徐州一中2014届高三数学最后冲刺应用题50练(61页)

B 1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB

＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．

（1）按下列要求建立函数关系式： （i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10

cos cos AQ OA θθ

=

=, 故 10

cos OB θ

=

，又OP ＝1010tan θ-， 所以1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=

++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=

+04πθ⎛

⎫≤≤ ⎪⎝

⎭

②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以

=

所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ （Ⅱ）选择函数模型①，()()()

'

22

10cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----=

= 令'

y =0 得sin 1

2

θ=

，因为04πθ<<，所以θ=6π，

当0,

6πθ⎛

⎫

∈ ⎪⎝

⎭

时，'

0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=

6

π

时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域

内且距离AB 边

3

km 处。

2. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高

度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ （1）

tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H

AB α=，tan h BD β

=。

AD —AB=DB ，故得

tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24

124tan tan 1.24 1.20

h H αβα⨯===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h

d AD DB d αβ-=

===， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ--

--====

--+⋅+-+⋅+

()H H h d d

-+≥，（

当且仅当d =取等号）

故当d =tan()αβ-最大。 因为02

π

βα<<<

，则02

π

αβ<-<

，所以当d =α-β最大。

故所求的d

是。

3. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分

所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3

）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P

4. 某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3

B π

∠=

的固定装置，AB

上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当

CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.

（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？

解：（1）在BCD ∆中

,,3

BCD B BD l π

θ∠=∠=

=

sin(120)sin l BC θθ︒-∴=

，2sin CD θ

= ………………4分

sin(120)

sin l AC AB BC l θθ

︒-∴=-=-

，

则sin(120)333sin 2sin AC CD l l t v v v v v θθθ

︒-=

+=-+

，2()33ππθ<< … ……8分 （2）t

=

(16l v

+3cos 6sin l v θ

θ

-=+ ………………10分 令3cos ()sin m θθθ-=

，则'

213cos ()sin m θθθ

-= ………………12分

令'

()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33

ππθ∈，

则0(,)3πθθ∈时，'

()0m θ<；02(,

)3

πθθ∈时'()0m θ> 1cos 3θ∴=

时()m θ

有最小值

4

8

BC l =. ………………14分

答：当4

8

BC l =时货物运行时间最短. ………………15分

D

C