高中数学圆与方程讲义

专题二 圆与方程

一．基本知识点

【1】圆的定义

（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

（2）确定一个圆的要素是圆心和半径.

【2】圆的方程

（1）圆的标准方程： 222()()x a y b r -+-=，其中圆心为A(a,b),半径为r ；

（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=()

2240D E F +-> 注：上述方程配方得：22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭ 【3】求圆的方程的一般步骤为：

（1） 根据题意选择标准方程或者一般方程；

（2） 根据条件列出关于,,a b r 或者,,D E F 的方程组；

（3） 解出,,a b r 或者,,D E F 代入标准方程或者一般方程.

【4】点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系：

（1）若2200()()x a y b -+->2r 则点M 在圆外；

（2）若22200()()x a y b r -+-=，则点M 在圆上； （3）若2200()()x a y b -+-<2r ，则点M 在圆内.

【5】直线l ：0Ax By C ++=与圆 222()()x a y b r -+-=的位置关系：

（1）若圆心A 到直线l

的距离d r =

>，则直线与圆

相离；

（2）若圆心A 到直线l

的距离d r =

<，则直线与圆相交；

（3）若圆心A 到直线l

的距离d r =

=，则直线与圆

相切；

【6】圆与圆的位置关系： 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以 下几点：

（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；

（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；

（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；

注：当圆()()22

21111:C x a y b r -+-=与圆()()2222222:C x a y b r -+-=相交与A 、B 两点时，上述方程相减即得直线AB 方程.

二．例题分析

【例1】写出以()2,3A -为圆心，半径等于5的圆的标准方程，并判断点()15,7M -

，点()21M -是否在这个圆上.

【例2】三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是()5,1A , ()7,3B -，()2,8C -，求它外接圆方程.

【变式1】已知三角形AOB 的顶点坐标分别是()4,0A , ()0,3B ，()0,0O ，求三角形AOB 的外接圆的标准方程

【例3】写出下列圆的标准方程：

（1）圆心在()3,4C -

（2）圆心在()8,3C -，且经过点()5,1M .

【例4】.若斜率为1的直线经过()2,0且与圆

()

2224(0)x y r r -+=>相切，求圆的标准方程.

【变式1】（2010年天津）已知圆C 的圆心是直线1y x =+与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，求圆C 的标准方程.

【变式2】已知过点()3,3M --的直线l 被圆22

4210x y y ++-=所

截得的弦长为l 的方程.

【变式3】已知直线:43350l x y +-=与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程.

【例5】（2008年天津）．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，求圆C 的方程.

【例6】圆C 的圆心在x 轴上，并且过点()1,1A -和()1,3B ，分别求圆C 的标准方程和一般方程

【变式1】方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的条件是 （ ） A

114m << B 1m > C 14m < D 14

m <或1m >

【例7】已知圆221:2880C x y x y +++-=，

圆222:4420C x y x y +---=，试判断圆2C 与1C 的位置关系.

【例8】已知两圆2210x y +=和()()22

1320x y -+-=相交于A 、 B 两点，求直线AB 的方程.

【例9】（2009年天津）若圆42

2=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，求a 的值

【变式1】已知圆221:230C x y x ay +++-=和圆

222:4290C x y x y +---=的公共弦长为a 的值.

【变式2】0y +-=和圆22

4x y +=得的劣弧所对的圆心角为 .

【例10】已知圆()()22:1225C x y -+-=及直线()():21174l m x m y m +++=+()m R ∈

（1）证明不论m 取何值时，直线l 与圆C 相交；

（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程.

【变式1】若直线0x y a ++=与圆()2211x y ++=有公共点，求a 的取值范围.