工程断裂力学第二章new

1 U1 B a G= 1 U1 2 B a
2-2 能量平衡理论
在Griffith弹性能释放理论的基础上，Irwin 和 Orowan从热力学的观点重新考虑了断裂问题，提出了 能量平衡理论。按照热力学的能量守恒定律，在单位 时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统 储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不 可恢复消耗能的改变量。
失稳扩展与止裂判据
d (G 2γ s ) > 0 da d (G 2γ s ) < 0 da d G>0 da d G<0 da
d2 (W U) > 0 2 da d2 (W U) < 0 2 da
失稳扩展 裂纹止裂 因为γ 因为γs为 常量 失稳扩展 裂纹止裂
失稳扩展
裂纹止裂
双悬臂梁试件
如图所示的双悬臂梁试件，受到一对拉力P的作用，试求断裂发生 时的临界拉力；若发生断裂，是否为失稳扩展？
1 U G= B a
单边裂纹
中心裂纹的能量释放率
由于对称关系，中心裂纹系统所释放的能量将均 等地分配到两个裂端，使每个端的裂纹扩展量为Δa。 因此，裂纹两端具有相同的能量释放率，其表达式将 为单边裂纹能量释放率表达式的一半。
1 U G= 2 B a
对称中心裂纹
能量释放率的另一表达形式
由于没有裂纹时的总应变能U0与裂纹长度无关，U=U0＋ U1，所以：
若只考虑脆性断裂，而裂端区的塑性变形可以忽略不计。 则在准静态的情形下，裂纹扩展时，裂端区所释放出来的 能量全部用来形成新的裂纹面积。换句话说，根据能量守 恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量 等于形成裂纹面积所需的能量。 设每个裂端裂纹扩展量为a，则由能量守恒定律有：
G(Ba) = γ s (2Ba) G = 2γ s
双悬臂梁试件断裂问题的求解
当裂纹长度由a增加到a+da 时，系统刚度会随之降低，因 此，位移l也会增至l+dl 。此时 P-l关系如图所示。这里OA和 OB分别为裂长为a和a+da的P-l 关系线。由前式知，P与l成正 比，在恒拉力P的作用下，释 放的能量d(W-U)即为图中三角 形OAB的面积（阴影部分）。 说明：U1=Pl/2,U2=P(l+dl)/2,所以释放能量为： dU=U2-U1=Pdl/2=dW/2,就是图中阴影部分面积。
带裂纹的弹性体的变形能
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若 裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能U要 比在没裂纹时所储存的总应变能U0大，两者之差用U1表 示。可以说U1是因裂纹存在而附加的应变能。
为什么？ 为什么？
单边裂纹的能量释放率
假想裂纹发生了准静态扩展，裂端所释放的能量 是由总应变能的一部分转化过来的，因此，比较裂纹 扩展前后的总应变能就可以得到能量释放率。则根据 能量守恒定律和能量释放率的定义，可得 ： 1 U(a + a) U(a) G = lim (a + a) a a→0 B
对于发生脆性断裂的材料，在断裂发生前，裂端 区塑性变形所消耗的能量通常是可以忽略不计的。此 时，表面能即为表面自由能，则 d(W U) γ = 0成为脆性断裂 dA
p t
的判据。由于Irwin —Orowan断裂判据和Griffith断裂判 据都是根据能量守恒定律建立起来的，因而两者应该 是同一个判据。
经典断裂理论
断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹。 现代断裂力学能对此带裂纹物体的裂纹端点区进行应 力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的 参量。
本章介绍的是在现代断裂力学发展以前，科学家 根据能量守恒定律而建立的断裂判据，相对于现代断 裂力学，这可称为经典的断裂理论。
2-1 Griffith 能量释放观点
双悬臂梁试件断裂问题的求解
利用Griffith判据，可得在某裂纹长度a时的临界拉力为：
12P a G= = 2γ s 2 3 EB H
由于
2 2
EB H γ s P = cr 6a2
2 3
1/ 2
纹扩展为失稳扩展。
dG > 0 ，因此可以知道在恒拉力作用下断裂发生后的裂 da
问题
1.在双悬臂梁试件断裂问题中，若施以拉力超过上面的 临界拉力Pcr后，立即把此时的载荷线位移固定住，即 裂纹扩展中，l维持定值。问裂纹扩展是否会停止？并 绘制P-l图。
双悬臂梁试件断裂问题的求解
设B为试件厚度，H为试件半高度，a为加载线到裂端的 距离。l/2为力作用点沿力方向的位移。 试件可简化为悬臂梁问题，上下每个梁的长度即为裂 纹的长度a。由材料力学计算梁的挠度公式，可知力作 用点的位移为：
l Pa = 2 3EI
3
BH 3 式中，E为弹性模量， = 是惯性矩。 I 12
U 1 U1 B a G= 1 U1 2 B a
单边裂纹 对称中心裂纹
Griffith裂纹的弹性力学理论分析
Griffith利用Inglis的无限大平板带有椭圆孔的弹性解析解，得 到了因裂纹存在而附加的应变能U1，其表达式为：
U1 =
πσ2a2B
E
如何得到？ 如何得到？
这里σ是无穷远处的均匀拉伸应力，E是弹性模量。上式仅 适用于很薄的平板(平面应力状态)；若是厚板，其内部是平面应 变状态时，E应为
断裂判据
dW dU dT dD = + + dt dt dt dt
dD dD dAt dAt = =γ p dt dA dt dt t
d(W U) dAt dAt =γ p dAt dt dt
d(W U) γ p = 0 dAt
可以考虑塑性 的断裂判据
此为包括塑性变形的带裂纹物体断裂判据。
两个断裂判据的等价性
所以等价于：
G = 2γ s
两个断裂判据的等价性
另一角度： dW代表外界对系统做功的变化量，dU代表系统 弹性能的变化量，所以d(W-U)为在裂纹尖端释放而使 裂纹扩展的能量。因此d(W-U)/dAt就是Griffith能量释 放率。
关于失稳扩展与止裂
在脆性断裂的情况下，若能量释放率G已大于表 面自由能2γs，此时裂纹扩展是否可能继续进行下去， 直到整体破坏?或是裂纹扩展一个阶段后，会自动止裂? 换句话说，如何判断裂纹是否已发生失稳扩展。 答案∶所释放能量与形成裂纹面积所需能量的差 额，是随裂纹增长而越来越大；还是随着裂纹增长反 而越来越小，以致最后差额接近于零。如果是前者， 则以发生了失稳扩展；如果是后者，则最终会止裂。
σ a=
2
2 Eγ s
π
课外作业
用有机玻璃板制成50×150毫米的矩形板，在板正中央钻一小孔， 然后用线锯和刀片制成Griffith裂纹。要求裂纹长度不得大于15毫 米，试检验
σ 2a =
2 Eγ s
断裂判据。 π
思考并回答
1.试用断裂力学观点，讨论为何玻璃纤维的强度比同 种材料的玻璃板高许多倍。 2.若图中，矩形板两端不是施加拉伸应力，而是施加 一定的位移，问此时下式将有何变化?
这就是著名的Griffith断裂判据 。
关于Griffith断裂判据
Griffith假定γs为一材料常数，剩下的问题就是如何 计算带裂纹物体裂端的能量释放率G。 若此G值大于或等于2γs ，就会发生断裂；若小于 2γs ，则不发生断裂，此时G值仅代表裂纹是否会发生 扩展的一种倾向 倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。 倾向
第二章 能量守恒与断裂判据
传统强度理论
在现代断裂力学建立以前，机械零构件是根据传统的 强度理论进行设计的，不论在机械零构件的哪一部分，设 计应力的水平一般都不大于材料的屈服应力，即
σ≤
σ ys
n
这里σ ys 是设计应力； 是安全系数，其值大于1； σ ys 是屈服 n 应力，在等截面物体受到单向拉伸时， σ ys 即为单向拉伸的 屈服强度。
dD dD dAt dAt = =γ p dt dA dt dt t
At为裂纹总面积，γ p为表面能。
表面能与表面自由能
若没有塑性变形，γp将等于Griffith的表面自由能γs。 若有塑性变形，显然要形成新裂纹面积需要更多的能 量，因此γp ＞ γs。据估计，塑性很好的材料(例如低碳 钢)与脆性材料(例如玻璃)相比， γp大约比γs大两个数量 级到三个数量级。
关于两个判据的等价性可以从两个角度来理解。 关于两个判据的等价性可以从两个角度来理解。
两个断裂判据的等价性
第一角度：
2Ba 单边裂纹 d(W U) Irwin判据： γ p = 0; At = dAt 4Ba 双边裂纹
对于脆弹性：
γ p = γ s ; dW = 2dU
1 U B a G= 1 U 2B a
Griffith能量释放观点
现在只考虑Griffith裂 纹右端点。在拉伸应力的 作用下，此裂纹端点向正 前方扩展。根据Griffith能 量释放观点，在裂纹扩展 的过程中，能量在裂端区 释放出来，此释放出来的 能量将用来形成新的裂纹 面积。
能量释放率
定义裂纹尖端的能量释放率(energy release rate)如下∶ 能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长 度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。 为了纪念Griffith的功绩，用其姓的第一个字母G来 代表能量释放率。由定义可知，G具有能量的概念。其 国际制单位(SI单位制)一般用“百万牛顿/米”(MN/m)。
E 所取代，这里ν是泊松比。 1ν 2
Griffith断裂判据
可得Griffith裂纹的能量释放率为 ：
1 U G= 2 B a
由Griffith 断裂判据得：
G=
πσ a
2
E
G = 2γ s
σ a=
2
2 Eγ s
π
临界断裂曲线
在刚发生断裂时，σ2a为一常数。 若值小于上式等号右边的常数值， 则此时应力水平和裂纹长度，不足 以产生断裂。若σ2a值大于右边的常 数值，则在此时的应力水平和裂纹 长度下，将会发生断裂。上述关系， 此曲线划分了断裂区和安全区。由 图还可知道∶若已知当前Griffith裂 纹的长度，将可计算出发生断裂的 临界应力；或者，若已知当前的应 力水平，将可知会发生断裂的临界 裂纹长度。
能量平衡理论
假设W为外界对系统所做的功，U为系统储存的应变能，T 为动能，D为不可恢复的消耗能，则Irwin—Orowan能量平衡理论 可用公式表达如下∶
dW dU dT dD = + + dt dt dt dt
假定裂纹处于准静态，例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩 展，则动能不变化，即dT/dt=0。若所有不可恢复的消耗能都是用 来制造裂纹新面积，则 ：
Griffith是本世纪二十年代英国著名的科学家，他在 断裂物理方面有相当大的贡献，其中最大的贡献要算 提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这个 观点而建立的断裂判据。本节要介绍根据Griffith观点 而发展起来的弹性能释放理论，此理论在现代断裂力 学中仍占有相当重要的地位 。
表面自由能
材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的，因此只 有当拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。此抵抗 裂纹扩展的能力可以用表面自由能(surface free energy)来度量。一般用γs表示。 表面自由能定义为：材料每形成单位裂纹面积所需的 能量，其量纲与能量释放率相同。
著名的Griffith断裂判据
Griffith裂纹
图(2－1)的Griffith裂纹问题(即无限大平板带有穿透板厚的 中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题)，以 及图(2－2)的矩形平板带有单边裂纹(single edge crack)的问题。 设两平板的厚度均为B，Griffith裂纹长度为2a，单边裂纹的长 度为a。
双悬臂梁试件断裂问题的求解
d(W Uຫໍສະໝຸດ Baidu =
进行微分得：
在恒拉力的作用下，对挠度公式
Pdl 2
2Pa2da dl = EI
P2a2da d(W U) = EI
l Pa3 = 2 3EI
代入上式得能量释放率G：
1 U 1 d (W U ) G= = B a B da
P2a2 12P2a2 G= = EBI EB2H3
2.Griffith裂纹（即带有中心裂纹的无线大平板受到均 布拉伸应力作用）的断裂是否为失稳扩展？
2-3 内聚应力理论
断裂的结果是造成新的裂纹面积，从原子间距的 观点来看，就是把平行且相邻的晶体平面间的原子分 离。作为物理模型，可视为把有相互作用力而结合在 一起的两平面分离开。设σ为平面间的内聚应力，ε为 应变。ε=（δ-δ0)/δ0，这里δ为瞬时平面间的距离。