生活中的数学建模

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l l cos
l l (1 sin )
2 1 2
x 2 1 2 l l (1 2 ) 4l 2 x l l (1 2 ) 8l x2 8l
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于是，单位时间重心升高所需做功为
W势
nMgx Mgv nMg x 8l 8l
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行走步长问题
问题 人在匀速行走时步长多大最省劲？
设人的体重为M ，腿重为 m ，腿长为 l ，速度为
v （固定），单位时间步数为 n ，步长为 x （v = n
x ）。
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考虑人行走时所消耗的能量的两个部分：一部分 抬高人体重心，转化为势能，另一部分转化为两腿转 动的动能 （全身运动的平动能是常数，与步长无关 ，故不考虑）。 下面分别计算之。 1. 重心升高所需的能量 记一步中重心升高为δ ，则
结果与实际情形差异太大!
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有人将腿的转动改为脚的直线运动，且将腿的质量
全部算在脚上，这样得到的结果大约是每秒３步，是否
合理？
Mgv mv 1 W x C (13.3x ) 8l 6x x
建模小结：本问题的关键点在于腿部运动的合理描述， 模型改进的方向来自于对结果的细致分析。
3
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U Vx U Vx
U Vx U Vx
结论
当
A < Vx 时，取 U = Vx ，
其他情况下，U 应尽可能大。
建模小结：决定淋雨量大小有两个因素：淋雨时间 及单位时间淋雨量,忽略后者将导致错误结论。
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道路越多越通畅吗？
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布雷斯悖论( Braess's paradox )
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稳定匹配（Stable matching）：每个人当前
的配对对象恰好是他（她）在当前现实中的最优选择。 不稳定匹配：存在这样的一个男生和一个女生，他 们都认为对方比自己当前的配对对象更优。
A B C D w x y z
w
x y z
x
z w y
x
w y z
y
x z w
D
C A B
B
A D C
D
C B A
C
B A D
{(A,w), (B,x), (C,y), (D,z)} {(A,z), (B,x), (C,w), (D,y)}
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× √
罗伊德·沙普利 (Lloyd Shapley)
美国著名数学家和经济学家
2012年因在稳定配对和市场 设计方面的贡献获诺贝尔经 济学奖
1923年6月2日~
利用统计方法建立并优化“内容关键因素”对“流行度”影响程
度的数值模型。 利用模型预测某篇文章在推特上的流行度。
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4个判断的关键要素：
1、信息类别
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2、客观程度
用软件判断样本标题及摘要的客观程度，并为其设定分
值 0 或者 1。
3、提及的人物和地名
4、新闻来源
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预测模型：
x1 a x1 a x2 b x1 a x2 b
则H = g(X1,X2,X3), 根据期望计算公式有
EH
0 xi 1 i 1,2,3

g ( x1 , x2 , x3 ) p ( x1 , x2 , x3 ) dx1dx2 dx3
2 2
1 a a (1 b ) ab 1 (1 a 2 a ab 2 ab) 2 2 2 2
此时R(U)关于U递减，走得越快越好。
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（2）Vx > 0 时（即风从背面吹来）
S (Vx A) S (Vx U A) S U U R(U ) S (U V A) S ( A Vx ) S x U U
S (Vx A) , 2 dR U dU S ( A Vx ) , 2 U
vl
,故
3
所以人行走时单位时间所做的功为
W W势 W动 W平
Mgv mv3 x ＋W平 8l 6x
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令 解得
dW 0 dx
4 mlv 2 x 3 Mg
3 Mg n 4 ml
为检验此结果的合理性，带入具体数值，假定 M/m = 4， l = 1 米 , 计算得到 n = 5.4步/秒 g = 9.8米/秒2 , v =1.5米/秒 x = 0.28米
(D,y), (D,y), (D,y), (D,y), (D,y)
x拒绝C w拒绝A x拒绝A y拒绝A
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几个问题： 1、算法是否能在有限步结束？
w x w y A B C D w A x A y B z D
是的。由于每一个男生最多发出n次邀请，必然能够邀 x y y x B C A C 请到女生，所以算法在有限轮后会结束。
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Gale-Shapley算法： 第一轮：每位男生向各自最中意的女生发出邀请， 然后每个女生在向其发出邀请的男生中选择自己最中意 的； 第二轮，尚未配对的男生向其第二喜欢的女生（不 管该女生是否已配对）发出邀请，然后每个女生在向其 发出邀请的男生以及上一轮已选择的男生中选择一个最 中意的； 第三轮，……
数学建模—从自然走向理性之路
【本讲简介】
数学建模无处不在。在我们的生活中处处可以看到
数学模型的影子，本讲介绍发生在我们身边的几个数学
建模案例：人行走时步长多大最省力？雨中行走如何使
淋雨量最小？道路越多越通畅吗？有奖销售时的抽奖策
略问题，“非诚勿扰”女生的最佳选择,网络文章流行 度预测,招聘时的稳定匹配等。
雨中行走问题
问题 考虑人在雨中沿一直线行走，雨速已知，问人
行走的速度多大才能使淋雨量最小？ 跑得越快淋雨量越小？ 淋雨量＝单位时间淋雨量×淋雨时间
单位时间淋雨量最小：雨从头顶上落下。 但这样做要付出时间代价，值不值就要看具体降雨 量情况与风的情况而定了。
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设人行走速度(U,0,0) (U>0) ， 雨速(Vx, Vy, Vz)，行走距离为S， 将人视为长方体，前、侧、顶的 面积之比为1:L:T。
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单位时间淋雨量为
C·{|U-Vx|, |0-Vy|, |0-Vz|}·{1, L , T}
＝ C（| U-Vx | + |Vy|·L + |Vz|·T ）
＝ C（| U-Vx | + A ）
(其中A = |Vy|·L + |Vz|·T)
总淋雨量为
为简便计，考虑
R(U)= S/U·C·(|U-Vx| + A )
假设在一个n男n女的联谊会上配对跳舞，每个人都 按自己的喜好程度对所有异性排一个顺序，没有并列， 例如：
A w x y z B x z w y C x w y z D y x z w w D C A B x B A D C y D C B A z C B A D
【问题】是否存在一个稳定的配对？
如果存在，是否唯一？如何求？
R(U)= S/U·(|U-Vx| + A )
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因此，雨中行走问题抽象成数学问题： 已知S , Vx ,A, 求U为何值时R(U)达最小值？ 下面分几种情况讨论。
（1）Vx < 0 时（即风从迎面吹来）
R(U) = S/U·(U +|Vx| + A )
= S + S·(|Vx| + A )/ U
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《非诚勿扰》女生的”最优选择”
策 略
总共面试n人，不选择前k人，从第k+1人起，一 旦有比前面更优秀的男生，则选择。 如何确定K，使选到最中意男生的概率最大？ 对于某个固定的 k，能选到最佳男生的总概率为：
1 k k n 1 P(k ) n i k 1 i 1 i k 1 n i 1
2
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第三次抽奖的获奖期望为
EH 3 P( X 1 a, X 2 b) E ( X 3 X 1 a, X 2 b) 1 ab ab 2 2
所以
J EH EH1 EH 2 EH 3 1 1 1 (1 a 2 ) a (1 b 2 ) ab 2 2 2 1 2 2 1 a a ab ab 2
2
2. 腿运动所需的能量 将人行走时腿的运动视为均匀直杆（腿）绕腰部的 转动，则在单位时间内所需动能为
W动
1 2 I n 2
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1 2 其中转动惯量 I ml ，角速度 3 2
1 1 2 v n 2 mv W动 ml n mv 2 3 6 6x l
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A w
B x
C x
D y
w D
x B
y D
z C
x
y z
z
w y
w
y z
x
z w
C
A B
A
D C
C
B A
B
A D
第一轮：(A,w) 第二轮：(A,w) 第三轮：(A,x) 第四轮：(A,y) 第五轮：(A,z)
(B,x) (B,x) (B,x) (B,x) (B,x)
(C,x) (C,w) (C,w) (C,w) (C,w)
X1 H X 2 X 3
X1 a X 1 a X 2 b X 1 a X 2 b
其中 X1 , X2 , X3 均为在[0,1]上均匀分布的随机变
量。该人目标为获得的奖金H的期望达最大值。
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计算期望：令
x1 g ( x1, x2 , x3 ) x2 x 3
建模小结：生活中处处有数学建模的身影。
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网络文章流行度预测
【问题】“如何在一篇文章被发出前就判断它会否流行” The Pulse of News in Social Media: Forecasting
Popularity
【基本思路】 确定文章内容的关键因素。 统计这些关键因素取不同值时对文章流行度的影响，并将各取值 赋以不同分值。
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有奖销售抽奖策略
某人可获得一笔奖金 x , x由他在区间[0,1] 中
任意地抽取。如果他满意，可以领取 x 奖金而不再抽 取；如果他不满意，可以放弃这个 x 而重新抽取。这 个抽取过程可重复 3 次 , 第三次抽取后不得放弃。 问他应该采取何种策略以期获得最多奖金？
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设该抽奖人采取的策略为：
2、选择先后对双方是否有区别？
是的。对先选的一方有利。
z w x z D
y
z
z
w
C
B
D C
B
D
A
3、稳定配对是定？
是的。
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数学家研究结论：如果一个交通网络上每一条路的
通行时间都与这条路上的车子数量成线性关系，这个交
通网络就一定存在一个纳什均衡点。它可能导致全体不
利的情况发生，即出现布雷斯悖论现象。
真实案例1：德国,斯图加特市,1969 年。
真实案例2：美国，纽约，1990年世界地球日。
真实案例3：韩国，清溪川。
n
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用 x 来表示 k/n 的值，并且假设 n 充分大，则上述 公式可以近似表示为积分形式：
1
1 P(k ) x dt x ln x t x
d ( x ln x) 1 ln x 0 dx
x 1/ e
1/e 大约等于37%，即k/n＝37%——37%法则！ 按此策略，找到最中意男生的概率也是37%！
其中： T—流行度（t-density） S—信息来源的 t-density 分值 C—信息类别的 t-density 分值 Ent max —文中提及的人名或地名中的最大t-density值
结论： 来自可靠的信息源、提及名人并且谈论流行话题
建模启示：对建立评价类模型具有典型意义。
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稳定匹配问题及算法
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令
1 J 2 1 2 a b b 0 a 2 J a 1 2b 0 b 2
解得： a = 5/8 , b = 1/2
最大期望奖金为：
89 EH 0.7 128
最优停止问题，例如“不可召回的秘书招聘问题”。
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以下我们换一种方法计算获利期望。
★
条件期望方法 第一次抽奖的获奖期望为
EH1 P( X1 a) E ( X1 X1 a) 1 a 1 a (1 a) 2 2
2
第二次抽奖的获奖期望为
EH 2 P( X1 a, X 2 b) E ( X 2 X1 a, X 2 b) 1 b a(1 b ) a(1 b) 2 2