弹性力学第二章第三节优秀课件

a11x1 a12x2 a13x3 P1 a21x1 a22x2 a23x3 P2 a31x1 a32x2 a33x3 P3
说明：
（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。
例：
3
a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibici aibici
i 1
（2）哑标的有效范围仅限于本项。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹性力学 的解题范围。
j1
2.爱因斯坦求和约定
在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把 该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标 （简称哑标）
例 a aiei (i 1,2,3)
求和指标
aa1e1a2e2a3e3
aij x j Pi
j求和指标
i非求和指标
称为自由指标
(i 1,2,3; j 1,2,3)
u3,3 j
4.克罗内克(Kroneker)符号 ij ei ej cos(eiej )
ij
1 0
i j i j
11 12 13 1 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ij 21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
ij 具有如下性质 (1) ii 3 (2) ij Ai Aj
同理:
aikkj Aij
ikkj Aij
也称换名算子
ij
4. 置换符号
eijk 表示，有２７个分量。定义：
1 (i, j, k)为循环序列 eijk 1 (i, j, k)为逆循环序列
0 (i, j, k)为非循环序列
１
３
２
１
３
２
１２３ ２３１ ３１２
３２１ ２１３
１３２
有两个以上的指标相同
置换符号用于简化公式的书 写．
yz2yz 1Eyz
zx2zx1Ezx
kk
1
2v E
kk
12
E
ij kkij 2Gij
x 2Gx, yzGyz2Gyz y 2Gy, zxGzx2Gzx z 2Gz, xyGxy2Gxy
(4) 边界条件
力边界条件: 位移边界条件:
ij n j Ti
ui ui
§2-8 弹性力学的几个基本定义
1. 迭加原理: 弹性体受几组外力同时作用时的解
(应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时 对应解的和.
说明: (1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件 是线性的. (2) 对大变形问题, 几何方程将出现二次非线性项, 平衡方程将受到变形的影响, 迭加原理不再适用。 (3) 对非线弹性或弹塑性材料, 应力应变关系为非 线性, 迭加原理不成立。 (4) 对非线性边界条件, 迭加原理也失效。
弹性力学第二章第三节
一.指标表示法
1. 指标符号
具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的 字母表示：
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
3
aa1e1a2e2a3e3 aiei i1
三阶线性方程组
a11x a12y a13z P1
a2 1x
a2 2y
a2 3z
P2
a3 1x
a3 2y
a3 3z
P3
可表示为 缩写为
a i1 x 1 a i2 x 2 a i3 x 3 P i ( i 1 ,2 ,3 )
3
aijxj Pi (i1,2,3)
应力分量： xx xy xz 可表示为： 11 12 13
yx yy yz
21 22 23
zx zy zz
31 32 33
缩写为： i(ji1 ,2 ,3 ; j1 ,2 ,3 ) 同理，应变分量可表示为： i(ji1 ,2,3 ; j1 ,2,3)
向量 a 表示为
（3）多重求和可采用不同的哑标表示。
例：
3
aij xi x j
3
aij xi x j
i1 j1
（4）哑标可局部地成对替换。
（5）自由指标必须整体换名。
（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆， 应声明对该指标不求和。
例 Ci aii bi (i不求和)
3.求导数的简记方法 微分算符简记法
x
yz
y
z
z
Z
2w t 2
0
(2) 几何方程
ij
1 2
ui, j
u j,i
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v z
zx
xz
w x
u z
(3) 物理方程
ij
1
v E
ij
v E
kk
ij
x
1Ex
E
y
1Ey
E
z
1Ez
E
xy2xy 1Exy
xi
,i
2
xix j
,ij
例:
xi
,i
ui x j
ui, j
ui xi
ui,i
u1,1 u2,2
u3,3
求和约定
ui x jxk
ui, jk
u xi dxi u,idxi u,1dx1 u,2dx2 u,3dx3
ui xix j
ui,ij
u1,1 j
u2,2 j
例题：（习题2-2）
1. 由平衡方程
不计体力，则X，Y，Z等于零
将应力分量代入方程，1式，3 式满足。
2式为：
64qh03xl(h24y2)yy 0
行列式：
a11 a12 a13
a a21
a22
a23
a31 a32 a33
a eijk a1ia2 ja3k
二. 弹性力学方程的指数表示
(1) 平衡(运动)微分方程
0
ji, j
Fi
2ui t 2
x
x
yx
y
zx
z
X
2u t 2
0
xy
x
y
y
zy
z
Y
2v t 2
0
xz
2. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部 各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束， 则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边 界条件，就一定是问题的真解。
3.圣维南原理:
提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。