数学基础14平面矢量

2018年10月24日 理论力学CAI 数学基础
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总结/公式
• 代数矢量公式 T T a e aa e
a b b a c a b b a
T T a e aa e
a T b bT a ~ ~ c a b b a
rb
A A A
rb rs
rb 1
sb
A A
a A a
r rb
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rb T
A
br
b
r rb ~ b br ~ a A a A
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总结/公式
• 平面矢量公式
r bT cos sin A e e sin cos ~ def 0 1 I 1 0 ~ T ~ T c a b ( I a) bz c ( I a) b axby a y bx
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平面矢量/定义与运算
• 平面矢量的叉积
定义叉积矢量的正向与法矢量一致
c a b cz
0)
T
z
c
y
b
a
按三维空间处理
a (a x
ay
b (bx
by
0)T O
0 ~ c ab 0 ay
矢量
0 0 ax
c a b 的模
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平面矢量/方向余弦矩阵
• 方向余弦阵的导数
sin cos cos sin d A cos sin d t sin cos
~ T ~ ~~ T I I II I
0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
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平面矢量
平面矢量
• 定义与运算
• 方向余弦阵
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cos sin 0 1 sin cos sin cos 1 0 cos sin 0 1 cos sin sin cos 1 0 sin cos cos sin
平面矢量
平面矢量
• 定义与运算
• 方向余弦阵
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平面矢量
平面矢量
• 定义与运算
• 方向余弦阵
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平面矢量/定义与运算
定义与运算
• 问题的提出
– 当所有的矢量的变化与运算均发生在同一平面内 – 或这些矢量可能仅与垂直于该平面的矢量发生运算 – 这些矢量的代数描述可在一个二维空间中进行 – 这类矢量称为平面矢量
• 平面矢量运算与坐标阵运算的关系
– 同一个基下两种运算的关系 矢量运算式 坐标阵运算式（二阶）
a b c a b c a a b b a
ab c ab c a
a bb a
T T
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平面矢量/方向余弦阵
方向余弦阵
• 定义
– 两个平面矢量基的方向余弦阵为2×2的矩阵
r bT A e e r b x x r b y x
rb
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r b x y r b y y
r y
b y
矢量
ˆ a
a
x
ˆ a
与 a 的坐标阵的关系
ax a y
矢量运算
z a
的坐标阵
O
~ Ia a
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a y
ax
0 1 a x a y ˆ a 1 0 a a y x
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平面矢量/定义与运算/平面矢量叉积
按二维空间处理
a ax
ay
T
b bx
by
T
z
c
y
b
a
~b 三维对照 c a
引入反对称阵
无坐标方阵
~ T c ( I a) b
~ def 0 1 O I 1 0 T 0 1 a x bx 1 0 a y by a x by a y bx
a y bx 0 a x by 0 0 0 a x by a y bx
O
x
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c ax by a y bx c (a x by a y bx ) z
rb
~ Ia a
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x
c (a x by a y bx ) z
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~ T c a b ( I a) bz
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平面矢量/定义与运算
• 法矢量与平面矢量的叉积 ˆ 矢量 a 为矢量 a 绕法矢量旋转90度
y
ˆ a z a a y x a x y
ay
a
z 向的坐标恒为零
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O
x
ax
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平面矢量/定义与运算
• 平面矢径的代数描述
点P矢径 rP 的坐标阵的2个坐标与该点的2个平面 坐标（xP，yP）一一对应 y T
rP xP
yP
yP
• 基矢量的坐标阵：
P
rP xP
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T x x 1 0 T y y 0 1
rb
sin cos ~ rb IA cos sin
~ rb A IA
rb
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平面矢量
总结
• 矩阵的基本运算
–包括矢量矩阵的运算
• 矢量的代数表达
–几何矢量与代数矢量的对应关系 –几何矢量的运算与坐标阵运算的关系
d rT r e aa dt
r
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r e r r 1 d r d r e e2 0 dt dt r e3
d rT r ae a dt
r
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总结/公式
• 方向余弦公式
r bT A e e b r rb T r rb b e (A ) e e A e
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O
x
平面矢量/定义与运算
• 平面矢量的运算
– 符合一般矢量运算的定义
特点：
y
平面矢量与标量的积以及任 意两平面矢量的和，它 们仍为平面矢量
b
a b
a
O
x
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平面矢量/定义与运算
b x
r x
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平面矢量/方向余弦矩阵
• 姿态角
b r b 定义基矢量 x 相对于基矢量 x 的夹角 为基 e 相对 r 于基 的姿态角 e b r y y 夹角 旋转的正向与法矢量一致
r bT rb A e e cos sin sin cos
b x

r x
方向余弦阵仅与一个变量（姿态角 ）有关
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平面矢量/方向余弦矩阵
• 方向余弦阵的元素的几何意义
r b x x rb A r b y x
b 别为 e
阵
r b x y r b y y
基矢量与在参考基 eb

的坐标
r rb b e A e
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平面矢量/方向余弦矩阵
~ 与方向余弦阵的运算公式 • 反对称阵 I
~ ~ AI I A
cos sin 0 1 sin cos sin cos 1 0 cos sin
r x r y
b x A11 A21
b y A12 A22
列阵 a1=(A11 A21)T 与 a2=(A12 A22)T 分
r 基矢量与在参考基 e
的坐标
b rb T r e (A ) e
行阵的转置 b1=(A11 A12)T 与 b2=(A21 A22)T 分别为 er 阵

• 方向余弦阵
–性质 –同一矢量的坐标阵与坐标方阵的变换
• 平面矢量
–平面矢量的运算与坐标阵运算的关系
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总结/公式
• 矩阵公式
a def a aq q q1
def
a a a q j q2 qn
cos sin A sin cos
rb
~ ~ T A I IA
T
0 1 cos sin sin cos 1 0 sin cos cos sin
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平面矢量/定义与运算
• 平面矢量基 基矢量 x 与 y
e x
构成一平面矢量基
e
y
T y
垂直于该平面的单位矢量记为
z x y
z
且
单位矢量
z
称为法矢量
O
x
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平面矢量/定义与运算
• 平面矢量的代数描述
矢量 a 在平面矢量基 e x
T y 下的坐标阵为二阶列阵
无坐标方阵
矢量
a ax x a y y
a
a (a x
a y )T
的代数表达
y
T T a a e e a
平面矢量的代数描述是一般矢量代 数描述的特殊情况：
1 q1 2 q1 m q 1
1n
i def q q q j mn
def
1 q 2 2 q 2 m q 2

1 q n 2 q n

m q n
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总结/公式
• 矢量公式
a b c b a c ba c

a b c c a b b c a

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平面矢量/定义与运算
~ • 反对称阵 I 的性质
~T ~ I I ~~ I I I
~ def 0 1 I 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1