分离常数法和分离参数法的应用

分离常数法与分离参数法的应用

娄底二中 康惠如

一）:分离常数法:

是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有

22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p

+++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.

1）用分离常数法求分式函数的值域

例1：求函数31()2

x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦

-++-+=

==+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102

x -≤<-。故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<.

2)用分离常数法判断分式函数的单调性

例2：已知函数f(x)=

(),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。

解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b

++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a-b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。

3)用分离常数法求分式函数的最值

例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101

x x x +++的最小值。 解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101

x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ ()()21514

1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411

x x +=+，即x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9.

二：分离参数法

分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变

化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。

1. 用分离参数法解决函数有零点的问题

例4：已知函数g(x)=

24ax x -+,在[]2,4上有零点，求a 的取值范围 解：因为函数g(x)= 24ax x -+在[]2,4上有零点，所以方程24ax x -+=0在[]2,4上有实根，即方程4a x x =+

在[]2,4上有实根，令4()f x x x =+，则a 的取值范围等价于函数f(x)在[]2,4上的值域。 又()()22224'()10x x f x x x

+-=-=≥在[]2,4上恒成立，所以f(x)在[]2,4上是增函数。所以 (2)()(4),f f x f ≤≤即4()5f x ≤≤所以45a ≤≤

2. 用分离参数法解决不等式恒成立问题

例5已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：原不等式可以化为2

(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立。

构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段。于是有{2(2)2(1)210},f x x -=---+<和2(2)2(1)210f x x =--+<即

22230x x +->，｜｜｜｜且22210,x x --<解得

1122x -++<<。 3．用分离参数法解决函数的单调性问题

例6已知2222()x ax a x

f x +-=在[)1,+∞上是单调增函数，求a 的取值范围。 解：由2()a a x f x x +=-所以2'()1a f x x =+又f(x)在 [)1,+∞上是增函数,所以'()0f x ≥,于是可得不等式2a x ≥-,对于1x ≥,恒成立。所以2max (),a x ≥-由1x ≥得21x -≤-。

所以1a ≥-。

4.用分离参数法解决不等式有解的问题

例7：如果关于x 的不等式。｜x-3｜+｜x-4｜-2a+1<0的解集不是空集，求参数a 的范围。 解：原不等式可转化为｜x-3｜+｜x-4｜<2a-1.又原不等式的解集不是空集，所以（｜x-3｜+｜x-4｜）的最小值小于2a-1.又 ｜x-3｜+｜x-4｜≥｜（x-3）-（x-4）｜=1.且当(x-3)(x-4) ≤0时取等号，所以2a-1>1,即a>1。