柔性多体系统动力学讲稿(theory)
多柔体系统动力学建模理论及其应用
收稿日期:20010226作者简介:仲 昕(1973-),女(汉),山东,博士生E 2m ail :xinzhong 99@sina .com 仲 昕文章编号:100328728(2002)0320387203多柔体系统动力学建模理论及其应用仲 昕,杨汝清,徐正飞,高建华(上海交通大学机器人研究所,上海 200030)摘 要:以往对机械系统进行动力学分析,要么将其抽象为集中质量—弹簧—阻尼系统,要么将其中的每个物体都看作是不变形的刚性体,但如果系统中有一些物体必须计及其变形,就必须对机械系统建立多柔体模型。
本文阐述了柔性体建模理论,并用汽车前悬架多柔体模型进行举例说明。
结果表明多柔体模型的仿真结果较多刚体动力学模型的仿真结果更接近道路试验数据结果,充分验证了多柔体建模的必要性和有效性。
关 键 词:多柔体模型;柔性体建模理论中图分类号:TH 122 文献标识码:AD ynam ic M odeli ng of M ulti -Flex ible Syste m ——Theory and Applica tionZHON G X in ,YAN G R u 2qing ,XU Zheng 2fei ,GAO J ian 2hua (In stitu te of Robo tics ,Shanghai J iao tong U n iversity ,Shanghai 200030)Abstract :In dynam ic analyses of a m echan ical system ,it is often ab stracted as a cen tralized m ass 2sp ring 2damper system ,o r every part in the system is regarded as a rigid body .How ever ,if som e parts defo rm obvi ou sly and their defo rm ati on m u st be taken in to con siderati on ,the m echan ical system m u st be modeled as a m u lti 2flex ib le body .In th is paper ,the flex ib le body modeling theo ry is demon strated firstly .T hen ,an examp le of modeling a k ind of au tomob ile’s fron t su spen si on as a m u lti 2flex ib le system is show n .F inally ,it is show n that the si m u lati on resu lts of m u lti 2flex ib le dynam ic model agree w ith the road test data mo re than tho se of m u lti 2rigid dynam ic model do .T hu s ,it is fu lly testified that u sing m u lti 2flex ib le body theo ry to model is necessary and effective .Key words :M u lti 2flex ib le body ;F lex ib le body modeling theo ry 机械系统一般是由若干个物体组成,通过一系列的几何约束联结起来以完成预期动作的一个整体,因此也可以把整个机械系统叫做多体系统。
【2019年整理】第2章多体系统动力学基本理论
多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况——自由质点和一般简单的情况——少数多个刚体，是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。
在国内召开的关于多体系统动力学方面的重要会议主要有：
1986年由中国力学学会一般力学专业委员会在北京主持召开“多刚体系统动力学”研讨会。
1988年在长春召开“柔性多体系统动力学研讨会”。
1992年在上海召开“全国多体系统动力学—理论、计算方法与应用学术会议”。
1996年由中国力学学会一般力学专业委员会与中国空间学会空间机械委员会联合在山东长岛召开“全国多体系统动力学与控制学术会议”。
变分方法是不同于矢量力学或分析力学的另一类分析方法，高斯最小拘束原理是变分方法的基本原理，保保夫和里洛夫从这一原理出发发展了两种不同风格的计算方法。该方法有利于结合控制系统的优化进行综合分析，而且由于其不受铰的约束数目的影响，适用于带多个闭环的复杂系统。
这几种方法构成了早期多刚体系统动力学的主要内容，借助计算机数值分析技术，可以解决由多个物体组成的复杂机械系统动力学分析问题。但是多体系统动力学在建模与求解方面的自动化程度，相对于结构有限元分析的成熟来说相差甚远。正是为了解决多体系统动力学建模与求解的自动化问题，美国Chace和Haug于80年代提出了适宜于计算机自动建模与求解的多刚体系统笛卡尔建模方法，这种方法不同于以罗伯森-维滕堡方法为代表的拉格朗日方法，它是为以系统中每个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标统一为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标，再根据铰约束和动力学原理建立系统的数学模型进行求解。
柔性多体系统动力学讲稿(theory)
多体动力学摘要采用笛卡尔绝对坐标通过动静法建立多刚体系统的动力学方程。
目录I 问题概述 (3)1. 多体系统仿真模型 (3)2. 静力学问题 (4)3. 运动学问题 (4)4. 动力学问题 (4)II 基本概念和公式 (4)5. 参照物 (4)6. 矢量 (5)6.1 矢量的定义及符号 (5)6.2 矢量的基本运算 (5)6.3 单位矢量的定义及符号 (6)6.4 零矢量的定义及符号 (6)6.5 平移规则 (6)7. 坐标系 (7)8. 矢量在坐标系内的表示 (8)9. 方向余弦矩阵 (10)10. 欧拉角 (13)11. 刚体的位置和姿态坐标 (15)12. 矢量在某参照物内对时间的导数 (16)13. 角速度 (17)14. 简单角速度 (17)15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (18)16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (20)17. 角速度叠加原理 (21)18. 角加速度 (22)19. 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (23)20. 动点的速度和加速度 (25)21. 刚体上两固定点的速度与加速度 (26)22. 相对刚体运动的点的速度和加速度 (27)23. 并矢 (28)24. 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (30)25. 约束 (33)25.1滑移铰 (34)25.2 旋转铰 (34)25.3 圆柱铰 (35)25.4 球铰 (36)25.5 平面铰 (36)25.6 固定铰 (37)25.7 点在线约束 (37)25.8 点在面约束 (38)25.9 姿态约束 (39)25.10 平行约束 (39)25.11垂直约束 (40)25.12 等速万向节 (41)25.13 虎克铰 (41)25.14 万向节 (42)25.15 关联约束 (43)26. 弹簧力的计算 (45)27. 阻尼力的计算 (46)III 问题求解 (47)28.Macpherson悬架多体系统动力学方程DAEs的建立 (47)29. DAEs的简单解法 (48)参考文献 (49)I 问题概述1. 多体系统仿真模型型：左面有5个物体： ● 下控制臂 ● 转向节 ● 轮毂 ● 上滑柱 ● 转向横拉杆 左面约束有7个：● 下控制臂与车身间的旋转铰 ● 下控制臂与转向节间的球铰 ● 转向节与轮毂间的旋转铰 ● 转向节与上滑柱间的滑移铰 ● 上滑柱与车身间的球铰● 转向节与转向横拉杆间的球铰● 转向横拉杆与转向齿条(这里固定于车身)间的虎克铰左面力有7个：● 转向节与上滑柱间的弹簧力 ● 转向节与上滑柱间的阻尼力 ● 五个物体的重力采用笛卡尔绝对坐标运用多体动力学的基本公式和动静法可以建立Macpherson 悬架的多体系统数学模型（DAEs ）。
柔性多体系统动力学的若干热点问题
第29卷 第2期1999年5月25日力 学 进 展ADVANCES IN M ECHAN ICS Vol.29 No.2May 25,1999柔性多体系统动力学的若干热点问题3于 清 洪嘉振上海交通大学工程力学系,上海 200030摘 要 全面综述了柔性多体系统动力学近年来的研究成果.对建模方法、模态选取及模态综合、动力刚化及柔性多体系统动力学中微分-代数方程的数值方法等研究热点进行了详细的阐述,并简要展望了柔性多体系统动力学今后的发展趋势.关键词 柔性多体系统动力学,建模方法,模态,模态综合,动力刚化,微分2代数方程,数值方法1 前 言柔性多体系统动力学研究由刚体和柔性体组成的复杂机械系统在经历大范围空间运动时的动力学行为,是多刚体系统动力学的自然延伸和发展.它主要研究柔性体的变形与其大范围空间运动之间的相互作用或相互耦合,以及这种耦合所导致的动力学效应.柔性体的变形运动与柔性体大范围空间运动的同时出现及其相互耦合是柔性多体系统动力学的本质特征,这个特征使其动力学模型不仅区别于多刚体系统动力学,也区别于结构动力学,是两者的结合与推广.柔性多体系统动力学是与经典动力学、结构动力学、控制理论及计算机技术紧密相联的一门新兴交叉学科,在航空航天、机器人、高速机构及车辆等各个领域有着广泛的应用,成为目前理论和应用力学最活跃的分支之一.虽然柔性多体系统动力学的模型可分别退化为多刚体系统动力学模型和结构动力学模型,但并非二者的简单结合.柔性体大范围空间运动与其弹性变形之间耦合的机理仍需深入研究,且这种耦合给动力学建模及数值计算带来了许多困难,使柔性多体系统与上述两种系统有本质不同的动力学特性.如何更为准确、高效地建立柔性多体系统的动力学模型,如何对柔性体进行模态选取与模态综合,如何处理柔性体经历大范围空间运动时的动力刚化问题,以及针对柔性多体系统动力学数学模型的数值方法的研究是柔性多体系统动力学的研究热点.本文主要针对上述问题进行详细深入的评述,以期较为全面地反映近年来国内外柔性多体系统动力学的研究现状.2 柔性多体系统动力学的建模方法柔性多体系统动力学的建模方法同多刚体系统动力学相似,也可分为绝对坐标和相对坐标收稿日期:1997209221,修回日期:19982022243国家自然科学基金和教育部高等学校博士点专项科研基金资助项目・541・两种方法,所不同的是在每种方法中均引入了有限元节点坐标或模态坐标以表示柔性体的变形. A. A.Shabana 等[1]用绝对坐标法建立了柔性多体系统的动力学模型,该方法用一致质量有限元方法对柔性体进行离散,柔性体的大范围转动用Euler 四元数来描述.绝对坐标方法具有程式化好、编程方便的优点,许多学者[2,3]的建模方法与此类似.但该方法广义坐标和约束方程较多,计算工作量较大,尤其对大型复杂系统,计算效率较差. E.J.Haug 在用铰相对坐标建立多刚体系统动力学模型[4]的基础上,根据矢量变分方法(Variational 2Vector Calcu 2lus Method )[5]和虚功原理,采用铰相对坐标加模态坐标的方法,建立了开环及含闭环的柔性多体系统的动力学模型[6,7].该方法对柔性体用集中质量有限元方法进行离散,用Euler 四元数描述柔性体的大范围转动.相对坐标方法具有动力学方程广义坐标和约束方程少、计算效率高的优点,但是程式化较绝对坐标方法差.潘振宽、洪嘉振和刘延柱等[8,9]根据Jourdain 变分原理,建立了绝对坐标下单柔体的动力学方程,利用递推关系,提出了相对坐标形式的树形柔性多体系统动力学的单向递推组集建模方法,并将其发展到含闭环的柔性多体系统中[10,11].该方法充分利用了绝对坐标方法建模的程式化形式,以单向递推组集的方法建立系统的动力学方程,具有较高的计算效率.对于闭环系统,该方法建立了绝对坐标下的切断铰约束库,利用递推关系将其转换到铰相对坐标和模态坐标上,得到了微分-代数形式的闭环柔性多体系统动力学方程.3 模态选取及模态综合 在柔性多体系统动力学中,如何描述柔性体的变形是非常重要的.最初的做法是直接将有限元节点坐标作为柔性体变形的广义坐标,这种做法的缺点是动力学方程中广义坐标的数目庞大,对于复杂的大型结构,这种做法使得数值积分几乎不可能进行.为此需要引入结构动力学中的坐标缩聚技术,使用少量的模态坐标代替节点坐标以降低动力学方程的求解规模.传统的做法是选取若干低阶的正则模态作为模态函数,可直接由有限元方法得到,且用正则模态得到的模态质量阵和模态刚度阵均为对角阵,减少了仿真计算的工作量.但正则模态是通过特征值分析得到的,只能较好地解决自由振动问题,而柔性体的变形是在外力、惯性力及联结铰约束反力等动载荷作用下的强迫振动问题,模态的选取必须考虑到动载荷的大小及其频率特性.W.S.Y oo [12]数值实验的结果表明:当柔性体上存在较大的非结构附加质量或联接铰中存在较大的动约束反力时,必须选取较多的正则模态(特别是高阶模态)来描述柔性体的变形,这使得模态坐标阵的维数和广义坐标数目增大,不利于动力学仿真计算.为了解决上述问题,W.S.Y oo [13]、于清和洪嘉振[11]将结构动力学中的静力校正模态引入到柔性多体系统动力学中.其原理为在柔性体受较大动载荷和外力的节点坐标上施加单位力,将由此得到的静变形作为模态坐标阵的一部分.因正则模态可较好地解决自由振动问题,静力校正模态能够反映柔性体在较大动载荷作用下引起的变形,类似于非齐次常微分方程解的构造,可在变形模态阵中同时选取正则模态和少量的静力校正模态,通过Gram 2Schmidt 正交化方法,使它们相互正交.柔性体的变形可表示为u =Ψn αn +Ψs αs (1)其中Ψn 和Ψs 为正则模态坐标阵及静力校正模态坐标阵,分别由特征值分析和静力分析得到,αn 和αs 为与之对应的模态坐标.柔性体的变形模态坐标阵Ψ为Ψ=[Ψn Ψs ](2)此时的模态质量阵Μm 及模态刚度阵Κm 分别为・641・Μm =ΨT ΜΨ=I nn 00ΨT s ΜΨs , Κm =ΨT ΚΨ=Λnn00ΨT s ΚΨs (3)其中Μ和Κ分别为柔性体的质量阵和刚度阵,Λnn 为一对角阵,其元素为与Ψn 对应的特征值.W.S.Y oo [12]较详细讨论了静力校正模态选取的方法,但指出静力校正模态的选取无严格的规律可循,绝大多数情况下还得依靠经验.S.H.Shin [14]对静力校正模态在动力学仿真中的应用进行了进一步的讨论,指出:如果由式(3)定义的模态质量阵Μm 中ΨT sΜΨs 矩阵对角元素的绝对值与单位值有数量级的差别,此时的模态质量阵是病态的.为了解决这一问题,可将静力校正模态乘上适当的系数,以保证模态质量阵具有良好的数值性态.另外,模态质量阵Μm 和模态刚度阵Κm 不一定是对角阵,这为动力学仿真带来了额外的工作量.对此可进一步求解如下的特征值问题{Κm -ω2i Μm }Χi =0 (i =1,…,m )(4)特征向量Χi 构成坐标变换阵Χ的列,于是可得到新的模态坐标阵ΦΦ=ΨΧ(5)可以看出,新的模态坐标阵Φ与Μ和Κ分别正交ΦT ΜΦ=Ιmm , ΦT ΚΦ=Λm m (6)此时柔性体的弹性变形可表示为u =Φα(7) H.T.Wu [15]分析了采用模态及模态坐标的方法描述柔性体的变形时引入的截断误差.设使柔性体变形的动载荷为F ,其中包括外力、D ’Alembert 惯性力及联接铰动约束反力三部分,截断误差R (t )为R (t )=F -M ΨΨT F +M ΨΛm m α-KΨα=(I m m -M ΨΨT )F -(K Ψ-M ΨΛm m )α(8)(8)式中第一项为用缩聚的模态坐标阵Ψ表示动载荷F 而引入的误差,一般说来,只使用正则模态不能减小此项误差,但选取静力校正模态可降低此项误差.(8)式中第二项当仅选取全部的正则模态时可自动消失.所以同时选取正则模态和静力校正模态作为变形模态坐标阵可降低截断误差,提高动力学仿真的效率.一些学者[16,17]认为模态坐标阵应是时变的,其变化规律由作用在柔性体上的动载荷F (t )决定,因此可引入结构动力学中的Ritz 矢量作为描述柔性体变形的模态坐标阵.其原理为在积分的每一时刻,根据动载荷的特性自动选取一时变的模态坐标阵描述柔性体的变形,使得截断误差较小.Ritz 矢量的计算可分为迭代和正交化两个过程,设所需的Ritz 矢量个数为k ,具体求解步骤为:(1)第一阶Ritz 矢量的计算及其正交化K <′1=F , <T 1M <1=19由(9)式可以看出,第一阶Ritz 矢量为柔性体在F (t )作用下的静变形.(2)高阶Ritz 矢量的计算及其正交化:其迭代过程为K <′i =M <i -1 (i =2,…,k )(10)・741・正交化过程首先使需求解的Ritz 矢量同已求得的Ritz 矢量正交,使用Gram 2Schmirdt 方法<″i =<′i -∑i -1j =1c j <j , c j =<T j M <′i (j =1,…,i -1)(11)然后使<i 与质量阵M 正交,即<T i M <i =1(12)H. F.Yeh [17]的研究表明用正则模态加少量的Ritz 矢量作为变形模态坐标阵,截断误差R (t )较小,并分析了此时集中质量有限元方法同一致质量有限元方法的差别.模态的选取是柔性多体系统动力学的一个关键问题,直接影响到动力学仿真的成功与否和计算精度及计算效率.其发展趋势为不再仅使用正则模态来描述柔性体的弹性变形,而是同时选取正则模态和少量的修正模态来降低截断误差.各种修正模态应充分应用有限元方法在预处理时的结果以减少仿真计算工作量,但如何准确选取修正模态及其阶数的多少仍是一个值得深入研究的问题.4 动力刚化现象动力刚化现象(Dynamic Stiffening )又称为应力刚度(Stress Stiffening )、几何刚度(G eo 2metric Stiffening )、几何非线性(G eometric Nolinearities )、运动诱发刚度(Motion Induced Stiffening )、初始应力刚度(Initial StressStiffening )[18],已成为柔性多体系统动力学近几年的研究热点之一.动力刚化现象的实质是作大范围空间运动的柔性体因运动和变形之间的相互耦合而导致的柔性体刚度的增大(附加动力刚度).传统的柔性多体系统动力学中,一般采用假设模态或线性有限元的方法来描述柔性体的变形,这种方法计算工作量小,在大部分情况下可满足工程实际的需要.但对作高速运动的柔性多体系统,在一定的条件下传统的建模方法会导致数值仿真的发散.T.R.Kane [19]于1987年指出:当柔性体高速转动时,传统的柔性多体系统动力学模型计算出的柔性体的变形与实验结果相比明显偏大,表现为柔性体刚度的明显减弱.Zhang Dajun 等[20]的结果表明,当细长梁的转动频率达到或超过梁的基频时,传统柔性多体系统动力学模型得到的梁的变形趋于发散.目前对动力刚化现象的分析方法可概括为以下几种典型的方法:(1)非线性有限元方法 在结构动力学非线性有限元方法的基础上,将柔性体的大范围空间运动及其弹性变形统一采用结点位移来表示,得到的动力学方程中包含了因柔性体的大应变而导致的动刚度矩阵.利用这种方法可分析作平面转动的大应变梁[21]和矩形板[22].非线性有限元方法的优点是可充分应用现有的非线性有限元分析软件,但因系统的广义坐标为有限元结点坐标,由此得到的动力学方程广义坐标数目非常庞大,且需采用隐式迭代算法,由此计算效率较低,不适合分析大型的复杂系统.(2)附加刚度法 附加刚度法又称为附加运动刚度法或附加几何刚度法.这种方法认为柔性体在做大范围空间运动时的变形是小变形大应变,变形和应变之间应为非线性关系.如在柔性体的位移-应变关系中过早地进行线性化处理,得到的柔性体的刚度阵为常值阵,不能反映柔性体的刚度与运动状况及应力状态的关系.应保留非线性的位移-应变关系,应用有限元方法得到因大范围空间运动引起的附加刚度.平面细长梁[23]的位移2应变关系较为简单,因此对其动力刚化问题的研究也较为成熟,其刚度矩阵可表示为K =K 0+K S (13)・841・其中K 0为通常的模态刚度阵,为常值阵,K S 为几何非线性刚度阵(附加动刚度阵),是梁轴向应力的函数.I.Sharf [24],C.Damaren [25]研究了空间梁,认为其刚度阵是变形广义坐标α的无穷级数.根据细长梁的位移-应变特性,刚度阵K 可采用Taylor 方法近似表达为K (α)=K 0+12!K G (α)+13!K B (α)(14)其中K G 为a 的线性函数,K B 为a 的二次函数,并且得到了K G ,K B 的显式表达式.J. F.Zhu [26]也从非线性的位移2应变关系出发,得到了均质薄板的动刚度矩阵,其结果较为繁琐.对任意的柔性体,其Green 2Lagrange 形式的应变张量为ε=[ε11 ε22 ε33 2ε12 2ε23 2ε31]T (15)ε中的各元素可表示为εαβ=12(u α,β+u β,α+∑3γ=1u γ,αu γ,β, u α,β=5u α5c β(16)其中c 为质点位置坐标.由(15)和(16)式可得到[27]ε=L u , L ≡L 0+L 1(u )(17)L 0和L 1(u )分别由(16)式中的线性部分和非线性部分导致.柔性体的应力2应变关系为σ=σr +H ε(18)σr 为初始应力[28].应用模态和模态坐标描述柔性体的变形,由变形引起的内力为[29] F C a =[K 0+K a ]a +F r a (19)K a =∫V [L 0Ψ]T σr d V , F r a =∫V [L 1(Ψa )Ψ]T σr d V (20)其中K 0为常值的模态刚度阵,K a 为动刚度矩阵.由(19),(20)式可以看出,当考虑到非线性位移2应变关系后,柔性体的刚度增大,是其初始应力σr 的函数. C. E.Padilla [30]也提出了任意形状柔性体的动刚度矩阵,其形式与(19)式相类似.对任意形状的柔性体,显然K a 无显式表达,必须借助有限元得到数值结果.因动刚度矩阵为变形广义坐标或应力的函数,因此在实际仿真过程中,积分的每一步必须重新拼装动刚度矩阵,工作量较大,不利于动力学仿真计算.O.Wallrapp [29]认为动力刚化现象实质上是柔性体的刚度随着其应力状态的变化而变化,除了大范围空间运动外,外力、约束反力也是引起动力刚化现象的因素,柔性体内部应力越大,其动力刚化现象越明显.因(20)式中动刚度与初始应力成线性关系,可应用有限元方法预先计算出与单位影响因素(惯性力、外力、铰约束反力)对应的单位动刚度矩阵,实际仿真计算中,就可以非常方便地得到柔性体的动刚度矩阵.如可预先计算柔性体沿某个方向转动时单位惯性力^F r a 产生的应力而导致的动刚度矩阵^K a ,在仿真计算时惯性力F r a 引起的动刚度矩阵就可方便地表示为K a =^K a (^F r a )F r a (21)A.K.Banerjee [31]就柔性体大范围空间运动引起的运动诱发刚度矩阵提出了一种新的计算方法:在小变形和线弹性假设的前提下,预先将柔性体的动刚度矩阵分解为12个与运动学参数・941・有关的动刚度矩阵(考虑微元的转动效应时为21个),用有限元程序计算出柔性体在单位运动学参数作用下的单位动刚度矩阵.在实际仿真过程中,每个积分时刻只要用单位动刚度矩阵乘以柔性体大范围空间运动学量的幅值,就可得到其动刚度矩阵,极大地简化了仿真计算.(3)变形耦合方法 Zhang Dajun 等[32]认为柔性体刚度的减弱是由于在运动学关系中过早地对变形的广义坐标进行了线性化,忽略了导致刚度增加的非线性项.为了保留弹性变形的非线性特性,将柔性体的变形场用模态坐标的二阶小量描述,形成精确到二阶小量的运动学描述.设保留柔性体的前s 阶模态,变形场可表示为u i =N ij a j +12N ipj a p a j (i =1,2,3; p ,j =1,…,s )(22)其中,α为模态坐标,N ij 为传统的形函数,N ipj 为耦合形函数.利用Lagrangian 应变张量和小变形假设,可得到N ipj 的表达式为N ipj =-∫x i 05N kp 5ξi ,5N kj 5ξi d ξi (i =1,2,3)(23)应用Kane 方法,在偏线速度和偏角速度的计算时对模态坐标进行线性化处理,由此也可得到柔性体的动刚度矩阵.但此方法只对简单形状的柔性体如均质梁、均质板有效,对复杂形状的柔性体,(23)式很难得到解析表达式,数值积分也较为困难.(4)子结构方法 S. C.Wu [33],A.Q.Liu [34]提出了解决动力刚化问题的一种数值方法.将柔性体分为若干子结构,认为在子结构中柔性体的变形为小变形、小应变,位移-应变的线性化假设仍然成立.这样,应用已有的柔性多体系统动力学模型就可较好地解决动力刚化问题.在这种方法中,对内部子结构采用了约束模态以满足相容的位移边界条件,因此虽然子结构中的变形是线性的,但整体结构的变形是非线性的.这种方法的优点是对现有的柔性多体系统动力学模型和分析软件不作任何修改就可计及动力刚化效应,但其结果明显依赖子结构的数目,且在各子结构的对接面上必须引入约束方程以满足变形的连续性,对复杂的大型结构,此方法的计算工作量非常大.动力刚化现象到目前为止,仍是柔性多体系统动力学研究的热点和难点,各种方法因在柔性体的变形或位移-应变关系中考虑了不同的附加非线性项,因此都可得到附加的刚度项.但柔性体的刚度与其大范围空间运动之间的内在联系以及导致动力刚化现象的根本原因仍是值得深入研究的课题.目前还没有一种非常通用和程式化的处理动力刚化问题的方法,适合大型通用柔性多体系统动力学仿真软件的开发.对动力刚化现象研究的趋势应是非常清楚的:即必须充分利用有限元技术,在动力学仿真的预处理阶段生成动刚度矩阵或与各种影响因素对应的单位动刚度矩阵,在仿真计算时只需根据柔性体的运动状态或应力状态对其进行简单的处理即可得到柔性体的动刚度矩阵,以最大限度地简化仿真计算.5 柔性多体系统动力学微分-代数方程组的数值方法 受约束柔性多体系统的控制方程为动力学方程(微分方程)同约束方程(代数方程)联立求解的微分2代数混合方程,又称DAE 方程(Differential Algebraic Equations ).据公认的分类术语[35],DAE 方程为指标3问题,与常微分方程不同,在数值计算上存在困难.在仿真过程中随着误差的积累,约束方程的违约加剧,得到的解已不能表示受约束多体系统的真实运动,必须对约束方程的违约进行抑制,使数值积分得以顺利进行.微分-代数方程组的求解方法已成为目前多体系统动力学的难点问题,近二十年来国内外进行了大量的研究工作.目前的研究方法大体可分为两类:一种是从微分-代数方程组本身出发,利用现代数学的研究成果将约束・051・方程定义为流形,对微分-代数方程组进行降阶处理,将其转化为由约束方程定义的流形上的常微分方程[36].这种方法的优点是可以直接应用求解常微分方程的技术,避免约束方程的违约.但在求解过程中必须计算由约束方程定义的流形零空间的基,计算工作量大,对复杂的多体系统,零空间基的计算缺乏成熟的方法,且有时并不唯一;另一种方法是在动力学方程中引入附加校正项,当约束方程产生违约时,对动力学方程进行校正[37].目前的校正方法多为间接校正方法,不能对系统的广义坐标进行直接的校正以满足约束方程.另外,在动力学方程中加入附加校正项需给定校正系数,校正系数太小校正效果不明显,校正系数太大容易引起动力学方程的破坏.目前还没有校正系数的自动选取方法,大都凭经验选取校正系数.对微分-代数方程组的求解方法在文献[38]中已进行了较详细的讨论,本文仅对近年来一些新的校正方法进行综述.设受约束多体系统的广义坐标数为n ,系统受到m 个独立的完整约束,约束方程的一般形式为Θ(y ,t )=0(24)其中y 为系统的广义坐标阵,速度形式和加速度形式的约束方程可分别表示为Θ(y , y ,t )=Θy y -η=0(25)¨Θ(y , y ,¨y ,t )=Θy ¨y -ξ=0(26)其中Θy 为约束方程的Jacobi 矩阵,η和ξ分别为速度和加速度约束方程的右端项.受约束多体系统的动力学方程为Z ΘT y Θy 0¨y μ=z ξ(27)其中Z ,z 分别为系统的广义质量阵和广义力阵,μ为拉格朗日乘子.在数值积分动力学方程(27)时,由于积分误差的影响,得到的y 和 y 不能满足约束方程(24)和(25),即出现违约现象,必须加以校正.511 位移约束方程、速度约束方程同时自动修正方法[39] 设积分步长为h ,在积分的第n +1步对位移约束方程Θ进行Taylor 展开,有Θn +1=Θn +h Θn +h 22¨Θn +O (h 3)(28)若y n 满足¨Θn +h 2 Θn +2h 2Θn =0(29)则恒有Θn +1=O (h 3)(30)即(29)式对位移约束方程有自动修正能力,修正后的动力学方程为Z ΘT y Θy 0¨y μ=z ξ-2h Θ-2h 2Θ(31)方程(31)为稳定的微分方程.同Baumgarte 约束稳定法[40]相比,有α=1h , β=2h (32)・151・即上述方法提供了Baumgarte 约束稳定法中校正系数α,β的自动选取方法.但上述方法仍未考虑速度约束方程的违约问题,并可能进一步破坏速度约束方程.为此可对位移约束方程和速度约束方程同时进行Taylor 展开,并且强制Θn +1=O (h 3), Θn +1=O (h 2),可得到Θn =-2h Θn , ¨Θn =-1h Θn (33)设W (y )是约束Jacobi 矩阵Θy 零空间的一组基,位移约束方程和速度约束方程同时修正后的动力学方程为W T Z 0Θy 0W TZ 0Θy y ¨y =W TZ y -2h ΘW T z -1hΘ(34)W (y )的选取一般可通过对ΘT y 进行QR 分解得到,但并不唯一.512 广义坐标主动校正方法[41,42] 设积分到t =t k 时得到广义坐标为^y k ,当约束方程的违约超过了给定的精度范围时,可认为Θk =Θ(^y k ,t k )≠0.此时需对^y k 加入校正项δy k ,使Θ(y k ,t k )=0,即y k =^y k +δy k(35)并且有Θk =Θ(y k ,t k )=Θ(^y k ,t k )+δΘk =0(36)由(36)式可得到δΘk =-Θ(^y k ,t k )(37)这里Θ(^y k ,t k )假设很小,所以有(Θy )k δy k =-Θ(^y k ,t k )(38)由矩阵的广义逆理论,应用Θy 的Moore 2Penrose 广义逆Θ+y ,此时方程(38)存在极小范数解δy k =-Θ+y Θk =-(Θy )T k (Θy )k (Θy )T k -1Θ(^y k ,t k )(39)将δy k 代入(35)式,广义坐标^y k 得到校正.由(39)式得到的极小范数解有很明确的物理意义,即(39)式不仅对系统的广义坐标进行了校正,使约束方程得到满足,而且因其具有极小范数,意味着在违约得到校正的条件下,极小范数解对广义坐标的校正幅度最小,也就是对系统的动力学方程的破坏最小,由此得到的广义坐标最接近系统的真实运动,这对数值仿真是至关重要的.这种主动校正方法的优点是可重复进行,直到将约束方程的违约控制在任意规定的精度范围内.对速度约束方程的违约可采用类似的方法.微分2代数方程组的求解方法是多体系统动力学的一个难点,目前仍无非常通用和程式化的方法.但其发展趋势是校正方法应自动进行,不需人工干预,且违约校正不能以破坏系统的动力学方程为代价.・251・6 结束语 本文综述了柔性多体系统动力学近年来国内外的研究成果.对柔性多体系统动力学的建模方法、模态的选取与模态综合、动力刚化现象以及柔性多体系统动力学微分-代数方程组的数值方法等研究重点进行了详细的阐述,并对各研究重点今后的发展作了展望.柔性多体系统动力学今后总的发展趋势应为:(1)如何更好地同具体的工程问题相结合.(2)如何面向当今飞速发展的计算机技术.(3)如何将现代控制理论引入柔性多体系统动力学中以解决大型复杂柔性机构的控制问题.(4)如何应用现代数学的研究成果.参 考 文 献1Chen C ,Shabana A A ,Rismantab 2Sany J.G eneralized constraint and joint reaction forces in the inverse dynamics of spatial flexible mechanical systems.Journal of Mechanical Design ,1994,116:777～7842G ofron M ,Shabana A A.E ffect of the deformation in the inertia forces on the inverse d ynamics of planar flexible mechanical systems.Nonlinear Dynamics ,1994,6:1～203陆佑方.柔性多体系统动力学.北京:高等教育出版社,19964Bae D S ,Haug E J.A recursive formulation for constrained mechanical s ystem dynamics :part 1:open loop sys 2tems.Mech S t ruct &M ach ,1987,15(3):359～3825Haug E J ,Wu S C ,K im S S.Dynamics of flexible machines :avaritional a pproach.In :Bianchi G ,Schiehlen W eds.Dynamics of Multibody Systems.Berlin Heidelberg :Springer ,19866K im S S ,Haug E J.A recursive formulation for flexible multibod y dynamics ,part 1:open 2loop 2puter Methods in A pplied Mechanics and Engineering ,1988,71:293～3147K im S S ,Haug E J.A recursive formulation for flexible multibody dynamics ,part 2:closed 2loop 2puter Methods in A pplied Mechanics and Engineering ,1989,74:251～2698潘振宽,洪嘉振,刘延柱.柔性机械臂动力学方程单向递推组集建模方法.力学学报,1993,25(3):327～3339潘振宽,洪嘉振,刘延柱.链状柔性多体机器人动力学研究.固体力学学报,1993,14(4):323～32910于清,洪嘉振.静力校正模态在闭环柔性多体系统动力学仿真中的应用.见:洪嘉振,贾书惠主编.多体系统动力学与控制.北京:北京理工大学出版社,1996:27～3011Yu Qing ,Hong Jiazhen.Static correction modes in dynamic simulation of flexible multibody systems with closed loops.Journal of S hanghai Jiaotong U niversity (English Edition ),1997,E 22(1):17～2012Y oo W S ,Haug E J.Dynamics of articulated structures ,part puter implementation and applications.J S t ruct Mech ,1986,14(2):177～18913Y oo W S ,Haug E J.Dynamics of flexible mechanical systems using vibration and static correction modes.Journal of Mechanisms ,T ransmissions ,and A utom ation in Design ,1986,108:315～32214Shin S H ,Y oo W S.E ffects of mode selection ,scaling ,and orthogonalization on the dynamic analysis of flexible multibody systems.Mech S t ruct &M ach ,1993,21(4):507～52715Wu H T ,et al.Selection of modal basis for flexible bodies of mechanical s ystems.Mech M ach Theory ,1995,30(3):471～48916Wu H T ,Mani N K.Modeling of flexible bodies for multibody dynamic systems using ritz vectors.Journal of Mechanical Design ,1994,116:437～44417Y en H F ,Dopker B.Deformation mode selection and mode orthonormalization for flexible bod y system puters &S t ructures ,1990,34(4):615～62718Ryu J ,K im Sang Sup ,K im Sung S oo.A general approach to stress stiffening effects on flexible multibody dynam 2ic systems.Mech S t ruct &M ach ,1994,22(2):157～18019K ane T R ,Ryan R R ,Banerjee A K.Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base.Journal of Guid 2ance ,Cont rol and Dynamics ,1987,10(2):139～15120Zhang Dajun ,Liu Y ouwu ,Houston R L.On the dynamics of an arbitrary flexible body with large overall motion ,an integrated approach.Mech S t ruct M ach ,1995,23(3),419～43821Simo J C ,Quoc V L.On the dynamics of flexible beams under large overall motion ,the planar case ,part 1.Journal of A pplied Mechanics ,1986,53:849～85422Simo J C ,Quoc V L.The role of non 2linear theories in transient dynamic analysis of flexible structures.Journal of Sound and V ibration ,1987,119(3):487～50823Hsiao K M ,Y ang R T ,Lee A C.A consistent finite element formulation for non 2linear dynamic analysis of planarbeam.International Journal f or N umerical Methods in Engineering ,1994,37:75～89・351・。
第2章多体系统动力学基本理论.
第2章多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。
通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。
2.1 多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。
从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。
本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。
2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。
计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。
数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。
计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。
两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。
多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。
多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。
它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。
Adams柔体建模基本理论(flexible theory about adams )
第一章
1.1
变形的模态坐标描述-固定界面模态综合
柔体变形的模态表示
根据模态展开原理，柔性体正交的主振型 1 , 2 , 3 ,..., n 构成了 n 维空间的一组向量基， 对于具有 n 个自由度系统的任何振动形式，都可以表示成这 n 个主振型的线性组合。然而对 于实际结构，自由度数目无限，由于高阶振型对响应的贡献小，故取有限个低阶振型代替， 而将其余的高阶振型舍去，得到：
且
m mkk
I
T mkj mT jk ik mii ij mij
jk kkk k 0 jk
mkj m jj 0kj k jj
m jj m jj T ij mii ij mij m ji ij 12 0 kkk ... 2 0 K k jj k jj k ji ij
ui ii u j 0 ji
(14)
式 中 pi 对 应 于 主 模 态 的 模 态 坐 标 ， p j 对 应 于 约 束 模 态 的 模 态 坐 标 ， 显 然 有
p u
j j
，即约束模态坐标就是界面的物理坐标。
实际问题中， 为了减少系统自由度，常常对其进行截断近似处理。将(9)式得到的子结构的主 模态集取 K 阶，即去掉高阶主模态，保留前 K 阶低阶主模态。得到与式(14)类似的变换关 系。
1 c
情况 2， u3 1 ，另一界面坐标 u2 0 ，由于 u2 0 ，所以 u1 0 ，这样约束模态
0 0 1
2 c
可以看出，这样求得的 c 和前面利用公式求得的一样。
多体系统动力学基本理论
The orientation cosine matrix is A A1 A2 A3 (i j k i3 j3 k3 )
k 2 (k3 ) k (k1 )
j3
j2
1
i
j
k i1 k2 k k1 sin j2 cos k2 sin (sin i3 cos j3 ) cos k3 i1 i2 cos i3 sin j3 k2 k3
i1 j1 k1
cos sin 0 A1 sin cos 0 0 0 1
i
i1 (i2 ) i3
j
i1 j1 k1
i1 i2 j j 1 A2 2 , k1 k 2
(i1 )
i2 j2 k2
0 0 1 A2 0 cos sin 0 sin cos
i2 j2 k2
(k 2 )
i3 j3 k3
i2 i3 cos sin 0 j2 A3 j3 , A3 sin cos 0 k 2 k3 0 0 1 i i1 i2 i3 j j j j A1 1 A1 A2 2 A1 A2 A3 3 k k1 k 2 k3
Name DADS ADAMS Formulation method Newton Euler First Lagrange Results Time history Animation Time history Animation Frequency Response Time history
第九章多柔体系统动力学分析方法概要
o
0
x'
U4
o'
Xo
Yo
O
图9-3 随动坐标系
X
u T U Us .
(9-19)
式中 U U1 U6 为单元结点在整体坐标系下的位移向量； T 为方向变换矩阵；U s 为附加位移向量。
c s 0 T 0 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 c 0 s 0 0 0 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 1
K
T T T 1 1 T 1 2 T 1 0 0 T T s
(9-7)
(9-8)
由于坐标转换矩阵 T 不再是常数矩阵，方程(9-7)是一个 变系数非线性微分方程。系统方程的组建和求解非常困难。
9．2 基于多柔性系统动力学的平面梁单元运动方程：
2
9.3.1结点运动参数在整体与随动坐标系下的关系
如图9-3所示随动坐标系，图中XOY 为整体坐标系，
xoy 为随动坐标系，其初始时与单元局部坐标系x ' o' y ' 重合
由图9-3可得随动坐标系和整体坐标系下结点位移的相互关系
Y
u6
U6
y
u3
U3
u5
u4
U5
x
y'
U2
X oo Yoo
U1Leabharlann u1u2 0 70 0 0 140 0 0 0 0 156 22L 0 0 36 54 13 L 2 2 0 22L 4L 0 13L 3L I 0 3L aL 420 70 0 0 140 0 0 30L 0 0 0 54 13L 0 156 22L 0 36 2 2 0 13L 3L 0 22L 4L 0 3 L
柔性多体动力学建模
柔性多体动力学建模、仿真与控制近二十年来，柔性多体系统多力学（the dynamics of the flexible multibody systems）的研究受到了很大的关注。
多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型。
huston认为：“多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。
最活跃的一些子领域是：模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实际应用。
这些领域里的每一个都充满着研究机遇。
” 多柔体系统动力学近年来快速发展的主要推动力是传统的机械、车辆、军械、机器人、航空以及航天工业现代化和高速化。
传统的机械装置通常比较粗重，且*作速度较慢，因此可以视为由刚体组成的系统。
而新一代的高速、轻型机械装置，要在负载/自重比很大，*作速度较高的情况下实现准确的定位和运动，这是其部件的变形，特别是变形的动力学效应就不能不加以考虑了。
在学术和理论上也很有意义。
关于多柔体动力学方面已有不少优秀的综述性文章。
在多体系统动力学系统中，刚体部分：无论是建模、数值计算、模拟前人都已做得相当完善，并已形成了相应的软件。
但对柔性多体系统的研究才开始不久，并且柔性体完全不同于刚性体，出现了很多多刚体动力学中不呈遇到的问题，如：复杂多体系统动力学建模方法的研究，复杂多体系统动力学建模程式化与计算效率的研究，大变形及大晃动的复杂多体系统动力学研究，方程求解的stiff数值稳定性的研究，刚柔耦合高度非线性问题的研究，刚-弹-液-控制组合的复杂多体系统的运动稳定性理论研究，变拓扑结构的多体系统动力学与控，复杂多体系统动力学中的离散化与控制中的模态阶段的研究等等。
柔性多体动力学而且柔性多体动力学的发展又是与当代计算机和计算技术的蓬勃发展密切相关的，高性能的计算机使复杂多体动力学的仿真成为可能，特别是计算机的功能今后将有更大的发展，柔性多体必须抓住这个机遇，加强多体动力学的算法研究和软件发展，不然就不是现代力学，就不是现代化。
柔性多体动力学建模
柔性多体动力学建模、仿真与控制近二十年来，柔性多体系统多力学（the dynamics of the flexible multibody systems）的研究受到了很大的关注。
多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型。
huston认为：“多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。
最活跃的一些子领域是：模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实际应用。
这些领域里的每一个都充满着研究机遇。
”多柔体系统动力学近年来快速发展的主要推动力是传统的机械、车辆、军械、机器人、航空以及航天工业现代化和高速化。
传统的机械装置通常比较粗重，且*作速度较慢，因此可以视为由刚体组成的系统。
而新一代的高速、轻型机械装置，要在负载/自重比很大，*作速度较高的情况下实现准确的定位和运动，这是其部件的变形，特别是变形的动力学效应就不能不加以考虑了。
在学术和理论上也很有意义。
关于多柔体动力学方面已有不少优秀的综述性文章。
在多体系统动力学系统中，刚体部分：无论是建模、数值计算、模拟前人都已做得相当完善，并已形成了相应的软件。
但对柔性多体系统的研究才开始不久，并且柔性体完全不同于刚性体，出现了很多多刚体动力学中不呈遇到的问题，如：复杂多体系统动力学建模方法的研究，复杂多体系统动力学建模程式化与计算效率的研究，大变形及大晃动的复杂多体系统动力学研究，方程求解的stiff数值稳定性的研究，刚柔耦合高度非线性问题的研究，刚-弹-液-控制组合的复杂多体系统的运动稳定性理论研究，变拓扑结构的多体系统动力学与控，复杂多体系统动力学中的离散化与控制中的模态阶段的研究等等。
柔性多体动力学而且柔性多体动力学的发展又是与当代计算机和计算技术的蓬勃发展密切相关的，高性能的计算机使复杂多体动力学的仿真成为可能，特别是计算机的功能今后将有更大的发展，柔性多体必须抓住这个机遇，加强多体动力学的算法研究和软件发展，不然就不是现代力学，就不是现代化。
柔性多体系统刚_柔耦合动力学
增 加 叶 片 高 度 是 扩 大 单 机 功 率 的必
由之 路
成 为 各 国 汽 轮 机 技 术 发 展 的共 同 方 向
,
由于 汽 轮 机 的 叶片 通 过 拉 筋 和 阻 尼 器 相 联 结
,
并成 组装 在 轮 盘 转 子上 振动 加剧 实 际相差太远
而 轮 盘 转 子本 身也是 弹性体
因 此 增 加 叶 片 高 度 势 必 引 起 轮 系 的祸 合 显 然与工程
由此 可 见
,
火 炮 系 统 同样 存 在
柔 性 多体 系 统 的 刚 综上所述
柔 藕 合 的 问题
,
目前 工 程 中 复 杂 机 械 系 统 的部 分 构 件 已 采 用 轻 质 柔 性 材 料
,
系统 的 运 行 速 度 加
快
,
运 行 精 度 的要 求越 来越 高
,
系统 的动 力 学 性 态 越 来 越 复 杂
,
这 些 都 已 成 为 工 程 预 研 与 设 计 的大 难 题
, ,
不 同 的约 束
、
不 同 的受 力 与 控 制 环 节 的 多 体 系 统
,
建 立 通 用 的程 式 化 的动 力 学 模 型
研究
处 理 这 些 数 学 模 型 的计 算 方 法
开 发 处 理 多体 系统 动 力 学 通 用 的 软件 系统
提
出有 效 的 规 划 控 制 方 法 与 机 械 臂 减 振 的 主 动 控 制 方 法
现代 化 生产 大量 采 用 了工 业 机 器人 技 术
且 从 感 官 上 突 破 了人 类 的 极 限 对 于 车辆 系统
,
高 速 与 高 精 度 装 配 机 器 人 的采 用 不 仅 从 效 率上 而
柔体动力学介绍
柔体动力学介绍一、KED （Kineto-Elastodynamics ）法KED 法，即运动弹性动力学，由美国学者Erdman 和Sandor 提出。
该方法的研究始于上个世纪60年代，早期研究者仅把部件（一般是一个，如四杆机构的连杆）看作是柔性的，并且只考虑其一种变形（如杆件的弯曲变形），方程中也引入较多假设。
70年代初期，Erdman 和Sandor 将结构动力学中的有限元方法移植到机构分析中来，克服了模型过于简单的缺陷。
我国自80年代初开始研究机构弹性力学，学者张策对KED 法做了大量研究。
KED 法在分析机构的真实运动时，均假设： 与采用刚性机构的运动分析法的到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移很小； 这种弹性位移不会影响机构的名义运动。
依据上述假设，机构真实运动的位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加。
名义运动可以用刚体机构运动和动力学分析方法求出，弹性位移则用弹性动力学分析方法求出。
为了使所建模型较准确反应原机构系统的特性，现在普遍采用“子结构分析方法”，即把系统按结构划分为子结构单元，然后建立单元和子结构的运动方程，最后将单元和子结构的运动方程组合成系统的运动方程。
对于连续体的离散，有1）集中参数模型2）有限元模型两种建模方法。
以一个简单例子为例：一般弹性动力学方程为：()()()()+=++=+-rr r rf f e v r rff f ff f e v fr rf f M y M y q q M y K y q q M y 其中，第一个方程描述的是机构的刚体动力学方程，第二个方程描述的是机构的结构振动方程。
表示机构广义刚体位移，表示机构广义弹性位移，r y f y 表示机构所受外力，表示机构的科氏力和离心力。
对于KED 方法，变形e q v q 对刚体运动的影响忽略不计，因此，忽略耦合项，上述方程变为：()()()=+=+-rr r e rff f ff f e v fr rf f M y q M y K y q q M y 从上式可以看出，由于KED 方法的假设，使方程得到很大的化简，提高了计算效率，此方法对于作大范围刚体运动，机构刚度大（即弹性变形小的系统）适用。
柔性多体系统动力学Stif微分方程数值积分方法_潘振宽
法 [3] ,选用的实验模型为理想的双自由度弹性摆系统。 用摆的转角模拟多体系统中的慢变运 动 ,用其中弹簧模拟多体系统中的弹性变形。通过调整两类运动的固有频率比例关系人为制造 不同程度的 Sti ff 情形 ,通过大量实验观测积分步长选取同 系统最高与最低固有频比的关系。
2 物理系统中的非线性耦合与 Stiff来源
Abstract Dynamic equati ons of f lexi ble mul tibody s yst em s are Sti ff equations. Th e validi ty of th e 4th order Rung e-Kut ta met hod, Trenor meth od, Adams meth od , Gear m et hod, N ew mark method is t es t ed th rough a l ot of num erical ex prim en ts , bas ed on t he basi s of w hi ch a usef ul conclusi on i s d raw n. K ey words Flexi ble mul tibody; Sti ff dif f erenti al equai t on s; N umeri cal analysi s
多柔体系统动力学理论概述
多柔体系统动力学理论概述考虑部件柔性效应的多体系统称为多柔体系统。
多柔体系统动力学主要研究部件的大范围刚体运动和部件本身的弹性形变互相耦合作用下的系统动力学响应。
它是多刚体系统动力学的自然发展，同时也是多学科交叉发展而产生的新学科。
多柔体系统动力学在某种特定假设下可以退化为多刚体系统动力学和结构动力学问题，但其本质是一个高度非线性的耦合复杂问题。
对于多柔体系统动力学建模方法和数值求解的研究，目前已取得了不少成果。
其主要思想是基于多刚体系统动力学，对柔性结构变形进行描述，通常使用有限段方法和模态综合法，在对位形的描述上又分为相对坐标方法和绝对坐标方法。
有限段方法仅适用于细长结构体，其本质是用柔性梁描述结构体的柔性效应，即将柔性结构体离散成有限段梁，每段梁之间用扭簧、线弹簧和阻尼器连接，建立梁段间相对角速率和体间相对（角）速度的广义速率的动力学方程。
模态综合法适合小变形大规模多体系统分析，其将柔性结构体等效成有限元模型节点的集合，将柔性结构体变形处理成模态振型的线性叠加。
同时，每个节点的线性局部运动近似看为振型和振型向量的线性叠加。
一、柔性体运动学描述假设某柔性体如图1所示，在柔性体上建立随体坐标系Oxyz。
图1 柔性体上节点P的位置则在全局坐标系中表示节点P的矢径的列阵为式中，u′o为物体变形时P点相对于o点位矢动坐标的列阵，为常数列阵；u′f为P点相对位移矢量在动坐标系中的列阵。
应用模态综合法，u′f可以表示为式中，Φ＝［Φ1Φ2…ΦN］为模态向量矩阵；q f＝［q f1q f2…q fN］为模态坐标。
将其代入可得对式（1.31）求一阶导数和二阶导数，得到P的速度和加速度表达式：二、多柔体系统的动力学方程本小节使用第一类Lagrange方程建立多柔体系统的动力学方程。
1.柔性体的动能柔性体的动能用广义速度表达为式中，ρ和V分别为柔性体密度还有体积；为柔性体上一点的绝对速度；为广义速度；M为质量（mass）矩阵，可以写成分块形式：2.柔性体的弹性势能柔性体的弹性势能可以由模态刚度矩阵表示：3.阻尼力阻尼力的大小和广义速度相关，通过损耗函数对广义速度的偏导数得到。
柔性多体系统动力学的建模、降阶及精细计算研究
引 言…………………………………………………………..46 精细积分法的基本构造……………………………………….46 刚性方程的精细积分法……………………………………….49 非线性方程的精细积分法…………………………………..52 柔体系统动力学方程的精细积分法………………………..55 小 结………………………………………………………….58
西北工业大学硕士学位论文
第一章
绪论
第一章
§1.1
绪
引 言
论
随着现代科学技术的迅猛发展，自然科学也形成了一个多层次的理论体系。 特别是系统论、信息论和控制论的出现，使各学科不断从分化走向整合，代表着 现代自然科学发展的一个趋势。这种整合的趋势，不仅产生了一大批新的学科， 而且各学科取长补短，通过边缘交叉与渗透，不断形成新的学术思想，拓展出新 的研究领域，同时也大大促进了基础研究与工程应用的密切结合，新的研究成果 不断涌现。 柔性多体系统动力学就是近二十多年发展起来的一门新兴学科。它是由多刚 体系统动力学、连续介质力学、结构动力学、计算力学、现代控制理论、计算方法、 以及计算机技术等学科构成的一门交叉性、边缘性学科。它是在航天、机器人、地 面车辆、机械系统等向轻型化、高速化、大型化和高精度方向发展，以提高运作精 度、减少能量耗损、适应复杂运行环境和延长使用寿命的背景下发展起来的。柔性 多体系统动力学的研究是当今理论和应用力学中非常热门的领域。 柔性多体系统动力学是在现代科学技术革命的推动下产生的。 新技术革命使 空间探索、海洋开发、机器人及复杂精密机械（机构）设计快速发展，出现了大 量用传统理论无法解决的问题，迫切需要用新的理论解决这些新的问题。特别是 近二十年来，卫星及航天器飞行稳定性、太阳帆板展开、姿态控制、交会对接需 求和失败的教训，以及巨型空间站的构建（上面携带巨型的操作机械臂及庞大的 作步进运动的太阳能电池及天线阵）；高速轻型地面车辆、机器人、精密机床等 复杂机械（机构）系统的高性能、高精度的设计要求；人体运动、创伤康复医疗 对人肢体运动深入了解的需求等等
柔性多体机械系统动力学特性的ADAMS仿真研究
柔性多体机械系统动力学特性的ADAMS仿真研究摘要:为研究构件柔性和运动副间隙对机构动力学特性的影响，应用ADAMS软件仿真研究含柔性构件和运动副间隙的机构的动力学特性。
引入固定界面动态子结构方法和非线性碰撞模型，建立了含间隙和柔性构件的曲柄滑块机构的动力学模型，研究了该机构在摩擦、材料阻尼、重力及外载荷力等多种工况下的动力学特性。
ADAMS仿真计算表明，在含柔性构件和运动副间隙的曲柄滑块机构中，间隙和构件柔性相互作用，激起系统大范围的振动，加剧了能量损耗，降低了系统的使用性能，并呈现出特殊的非线性动力学特性。
关键词：间隙；碰撞；柔性多体；机构动力学1. 引言高速和高精度是现代工业对机械系统的要求，构件的弹性和运动副的间隙可能会导致系统的整体性能急剧下降，使机构的实际运动和理想运动之间产生了偏差，增加了构件的动应力，从而引起构件的振动，产生噪音，加速磨损，降低效率和工作精度，所以设计中必须考虑这些因素的影响。
含运动副间隙和柔性构件的动力学成为了机构动力学的前沿课题。
从70年代起， Earles和Wu[1]、Mansour和Townsend[2]、Furuhashi、Morita和Matsuura[3]、Soong和Thompson[4]、Kakizaki[5]、Deck和Dubowsky [5][6]、Seneviratne L D[7]及Zakhariev[8]等对含间隙机构动力学进行了系统地研究。
根据运动副元素的相对运动关系的不同假设，主要有三类运动副间隙模型：认为运动副元素在运动过程中始终保持接触，忽略间隙中冲击特性的连续接触模型[1][3][7]；认为运动副元素存在接触、自由和碰撞三种状态，但忽略碰撞时间，使用动量定理和恢复系数建立的间隙模型[2][4]；另一类模型则考虑接触和自由状态以及碰撞过程，这类模型应用较广[5][6][8]。
柔性多体系统建模和计算的研究成果很丰富。
对于某些特殊结构，柔性多体系统存在有刚体大位移运动与弹性小变形的耦合，因此，系统方程高度非线性而且是刚性的，这给计算带来了不利因素，计算效率和精度成为主要矛盾，很多研究者致力于提高计算精度和计算效率。
多柔体系统动力学
多柔体系统动力学
多柔体系统动力学是近年来发展起来的一门重要的理论，它以系统仿真的方式研究物体的运动，将多柔体、多物理过程综合起来，使其能够根据环境条件，表现出复杂、随机的多物理运动模式。
多柔体系统动力学的几何表示方式一般分为两种；其一是结构方式，即将多柔体系统的位置与角度以空间图形的方式表示；其二是动力学方式，以动态矢量的方式表示多柔体的空间运动轨迹状态。
多柔体系统动力学的模拟结果可以用于研究复杂体系中物体受力情况，界定柔性物体特有的运动模式，诊断多物理复杂体系中传动构件失效的原因及机理，改善实际工程中物体运动的稳定性及可靠性，从而减少机械失效所带来的损失。
多柔体系统动力学为多领域的应用领域提供了可靠的理论支持，为解决现实生活中的各种工程问题提供了新的思路与方法，其广泛的的应用范围包括机械制造、汽车、航空、机器人、船舶等领域。
总之，多柔体系统动力学是一种新科学，决定了发展多物理体系和工程设计的方向，扩大了工程设计与研究的空间，具有重要的研究价值以及实际应用价值。
故多柔体系统动力学的发展将为加强实际工程中的可靠性、灵活性及可控性提供有效的理论支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多体动力学摘要采用笛卡尔绝对坐标通过动静法建立多刚体系统的动力学方程。
目录I 问题概述 (3)1. 多体系统仿真模型 (3)2. 静力学问题 (4)3. 运动学问题 (4)4. 动力学问题 (4)II 基本概念和公式 (4)5. 参照物 (4)6. 矢量 (5)6.1 矢量的定义及符号 (5)6.2 矢量的基本运算 (5)6.3 单位矢量的定义及符号 (6)6.4 零矢量的定义及符号 (6)6.5 平移规则 (6)7. 坐标系 (7)8. 矢量在坐标系内的表示 (8)9. 方向余弦矩阵 (10)10. 欧拉角 (13)11. 刚体的位置和姿态坐标 (15)12. 矢量在某参照物内对时间的导数 (16)13. 角速度 (17)14. 简单角速度 (17)15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (18)16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (20)17. 角速度叠加原理 (21)18. 角加速度 (22)19. 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (23)20. 动点的速度和加速度 (25)21. 刚体上两固定点的速度与加速度 (26)22. 相对刚体运动的点的速度和加速度 (27)23. 并矢 (28)24. 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (30)25. 约束 (33)25.1滑移铰 (34)25.2 旋转铰 (34)25.3 圆柱铰 (35)25.4 球铰 (36)25.5 平面铰 (36)25.6 固定铰 (37)25.7 点在线约束 (37)25.8 点在面约束 (38)25.9 姿态约束 (39)25.10 平行约束 (39)25.11垂直约束 (40)25.12 等速万向节 (41)25.13 虎克铰 (41)25.14 万向节 (42)25.15 关联约束 (43)26. 弹簧力的计算 (45)27. 阻尼力的计算 (46)III 问题求解 (47)28.Macpherson悬架多体系统动力学方程DAEs的建立 (47)29. DAEs的简单解法 (48)参考文献 (49)I 问题概述1. 多体系统仿真模型型：左面有5个物体： ● 下控制臂 ● 转向节 ● 轮毂 ● 上滑柱 ● 转向横拉杆 左面约束有7个：● 下控制臂与车身间的旋转铰 ● 下控制臂与转向节间的球铰 ● 转向节与轮毂间的旋转铰 ● 转向节与上滑柱间的滑移铰 ● 上滑柱与车身间的球铰● 转向节与转向横拉杆间的球铰● 转向横拉杆与转向齿条(这里固定于车身)间的虎克铰左面力有7个：● 转向节与上滑柱间的弹簧力 ● 转向节与上滑柱间的阻尼力 ● 五个物体的重力采用笛卡尔绝对坐标运用多体动力学的基本公式和动静法可以建立Macpherson 悬架的多体系统数学模型（DAEs ）。
可选择的坐标有绝对坐标和相对坐标，绝对坐标可以是笛卡尔坐标或自然坐标。
图1-2 Macpherson 悬架多体系统模型笛卡尔坐标规范统一，所有刚体都一样。
相对坐标数量较少。
自然坐标数量虽多，但涉及的概念较少，约束方程中没有三角函数，为二次多项式的形式。
建立方程的方法有直观的矢量力学方法、抽象的分析力学方法和界于二者之间的Kane方法，这里采用的动静法属于矢量力学方法。
2. 静力学问题在静平衡状态下，利用静平衡方程（速度和加速度均为零的DAEs）求未知外力、约束力或未知平衡位置的问题。
3. 运动学问题在静平衡或运动状态下，利用运动约束方程求未知位置、速度或加速度的问题，方程中不涉及力的计算。
4. 动力学问题在运动状态下，利用动力学方程和运动约束方程（DAEs）求未知加速度、速度、位置或未知外力及未知约束力的问题。
II 基本概念和公式5. 参照物参照物：定义运动的参照物体，如大地或刚体。
6. 矢量6.1 矢量的定义及符号矢量：具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及角加速度。
矢量一般用带箭头的符号表示，如a ，b 。
6.2 矢量的基本运算a b两矢量a 和b 的点积为一数量αcos ........a bd两矢量a 和b 的叉积为另一矢量d αsin ab ....... abαc三矢量a 、b 、c 的混合积为一数量，代表其组成的平行六面体的体积()()()a b c a b c c a b⨯⋅=⋅⨯=⨯⋅ ...................................................... （ 三矢量a 、b 、c 的两重叉积为另一矢量，它位于a 和b 所张成的平面内c b a b c a ⋅-⋅ ..................... 两矢量a 和b 的和为另一矢量两矢量a 和b 的和为另（6-2）6.3 单位矢量的定义及符号单位矢量：大小为单位1的矢量。
单位矢量一般用带“^”的符号表示，如ˆˆ,ex 。
单位矢量可以用来表示一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向。
6.4 零矢量的定义及符号零矢量：大小为零的矢量。
零矢量一般用“0”表示。
6.5 平移规则将一个矢量在空间平行移动得到的矢量与原矢量相等。
例6-1 两个单位矢量1ˆx和2ˆx 的点积为12ˆˆcos x x α⋅=，这里α为这两个单位矢量间的夹角，故两个单位矢量的点积表示其夹角的余弦。
例6-2 设有坐标系ˆe，其三个单位矢量分别为1ˆe 、2ˆe 和3ˆe ；另外有一个任意方向的单位矢量为ˆx ，它与1ˆe、2ˆe 和3ˆe 的夹角分别为1α、2α和3α，则11ˆˆcos x e α⋅=、22ˆˆcos x e α⋅=和33ˆˆcos x e α⋅=分别为单位矢量ˆx在坐标系ˆe 内的方向余弦。
例6-3 若在式（8-1）中，b 为单位矢量b ˆ，则αcos ˆa b a =⋅ 表示矢量a 在b ˆ方向的投影。
例6-4 车轮前束角的确定：)ˆˆˆˆ(1Y z X z tgl l ⋅⋅=-α，)ˆˆˆˆ(1Y zX z tg r r ⋅⋅-=-α。
例6-5 磨胎半径（scrub radius ）和主销后倾拖距（caster moment arm ）的计算：设地面向上的法向单位矢量为k ˆ，车轮自转轴线单位矢量（指向车身外面）为w ˆ，主销穿地点到轮胎印迹中心的矢量为ρ，令单位矢量l ˆ为车轮平面于水平路面交线指向后方的单位矢量，令mˆ为车轮自转轴线在水平路面投影线指向车身外面的单位矢量，则w k w k lˆˆ/ˆˆˆ⨯⨯=，k w k k w k m ˆ)ˆˆ(/ˆ)ˆˆ(ˆ⨯⨯⨯⨯=，m radius scrub ˆˆ_⋅=ρ，l arm moment caster ˆ__⋅=ρ。
7. 坐标系坐标系：由三个两两垂直的单位矢量组成的右手直角坐标系。
坐标系有时简称为基。
例如，取三个单位矢量1ˆr e、2ˆr e 、3ˆre ，固定在大地一点o 上，令其两两垂直，如图7-1所示，则组成了一个惯性坐标系。
这里的下标1、2、3用来表示第一、第二和第三个单位矢量，用上标“r ”是为了和其他坐标系区分开，o 为坐标原点。
为简化称呼，这个惯性坐标系可以用符号“ˆre”来表示。
有时三个单位矢量也用xˆ、y ˆ及z ˆ表示。
图6-6磨胎半径（scrub radius ）和主销后倾拖距（caster moment arm ）一个参照物上可以固定多个坐标系，如图7-1中固定在刚体上的坐标系ˆb e和ˆie 。
有时为了方便，可以用固定于参照物上的某个坐标系来代表该参照物，因为固定于参照物上的坐标系与参照物在空间具有相同的运动。
一个坐标系的单位矢量，如ˆre的1ˆre 、2ˆre 、3ˆre 之间的点积和叉积关系如下： 111213212223313233ˆˆˆˆˆˆ1, 0, 0ˆˆˆˆˆˆ0, 1, 0ˆˆˆˆˆˆ0, 0, 1r r r r r rr rr r r rr r r r r re e e e e e e e e e e e e e e e e e ⎧⋅=⋅=⋅=⎪⋅=⋅=⋅=⎨⎪⋅=⋅=⋅=⎩ ........................................................................ （7-1） 111231322132223131232133ˆˆˆˆˆˆˆˆ0, , ˆˆˆˆˆˆˆˆ, 0, ˆˆˆˆˆˆˆˆ, , 0r r r r r r r rr r r r r r r r r r r r r r r r e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ⎧⨯=⨯=⨯=-⎪⎪⨯=-⨯=⨯=⎨⎪⨯=⨯=-⨯=⎪⎩.............................................................. （7-2） 例7-1 Adams 有两种坐标系，GCS （Global Coordinate System ）和LCS （Local Coordinate System ），GCS 固定于大地上，只有唯一一个。
LCS 包括BCS （Body Coordinate System ）和Markers ，BCS 固定在刚体上，每个刚体有一个且只有一个BCS ，Markers 为刚体拥有的坐标系，数目不限，分为Fixed markers 和Floating markers ，前一种固定于刚体上，后一种相对刚体是运动的。
8. 矢量在坐标系内的表示一个矢量可以在任何一个坐标系内用沿各单位矢量的分量形式表示。
矢量η在某坐标系ˆe内的分量表达式为： 112233ˆˆˆee e ηηηη=++................................................................. （8-1） 其中各系数1η、2η、3η为矢量η在各单位矢量方向上的投影，即坐标：112233ˆˆˆeee ηηηηηη=⋅⎧⎪=⋅⎨⎪=⋅⎩ ................................................................................. （8-2） 将（8-2）代入（8-1）中有112233ˆˆˆˆˆˆee e e e e ηηηη=⋅+⋅+⋅ .................................................... （8-3）η在一个坐标系内，利用三个坐标可以描述空间任意一个矢量的大小和方向。
三个系数1η、2η、3η可以组成一个列阵：12ηηηη⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭..................................................................................... （8-4）称为矢量η在坐标系ˆe内的坐标阵。