（作业、提问等）和期末考试的成绩综合评定学生最终的成绩。

考核的内容是以测评学生应用所学知识来分析，解决实际问题能力的应用性题目为主。

考核方式：
1．根据学生平时学习成绩（作业、提问等，占总成绩的30%）、期中成绩（占总成绩的20%）和期末考试的成绩（占总成绩的50%）。

2．考核的内容是以测评学生应用所学知识来分析，解决实际问题能力的应用性题目为主。

在考题类型上采取客观性试题（填空、选择填空等）和主观性试题（证明、
计算题等）相结合，这样，既拓宽了覆盖面，又能较全面地测量高层次的知识能力。

3．在考题份量上采取80%的测试三基内容的题和20%的有相当难度的题相结合，这样，既检验了广大同学是否掌握了大纲要求掌握的内容，又可使少数冒尖学生的能力得到充分发挥以达到因材施教的目的。

修订人：张梅东修订日期：2011-3-28
审核人：王福昌审核日期：2011-4-18。