3 第三讲 一阶系统
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3.3.1
转 计 速
闭环极点 s=-5-2.5G 为了使 τ<0.1s, 必须使 G>2 将时域约束条件 τ <0.1s 表示为s-平面 约束条件s<-10. → 闭环极点 → 开环极点
G= 6
−20
Im
G= 4 G= 3 G= 2
−15
−10
−5
Re
图.SP3.3.2
时间常数 τ =0.2, 开环极点s=-5;
2. 因为时间常数 τ=0.2 不能满足要求, 所以有必要引入一个测速反馈。
2.5G K' Ω = = Vi s + 5+ 2.5G 1+τs 2.5G K = 5+ 2.5G τ =
'
V i
放 器 大
电 机
1 5+ 2.5G
+
G
0.5 1+ 0.2s
1
1 →R s) = ( s
进行反拉普拉斯变换，得：
c(t ) = 1− e
−t
τ
c(t)
c(t) = 1− e
−t τ
1
0.63
0
τ τ 2τ 3τ 图.3.6 阶跃响应
t
τ c( 0) = 0, c(τ ) = 0.632, c( 2 ) = 0.865,
c( 3 ) = 0.95, τ c( 4 ) = 0.98, τ
S2 S1
Re
假设输入为单位脉冲函数：
100 1.01 1.01 C(S) = = 图.3.13 双极点系统 − (S +1)(S +100) S +1 S +100 c(t) =1.01 e−t −e−100t ≈1.01 −t e
(
)
通常:
Re (Zi ) ≥10 Re (P min ) do Re (P) i ≥10 Re (P min ) do
所以我们能通过实验来确定一个系统 是否为一阶系统或确定τ 的值：
斜坡响应
输入: 输出: 单位斜坡 r(t) =t →
1 τ τ 1 C(s) = 2 = 2− + s (1+τs) s s 1+τs
2
1 R(s) = 2 s
1 τ τ = 2− + 1 s s 1+
进行反拉普拉斯变换，得：
τ
c(t) = t −τ −τe
• 传递函数 • 方框图
C(s) 1 = R s) 1+τs (
R(s)
1 1+τ s
C(s)
图.3.4 一阶系统的传递函数
❃ 一阶系统的响应
一些常用的输入信号：
a. 脉冲信号 b. 阶跃信号 c. 斜坡信号 d. 抛物线 信号 e. 谐波信号
( A⋅1 t)
At
A⋅ t
2
δ(t)
Asin ωt
单位脉冲响应
如果输入为单位阶跃, 那么
1 R s) = ( s
K′ 1 τ′ 1 C(S) = ⋅ = K′ − S S τ′ +1 S S τ′ +1 K 1−e c(t) = K′1−e t = K +1
− 1 τ′ 1+K − t
τ
and
主导极点: 主导极点
1. 闭环主导极点位于虚轴附近。
2. 系统响应取决于最接近虚轴的极点产 生的响应。 3. 上面几点适用于复数极点和实数极点。 4. 上面几点对处理高阶的情况非常有用。
例 3.3 (p52.)
解： 1. 开环传递函数为：
25 . 05 . Ω = = V s +5 1+ 0 2s . i
例如: r(t)= t → c(t) = (t-τ) + τe-t/τ r(t)= 1 → c(t) = 1 - e-t/τ
c(t ) = 1 e−t τ
−t τ
c(t) = 1− e
τ
c(t) = t −τ ( −e 1
−t τ
)
一阶反馈系统： 一阶反馈系统：
a. 开环控制： 单位阶跃输入响应
R(s) C(s)
得
Xo 1 1 = = Xi 1+ (C K)s 1+τs
C τ= K
τ 称为时间常数，单位为秒。
例 2
RC 电路
R
vi
i
vi −vo = iR dvo i =C dt 图3.2
C
i
vo
电路一阶系统
Vo 1 1 = = Vi 1+ RCs 1+τs
τ = RC
❃一阶系统的一般形式： 一阶系统的一般形式：
令 τ =1 和 K=1, 令 τ =1 和 K=10,
1 0.909 c(t)
c(t) = 0.5(1− e )
−2t
c( t ) = 0.909(1−e
r(t)
−11t
)
K=10 0.5 K=1
开环响应
.3.11 反馈系统的阶跃响应
t
重要结论: 重要结论 (P45.)
1. 反馈系统在输入与输出之间存在稳态 误差。 2. 反馈系统响应比开环系统的要快。 如果K被增加到10，那么输出接近1， 稳态误差少于10%，但响应速度是开环 的10倍。
输入: 输出:
r(t ) = δ (t )
R s) = 1 (
1 1 C(s) = R(s) = 1+τs 1+τs
1τ
c(t)
进行反拉普拉斯变换，得：
c(t) =
τ
1
e
−t
τ
t
图.3.5 脉冲响应
阶跃响应
( 输入: 单位阶跃 r(t) =1 t), 输出: 1 1 τ 1 1 C(s) = = − = − s(1+τs) s 1+τs s s +1 τ
一阶系统的零点和极点
特征方程:
1+GH(s) = 0
a. 开环极点
1 G(s) = 1+τs
s=−
1
S’ S
τ
b. 闭环极点
1 G(S) = τ′ +1 S
s =−
'
1
'
τ
主导极点
例: 一个系统的传递函数为：
C 100 = R (s +1)(s +100)
Im
两个闭环极点为：
S1= -1 ,
S2= -100
性控制系统工程
第三单元 一阶系统
一阶系统: 一阶系统
由一阶微分方程来描述的系统。 例 1机械系统
K( xi − xo ) = C xo
xo
•
xi
图 3.1 机械一阶系统
C • xo + xo = xi K
在零初始状态下，等式两边进行拉普拉 斯变换，： C
Xo s +1 = Xi K
K τS +1
( c t)
t − = K 1−e τ
b. 闭环控制：
K K τS +1 = 1+ K = K′ G(S) = K τ τ′ +1 S S +1 1+ τS +1 1+ K
(k´< k , τ´< τ) τ
R
K
1 1+τs
C
图.3.10 一阶反馈控制系统
−t τ
= t −τ (1− e
−t τ
)
c(t) = t −τ −τe
−t τ
= t −τ (1− e
−t τ
)
a. 稳态部分 b. 瞬态部分
r(t)
τ
Aτ
c(t)
图.3.7 斜坡响应
线性系统的重要特性： 线性系统的重要特性：
—系统对输入信号微分（或积分）的响 应，等于系统对该输入信号响应的微分 （或积分）。
应用实例:
2002式车牌半成品自动生产线
* 稳态误差
时域: S-平面:
ess = lim e(t) = lim[r(t) −c(t)]
∞ t→ ∞ t→
ess = lim sE(s) = lim s ⋅ Φe (s) ⋅ R(s) E(s) Φ(s) = R(s)
0 s→ 0 s→
作业
P54, 3.5 P55, 3.8, 3.9
转 计 速
闭环极点 s=-5-2.5G 为了使 τ<0.1s, 必须使 G>2 将时域约束条件 τ <0.1s 表示为s-平面 约束条件s<-10. → 闭环极点 → 开环极点
G= 6
−20
Im
G= 4 G= 3 G= 2
−15
−10
−5
Re
图.SP3.3.2
时间常数 τ =0.2, 开环极点s=-5;
2. 因为时间常数 τ=0.2 不能满足要求, 所以有必要引入一个测速反馈。
2.5G K' Ω = = Vi s + 5+ 2.5G 1+τs 2.5G K = 5+ 2.5G τ =
'
V i
放 器 大
电 机
1 5+ 2.5G
+
G
0.5 1+ 0.2s
1
1 →R s) = ( s
进行反拉普拉斯变换，得：
c(t ) = 1− e
−t
τ
c(t)
c(t) = 1− e
−t τ
1
0.63
0
τ τ 2τ 3τ 图.3.6 阶跃响应
t
τ c( 0) = 0, c(τ ) = 0.632, c( 2 ) = 0.865,
c( 3 ) = 0.95, τ c( 4 ) = 0.98, τ
S2 S1
Re
假设输入为单位脉冲函数：
100 1.01 1.01 C(S) = = 图.3.13 双极点系统 − (S +1)(S +100) S +1 S +100 c(t) =1.01 e−t −e−100t ≈1.01 −t e
(
)
通常:
Re (Zi ) ≥10 Re (P min ) do Re (P) i ≥10 Re (P min ) do
所以我们能通过实验来确定一个系统 是否为一阶系统或确定τ 的值：
斜坡响应
输入: 输出: 单位斜坡 r(t) =t →
1 τ τ 1 C(s) = 2 = 2− + s (1+τs) s s 1+τs
2
1 R(s) = 2 s
1 τ τ = 2− + 1 s s 1+
进行反拉普拉斯变换，得：
τ
c(t) = t −τ −τe
• 传递函数 • 方框图
C(s) 1 = R s) 1+τs (
R(s)
1 1+τ s
C(s)
图.3.4 一阶系统的传递函数
❃ 一阶系统的响应
一些常用的输入信号：
a. 脉冲信号 b. 阶跃信号 c. 斜坡信号 d. 抛物线 信号 e. 谐波信号
( A⋅1 t)
At
A⋅ t
2
δ(t)
Asin ωt
单位脉冲响应
如果输入为单位阶跃, 那么
1 R s) = ( s
K′ 1 τ′ 1 C(S) = ⋅ = K′ − S S τ′ +1 S S τ′ +1 K 1−e c(t) = K′1−e t = K +1
− 1 τ′ 1+K − t
τ
and
主导极点: 主导极点
1. 闭环主导极点位于虚轴附近。
2. 系统响应取决于最接近虚轴的极点产 生的响应。 3. 上面几点适用于复数极点和实数极点。 4. 上面几点对处理高阶的情况非常有用。
例 3.3 (p52.)
解： 1. 开环传递函数为：
25 . 05 . Ω = = V s +5 1+ 0 2s . i
例如: r(t)= t → c(t) = (t-τ) + τe-t/τ r(t)= 1 → c(t) = 1 - e-t/τ
c(t ) = 1 e−t τ
−t τ
c(t) = 1− e
τ
c(t) = t −τ ( −e 1
−t τ
)
一阶反馈系统： 一阶反馈系统：
a. 开环控制： 单位阶跃输入响应
R(s) C(s)
得
Xo 1 1 = = Xi 1+ (C K)s 1+τs
C τ= K
τ 称为时间常数，单位为秒。
例 2
RC 电路
R
vi
i
vi −vo = iR dvo i =C dt 图3.2
C
i
vo
电路一阶系统
Vo 1 1 = = Vi 1+ RCs 1+τs
τ = RC
❃一阶系统的一般形式： 一阶系统的一般形式：
令 τ =1 和 K=1, 令 τ =1 和 K=10,
1 0.909 c(t)
c(t) = 0.5(1− e )
−2t
c( t ) = 0.909(1−e
r(t)
−11t
)
K=10 0.5 K=1
开环响应
.3.11 反馈系统的阶跃响应
t
重要结论: 重要结论 (P45.)
1. 反馈系统在输入与输出之间存在稳态 误差。 2. 反馈系统响应比开环系统的要快。 如果K被增加到10，那么输出接近1， 稳态误差少于10%，但响应速度是开环 的10倍。
输入: 输出:
r(t ) = δ (t )
R s) = 1 (
1 1 C(s) = R(s) = 1+τs 1+τs
1τ
c(t)
进行反拉普拉斯变换，得：
c(t) =
τ
1
e
−t
τ
t
图.3.5 脉冲响应
阶跃响应
( 输入: 单位阶跃 r(t) =1 t), 输出: 1 1 τ 1 1 C(s) = = − = − s(1+τs) s 1+τs s s +1 τ
一阶系统的零点和极点
特征方程:
1+GH(s) = 0
a. 开环极点
1 G(s) = 1+τs
s=−
1
S’ S
τ
b. 闭环极点
1 G(S) = τ′ +1 S
s =−
'
1
'
τ
主导极点
例: 一个系统的传递函数为：
C 100 = R (s +1)(s +100)
Im
两个闭环极点为：
S1= -1 ,
S2= -100
性控制系统工程
第三单元 一阶系统
一阶系统: 一阶系统
由一阶微分方程来描述的系统。 例 1机械系统
K( xi − xo ) = C xo
xo
•
xi
图 3.1 机械一阶系统
C • xo + xo = xi K
在零初始状态下，等式两边进行拉普拉 斯变换，： C
Xo s +1 = Xi K
K τS +1
( c t)
t − = K 1−e τ
b. 闭环控制：
K K τS +1 = 1+ K = K′ G(S) = K τ τ′ +1 S S +1 1+ τS +1 1+ K
(k´< k , τ´< τ) τ
R
K
1 1+τs
C
图.3.10 一阶反馈控制系统
−t τ
= t −τ (1− e
−t τ
)
c(t) = t −τ −τe
−t τ
= t −τ (1− e
−t τ
)
a. 稳态部分 b. 瞬态部分
r(t)
τ
Aτ
c(t)
图.3.7 斜坡响应
线性系统的重要特性： 线性系统的重要特性：
—系统对输入信号微分（或积分）的响 应，等于系统对该输入信号响应的微分 （或积分）。
应用实例:
2002式车牌半成品自动生产线
* 稳态误差
时域: S-平面:
ess = lim e(t) = lim[r(t) −c(t)]
∞ t→ ∞ t→
ess = lim sE(s) = lim s ⋅ Φe (s) ⋅ R(s) E(s) Φ(s) = R(s)
0 s→ 0 s→
作业
P54, 3.5 P55, 3.8, 3.9