徐州一中2014届高三数学最后冲刺应用题50练(61页)

B 1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB
＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．
（1）按下列要求建立函数关系式： （i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10
cos cos AQ OA θθ
=
=, 故 10
cos OB θ
=
，又OP ＝1010tan θ-， 所以1010
1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=
++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=
+04πθ⎛
⎫≤≤ ⎪⎝
⎭
②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以
=
所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ （Ⅱ）选择函数模型①，()()()
'
22
10cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ
-----=
= 令'
y =0 得sin 1
2
θ=
，因为04πθ<<，所以θ=6π，
当0,
6πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=
6
π
时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域
内且距离AB 边
3
km 处。

2. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高
度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ （1）
tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H
AB α=，tan h BD β
=。

AD —AB=DB ，故得
tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24
124tan tan 1.24 1.20
h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h
d AD DB d αβ-=
===， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d
αβαβαβ--
--====
--+⋅+-+⋅+
()H H h d d
-+≥，（
当且仅当d =取等号）
故当d =tan()αβ-最大。

因为02
π
βα<<<
，则02
π
αβ<-<
，所以当d =α-β最大。

故所求的d
是。

3. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分
所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P
4. 某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3
B π
∠=
的固定装置，AB
上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当
CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.
（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？
解：（1）在BCD ∆中
,,3
BCD B BD l π
θ∠=∠=
=
sin(120)sin l BC θθ︒-∴=
，2sin CD θ
= ………………4分
sin(120)
sin l AC AB BC l θθ
︒-∴=-=-
，
则sin(120)333sin 2sin AC CD l l t v v v v v θθθ
︒-=
+=-+
，2()33ππθ<< … ……8分 （2）t
=
(16l v
+3cos 6sin l v θ
θ
-=+ ………………10分 令3cos ()sin m θθθ-=
，则'
213cos ()sin m θθθ
-= ………………12分
令'
()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33
ππθ∈，
则0(,)3πθθ∈时，'
()0m θ<；02(,
)3
πθθ∈时'()0m θ> 1cos 3θ∴=
时()m θ
有最小值
4
8
BC l =. ………………14分
答：当4
8
BC l =时货物运行时间最短. ………………15分
D
C
5. 如图，实线部分DE ，DF ，EF 是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分
EF 是以AB 为直径的半圆上的一段弧，点O 为圆心，△ABD 是以AB 为斜边的等腰直
角三角形，其中AB=2千米，204EOA FOB x x π⎛
⎫
∠=∠=<<
⎪⎝
⎭
.若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE ，DF 的长度的比例系数为2，与路线EF 的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”y 是游客游览所有路线“留恋度”的和. （I ）试将y 表示为x 的函数；
（II ）试确定当x 取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？
6. 如图，海上有A B ，两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，
现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设A C x =km ． （1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；
（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求
BD 的最大值．
解：（1）在OAC ∆中，120AOC ∠=︒，AC x =，
由余弦定理得，2222cos120OA OC OA OC x +-⋅⋅︒=，
又OC BO =，所以2222cos120OA OB OA OB x +-⋅⋅︒= ①， ………………2分 在OAB ∆中，10AB =，60AOB ∠=︒
由余弦定理得，222cos60100OA OB OA OB +-⋅⋅︒= ②， ………………4分
①+②得222
1002
x OA OB ++=，
①-②得2
4cos60100OA OB x ⋅⋅︒=-，即21002
x OA OB -⋅=， ………………6分
又22
2OA OB OA OB +⋅≥，所以22210010022
x x ⨯+-≥，即2300x ≤， 又2100
02
x OA OB -⋅=
＞，即2100x ＞，
所以10x ＜≤； ………………………………8分 （2）易知OAB OAC S S ∆∆=，
故122sin 602ABC OAB S S OA OB ∆∆==⋅⋅⋅︒=， ………………………10分
又1
ABC S AC BD
∆=
⋅⋅，设()BD f x =， 所以()(10f x x
∈，， ……………………………12分 又2100
())f x x
'=+，
……………………………14分 则(
)f x 在(10，上是增函数，
所以()f x
的最大值为10f =，即BD 的最大值为10． ……………………
16分 （利用单调性定义证明()f x 在(10，上是增函数，同样给满分；如果直接说出()f x
(10，上是增函数，但未给出证明，扣2分．）
(第18题图)
7. 如图，在海岸线一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A 、
B 两个报名点，满足A 、B 、
C 中任意两点间的距离为10千米。

公司拟按以下思路运作：先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点
D 处（点D 异于A 、B 两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛。

据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2
元，游轮每千米耗费12元。

设∠α=CDA ，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元。

⑴写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？ 解: (1)由题在ACD ∆中，2,,10,3
33CAD ADC AC ACD π
π
π
α∠=∠=
=∠=
-．
由
正
弦
定
理
知
10
2sin sin sin 33CD AD ππαα==
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
得
210sin 3sin
CD AD πα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==
……………3分
48121248080S AD BD CD CD AD ∴=++=-+=
26033x π
π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭
…………………………………………………………
…………7分
(2)'S =，令'
0S =，得1cos 3α=
………………………………10分 当1cos 3α>时，'0S <；当1cos 3α<时，'0S >，∴当1
cos 3
α=时S 取得最小
值………………12分
此时sin 5AD α===+
， ∴中转站距A
千米时，运输成本S 最小…………………………14分
8. 如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港
口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中3
1tan =α，13
2cos =
β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 3
7
>
）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．
⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ；
⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．
⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． 设点()00,y x A ， 则a a a x 313
313sin 130=⋅
==β，a a a y 213
213cos 130=⋅
==β，
即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x m
a a
y --=32．
上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(
a
m am
a m am C --
)3
7
(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴
⑵328)3149492(314)
37(949)37()(2
22a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= 当且仅当)
3
7(9493
7
2a m a a m -=
-时，即a m 314
=时取等号，
答：S 关于m 的函数关系式)3
7
(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=
⋅=∴ ⑵ 应征调a m 3
14
=为何值处的船只，补给最适宜．
9. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距
离分别为
4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．
（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养
殖区的最小面积．
【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，
对菱形ABCD 的边长“算两次”得
()
36
sin sin 60αα=-
，解得
tan α， 所以，养殖区的面积
()()2
2
2
3
1sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=；
（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，
()120 180
BAD θ∠=∈，，则AB 与2
l
所成夹角为
()
180θα-+，
对菱形ABCD 的边长“算两次”得
()
36
sin sin 180αθα=-+，解得
sin tan 2cos θ
αθ=
+，
所以，养殖区的面积
()2
3
sin sin S θα=⋅()2
191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=
由()()
2
54cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得
4cos 5θ=-， 1l
2l D A B
C 1l 2l
D A B C
（图甲） （图乙）
经检验得，当
4
cosθ=-
时，养殖区的面积
2
min
=27(m)
S．
答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为2
27m．
10. 如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件
ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米. (I)按下列要求写出函数关系式：
①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式； ②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式. (II)求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．
解：如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标
系，过点C 作AB CE ⊥于E ，
(I)①∵2CD x =，∴(01)OE x x =<<
，CE =
∴11()(2222
y AB CD CE x =+⋅=+
(11)x x =+<< …………………
4分
②∵(02
BOC θθπ∠=<<，∴cos ,sin OE CE θθ==，
∴11()(22cos )sin (1cos )sin y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ
<<， ……8分
(说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分) (II)(方法1)
∴y =
=
令4
3
221t x x x =--++，
则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-， (10)
分
令'0t =，12
x =，1x =-(舍). ………………………………………12分
∴当102
x <<时，'0t >，∴函数在(0，12)上单调递增，
当112
x <<时，'0t <，∴函数在(12，1)上单调递减，……………14分
所以当12
x =时，t 有最大值2716，max
y =
答：梯形部件ABCD
平方米．
(方法
2)2
1'(1)2y x =+⨯=， …………10分 令'0y =，∴2
210x x +-=，(21)(1)0x x -+=，∴12
x =，1x =-(舍).
……………………………………………………………12分
∴当102
x <<时，'0y >，∴函数在(0，12)上单调递增，
当1
12
x <<时，'0y <，∴函数在(12，1)上单调递减，………………14分
所以当12
x =时， max y = .………………………………16分
答：梯形部件ABCD 平方米．
(方法3)∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅
22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-， (10)
分
令'0y =，得1cos 2θ=，即3
θπ=，cos 1θ=-(舍)， …………………12分
∴当03θπ<<时， '0y >，∴函数在(0,)3π上单调递增，
当
32
θππ
<<时，'0y <，∴函数在(,)32ππ上单调递减 ，……………14分
所以当3
θπ=时，max y = .……………………………………16分
答：梯形部件ABCD 面积的最大值为
4
3
3平方米．
11. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
803
π
立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用
为y 千元．
（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．
由题意可知2
3480()33r l r l r πππ+
=≥2，即2804
233
l r r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为22
28042346()433
y rl r c r r r c r ππππ=⨯+⨯=-+，
即2216084y r r c r
π
ππ=-+，定义域为{02}r r <≤
（2）2160168y r rc r πππ'=-
-+，令0y '=，得r =
令2,r =
=即 4.5c =，
（1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；
（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，
此时当r =y 有最小值
12. 如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中
,B MA C NA ∈∈．
(1)若BC l =,求养殖场面积最大值；
(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ， 使BD DC l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．
(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>
2222cos222cos2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，
22
222cos 24sin l l xy θθ
≤=-，
222
11cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ
=≤⋅⋅=， 所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ
，当且仅当x y =时取到．
(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ，
由2DB DC l a +==，a =1
2
l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，
1
sin 22
ABC S mn θ∆=
为定值． 只需DBC ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶
点． BCD b S ∆==面积的最大值为122c b c ⋅⋅=
因此,四边形ACDB 面积的最大值为1sin 22m n c θ⋅⋅+
13. 由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单
位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．
（Ⅰ）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；
(Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运
算（如1233x y ≤-≤类比为2
313x y
≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的
最大值．
（
图1）
（图2）
解(Ⅰ)503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪
=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩
21
()(4)6(012)16
Q t t t =--+≤≤．
21
()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+ （36)t <≤
'23
(()())[(3)33]16
P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增
当t =6时，max [()()]P t Q t =34.5． ∴6月份销售额最大为34500元 ．
(Ⅱ) ⎩
⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x ，z =x —5y ．
令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨
⎧-=-=+3
2
51B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ， ∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．
(Ⅲ)类比到乘法有已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤7111
5y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A ·(y x )B
⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3
251B A B A B A ．∴251)(12112
≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴253431211≤≤z ，则(z )max = 25
343
．
14. 已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3
克该种矿石的价值为54000元。

⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式；
⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率； ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。

（注：价值损失的百分率100%-=⨯原有价值现有价值
原有价值
；在切割过程中的重量损耗
忽略不计）
解⑴依题意设2(0)y k ωω=>，又当3ω=时，54000y =，∴6000k =， 故26000(0)y ωω=>。

⑵设这块矿石的重量为a 克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值
为22136000()6000()44a a +，价值损失为222
136000(6000()6000())44
a a a -+，
价值损失的百分率为222213
6000[6000()6000()]
44100%37.5%6000a a a a
-+⨯=。

⑶解法1：若把一块该种矿石按重量比为:m n 切割成两块，价值损失的百分率应为
222
21[()()]()
m n mn m n m n m n -+=+++，又2
222(
)
212()()2m n mn m n m n +⋅≤=++，当且仅当m n =时取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。

解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为:1x ，则价值损失的百分率为
222121[()()]1121x x x x x x -+=++++，又0x >，∴2
12x x +≥，
故2
221
21222
x x x x x x ≤=+++，等号当且仅当1x =时成立。

答：⑴函数关系式2
6000(0)y ωω=>； ⑵价值损失的百分率为37.5%； ⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。

15. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设
施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线
2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，
设(,())P t f t
（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （2）若在1
2
t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值.
(2) 2422222
321(1)(31)
()44a t at at at S t at at +-+-'==
0,0a t >>,由()0S t '=,
得2310,at t -==
得
当2
310,at t ->>
即时, ()0S t '>
当2
310,0at t -<<<
即时, ()0S t '<
,()t S t ∴=
当有最小值已知在12t =处, ()S t 取得最小值,故
有
14
,2
3a =∴=
x
x
故当
41
,
32
a t
==时,
2
min
41
(1)
12
34
()()
23
4
32
S t S
+⋅
===
⋅⋅
16. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m 人
(60<m<500，且m 为10的整数倍)，每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费． （Ⅰ）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；
（Ⅱ）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人?
（1）解：设公司裁员人数为x,获得的经济效益为y 元， 则由题意得当()()1
022100205
x m y m x x x <≤
⨯=-+-时。

()()21
2210022054
m x m y m x x x ≤≤⨯=-+-当时，
① ②
（2）由①得对称轴 600,x m =->
当060100m <-≤，即60
10m <≤时，60x m =-时，y 取最大值
2
180360y m m =++，当100500m <<
时，25x m =时，y 取最大值221615225y m m =+ 由②得对称轴30-=m x ，1
60500,302
m m m ∴-><<
233
14022
m x y y m m
∴==+当时，取得最大值()2
2231601000.56036000.56054000.5120540018000
m y y m m m ≤-=+-=+->⨯-=>当<时，
2323100500434312120,60m 5005050m y y m m m m y <<⎛⎫
-=
-=-><< ⎪⎝⎭
当时，即当时，最大 即当公司应裁员数为m 21，即原有人数的4
1
时，获得的经济效益最大。

()()2
22260200,05
,
212230200,,52x m x m x m x N y x m x m m x m x N
⎧⎡⎤---+<≤∈⎣⎦⎪⎪∴=⎨⎪⎡⎤---+<≤∈⎣
⎦⎪⎩且
17. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计
划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA
=.所以π4
ABC ∠=
由题意知π04
α≤≤
. ……………………2分 所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为
2sin 22)cos y PB PA α
αα
-=+==. ……………………6分
故所求函数关系式为(
)
2sin π0cos 4
y ααα
-=≤≤. ……………………7分
（2）由（1）
得22s i n 1
cos y αα
-
'=，令0y '=即1sin 2
α=
，又π04α≤≤
，从而π6α=
. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ
64
α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=
时，2sin 4cos y α
α
-=+取得最小值， ………………… 13分
此时π
6
OP ==km ）
，即点P 在OA 上距O
处. 【答】变电站建于距O
处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分
O
B
C
A
P
18. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，
且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之
间的钢管和其中一个座位的总费用为2k ⎤
+⎥⎣⎦
元。

假设座位等距离分布，
且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =
即k n x
=，
21082k k y k
k k x x x ⎤⎛=++=+ ⎥ ⎣⎦⎝⎭
， 定义域0,2k k x x Z x ⎧⎫
<≤
∈⎨⎬⎩⎭
； ……………………6分 （2）当100k =
时，令100010020y x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
1000()f x x =
+
21000()f x x '=-+3
2
2
10005120x
x -+=
=，
∴2
33
2
12512525646416x x ⎛⎫
=
⇒== ⎪⎝⎭
，（10分） 当25(0,
)16x ∈时，()0f x '<，即()f x 在25
(0,)16x ∈上单调减， 当25(,50)16x ∈时，()0f x '>，即()f x 在25
(,50)16
x ∈上单调增，
min y 在2516
x =时取到，此时座位个数为100642516
=个。

……………………15分
19. 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆
弧，AB 、DC 分别与圆弧BC 相切于点B 、C 两点，//,//EF AB GH CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ，
（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M 、N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P ，设()CMN rad θ∠=，试用θ表示木棒MN 的长度()f
θ；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度的最大值。

(1)如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作TQ 的垂线，垂足为W ． 在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，θ∠=SNW ， 所以2
cos θ
=
NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ MN ， 在Rt △QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ， 所以1cos θ=
QS ，1
2cos θ
-=-QT QS ， ①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS ，
在R ∆t STM 中，sin sin θθ
-=
=TS QT QS
MS ， 因此=+MN NS MS sin θ
-=+QT QS
NS .
②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS QT ，
在R ∆t STM 中，sin sin θθ
-=
=TS QS QT
MS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ
-=+QT QS
NS .
()θ=f MN sin θ-=+
QT QS NS 221
()cos sin sin cos θθθθ
=+- 2(sin cos )1(0)sin cos 2
θθθθθ+-π=<<．………………………………………………………8分
（2）设sin cos (1t t θθ+=<，则21sin cos 2
t θθ-=，
因此242()()1t f g t t θ-==-．因为222
4(1)
()(1)
t t g t t -+'=--，又1t <()0g t '<恒成立，
因此函数2
42
()1
t g t t -=-在(12]t ∈是减函数，所以min ()2g t g ==，
即min
2MN =．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．
……………………………………………………16分
20.如图是一块长方形区域ABCD，AD＝2（km），AB＝1（km）．在边AD的中点O处，
有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为π
4
，设∠AOE＝α（0≤α≤
3π
4
），探
照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜π
2
时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤π
4
时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边
上有一点G，且∠AOG＝π
6
，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
19．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤π
4
时，
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE＝tanα，FH＝
π
tan()
4
α
-，…2分
∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF
＝
11π
1tan tan()
224
αα
---．…………4分
②当π
4
＜α＜
π
2
时，
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH＝
1
tanα
，FH＝
1
3π
tan()
4
α
-
，…6分
∴EF＝
11
3π
tan tan()
4
αα
+
-
．
∴S＝S△OEF＝111
3π
2tan tan()
4
αα
⎛⎫
⎪
+
⎪
⎪
-
⎝⎭
．
E
D A
（第19题）
O A
D图②
G
E
D A
O 图①
综上所述，
11ππ
1tan tan(),(0),
2244
111ππ
,().
3π
2tan42
tan()
4
S
ααα
α
αα
⎧
---
⎪
⎪
⎪⎛⎫
=⎨
⎪
⎪+<<
⎪
⎪ ⎪
-
⎪⎝⎭
⎩
≤≤
…………8分
（2）当0≤α≤π
4
时，S＝
11π
1tan tan()
224
αα
---，
即S
12
2(1tan)
21tan
α
α
=-++
+
．………………10分
∵0≤α≤π
4
，∴0≤tanα≤1．即1≤1＋tanα≤2．
∴
2
1tan
1tan
α
α
++
+
≥
∴S≤2
当tanα
1时，S取得最大值为2
………………12分
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×3π
4
＝
3π
2
．
其中点G被照到时，共转了2×π
6
＝
π
3
．………………14分
则“一个来回”中，点G被照到的时间为
π
3
92
3π
2
⨯=（分钟）．……16分
21. 某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为m 2，通过
金属杆321,,,CA CA CA BC 支撑在地面B 处（BC 垂直于水平面），321,,A A A 是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面m 10，设金属杆321,,CA CA CA 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ。

（圆环及金属杆均不计粗细）
（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆321,,,CA CA CA BC 的总长最短？
（2）为美观与安全，在圆环上设置()4,,,21≥n A A A n 个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆n CA CA CA BC ,,,,21 的总长最短，对比（1）中C 点位置，此时
C 点将会上移还是下移，请说明理由。

解：（Ⅰ）设O 为圆环的圆心，依题意，∠CA 1O=∠CA 2O=∠CA 3O=θ，
CA 1=CA 2=CA 3=
2
cos θ
，CO=2tan θ， 设金属杆总长为ym ，则
6102tan cos y θθ=
+-=2(3sin )10cos θθ-+，（02πθ<<） 22(3sin 1)'cos y θθ-=，
当1sin 3θ<时，'0y <；当1
sin 3θ>时，'0y >，
∴当1
sin 3
θ=时，函数有极小值，也是最小值。

……………………………7分
（Ⅱ）依题意，2102tan cos n y θθ=
+-=2(sin )
10cos n θθ
-+， 22(sin 1)'cos n y θθ-=，
当1sin n θ<时，'0y <；当1
sin n
θ>时，'0y >，
∴当1
sin n θ=时，函数有极小值，也是最小值。

………………………………13分 当n ≥4时，11
3
n <，所以C 点应上移。

………………………………15分
22. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验
知道，该厂生产这种仪器，次品率T 与日产量x （件）之间大体满足关系：1
(1,,196)962(,)3
x c x N c x
P x c x N ⎧≤≤∈≤<⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩
（注：次品率P =次品数生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余
为合格品．）
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2
A
元，故厂方希望定出合适的日产量，
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量x 为多少时，可获得最大利润？
（1）当x c >时，23P =，所以每天的盈利额120332A T xA x =-⋅=． …………………… 2分
当1x c ≤≤时，196P x =
-，所以每天生产的合格仪器有1196x x ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭
件，次品有196x x ⎛⎫
⎪-⎝⎭
件
，
故
每
天
的
盈
利
额
()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，……………4分
综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：
()3, 1,2960, x
x A x c x N T x x c
⎧⎡⎤-≤≤∈⎪⎢⎥=-⎨⎢⎥⎣⎦
⎪
>⎩． ………………………………………………………6分 （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0；
当
1x c
≤≤时，
()3296
x T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，因为
()'
22
3(96
)3144
11(96)296x x T A A x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭
， …8分 令'0T >，得184x ≤<或108x >,因为c ＜96，故[)1,84x ∈时，()T x 为增函数. 令
'0
T <，得84x <<，故
()
84,96x ∈时，
()
T x 为减函
数. ……………………………………10分 所以，当8496c ≤<时，max 147
2
T A =（等号当且仅当84x =时成立）
， ………………………12分
当184c ≤<时， 2max
18921922c c T A
c ⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭
（等号当且仅当x c =时取得）， ……………14分 综上，若8496c ≤<，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若184c ≤<，则当日产量为c
时，可获得最大利润．………………………………………………………………………………16分
23. 如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB 的圆心角为2π
3
，半烃OA 为1 km.
为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B
的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段BD 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.
(1) 用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 当θ为何值时，观光道路最长？
解：(1) 在△OCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠COD ＝OD sin ∠DCO ＝CO
sin ∠CDO
.(3分)
又CD ∥AO ，CO ＝1，∠AOC ＝θ，
所以CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝cos θ＋13sin θ，OD ＝2
3
sin θ.(6分) 因为OD ＜OB ，所以sin θ＜32，所以0＜θ＜π
3
.
所以CD ＝cos θ＋1
3
sin θ，θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π3.(8分) (2) 设道路长度为L (θ)，
则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长＝1－23sin θ＋cos θ＋1
3sin θ＋θ
＝cos θ－1
3
sin θ＋θ＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(11分) L ′(θ)＝－sin θ－
33
cos θ＋1，由L ′(θ)＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝3
2. 又θ∈(0，π3)，所以θ＝π
6
.(14分)
列表
所以当θ＝π6时，L (θ)达到最大值，即当θ＝π
6时，观光道路最长．(16分)
24. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行
到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度
为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝3
5
.
(1)求索道AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝3
5
，
所以sin A ＝513，sin C ＝4
5，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin
C ＝513×35＋1213×45＝63
65
.
由正弦定理
AB sin C ＝AC sin B ，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365
×4
5
＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12
13＝200(37t 2－70t ＋50)．
因为0≤t ≤1 040
130
，即0≤t ≤8，
故当t ＝35
37(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理
BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365
×5
13
＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625
14，
所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在
⎣⎡⎦⎤1 25043
，62514(单位：m/min)范围内．
25. 如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点
A 、
B 在直径上，点
C 、
D 在圆周上.
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
【解析】本题主要考查建立数学模型的能力，同时考查利用所学知识（本题主要应用导数、基本不等式等知识求最值）分析和解决实际问题的能力． （1）（方法一）连结OC ．
设BC x =，矩形ABCD 的面积为S ．
则AB =030x <<．………………………………………2分
所以22
2(900)900S x x ==≤+-=． ………4分
当且仅当22900x x =-，即x =时，S 取最大值为2
900cm ．
答：取BC 为时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2
900cm ．……6分
（方法二）连结OC ．设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为S ． 则30sin ,30cos BC OB θθ==，其中02
π
θ<<
．………………………2分
所以2900sin 2S AB BC OB BC θ===．…………………………………4分
所以当sin 21θ=，即4
π
θ=
时，S 取最大值为2
900cm ，此时BC =
答：取BC 为时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2
900cm ．……………6分
（2）（方法一）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V ．
由2AB r π==，得r π
=
，
所以2
31
(900)V r h x x ππ
==
-，其中030x <<．……………………………10分
由21
(9003)0V x π
'=
-=，得x =，
因此31
(900)V x x π
=
-在上是增函数，在上是减函数．………12分
所以当x =时，V
答：取BC 为3……14分
（方法二）连结OC ．设BOC θ∠=，圆柱底面半径为r ，高为h ，体积为V 则圆柱的底面半径为30cos r θ
π
=
，高30sin h θ=，其中02
π
θ<<
．
所以2
2327000
27000
sin cos (sin sin )V r h πθθθθπ
π
==
=
-………………10分
设sin t θ=，则327000
()V t t π
=
-．由227000
(13)0V t π
'=
-=，得t =
因此327000
()V t t π
=
-在(0,
3上是增函数，在(,1)3
是减函数…………12分
所以当3t =
时，即sin 3θ=BC =V 的最大值为3
cm π
答：取BC 为3……14分
T
Q
P
N M
S
R
甲
乙
26. 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P
和圆Q 的
半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．
【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =
RT SH ⋅2
1
． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里，
RT 与圆Q 只能相切或相离； ……………………4分 RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，
当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)
分
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有
（甲）
（乙）
()
11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222
ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．
……………………8分
令θθθcos sin sin +=y ，则
)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………
… 11分
若0='y ，1πcos 23θθ==，，
又
()
π
03θ∈，时，0>'y ，
()
ππ
32θ∈，时，
0<'y ， …………………14分
函数θθθcos sin sin +=y 在π3
θ=处取到极大值也是最大值，
故π3θ=时，场地面积取得最大值为km 2）． (16)
分
27. 如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，
该曲线段是函数2π
sin()3
y A x ω=+
()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时
的图象，且图象的最高点为B （－1，2）。

赛道的中间部分为
CD ，且CD // EF 。

赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE ．
（1）求ω的值和DOE ∠的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形
草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆
弧DE 上，且POE θ∠=，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
解：（1）由条件，得2A =，34
T
=． ………………………………………………2分 ∵2π
T ω
=
，∴π
6
ω=
．………………………………………4分 ∴ 曲线段FBC 的解析式为π2π
2sin()63
y x =+．
当x =0时，y OC =CD ππ
44COD DOE ∠=∠=，即．……7分
（2）由（1），可知OD
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE 上，故OP =8分
设POE θ∠=，π
04θ<≤，“矩形草坪”的面积为
)
()26sin cos sin S θ
θθθθθ=-=-
=111π
6(sin 2cos2))32224
θθθ+-=+-． …………………13分
∵π04θ<≤，故πππ
2=428
S θθ+=当时，时，取得最大值． ……15分。