2016年复旦附中自主招生数学试题

2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日

一. 填空题

1. 已知a b c x b c a c a b

===+++，则x =________.

2. 已知函数()()225323y x a x b x b =-+-++≤≤图像关于y 轴对称，则a b +=________.

3. 已知函数()()2221y k x kx k =--++的图像与x 轴只有一个交点，则k =__________.

4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx =与函数283233243x x y x x x -⎧⎪

=--<<⎨⎪+-⎩

，≥，

，≤图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是__________.

5. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥CD AB >，

，设E F 、分别是AC BD 、的中点，AC 与BD 交于点O ，已知OEF △是边长为1的正三角形，BOC △

则梯形ABCD 的面积为__________.

6. 已知矩形ABCD 中，1AB BC a ==，，若在边BC 上存在点Q ，满足AQ QD ⊥，则a 的取值范围是__________.

7. 已知锐角ABC △的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA >>，若BC 边上的高为AD ，则BD DC -=__________.

8. 已知实数m n ，（其中1m n ⋅≠）分别满足：2219991099190m m n n ++=++=，， 则41

mn m n

++=_____________.

9. 若关于x 的方程()()

2

240x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是___________.

10. 如图，矩形ABCD 中，34AB BC ==，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB △为直角三角形时，BE 的长为__________.

11. 如图，OA OD ，

是O ⊙的半径，延长OA 至B ，使OA AB C =，是OA 的中点，AOD ∠为锐角α，连接CD BD ，，且CD a =，则_________.BD =

12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_________个.

13. 设()10n n ≥个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为__________.

二. 解答题

14. 关于x 的方程()222120x m x m m --++=的两个根分别为12.x x ，

()1

若12x x -∣∣求m 的值； ()2若12x x ，均为整数，求m 的值.

15. 如图，ABC △中，56AB BC AC ===，，过点A 作AD BC ∥，点P Q ，分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且AP BQ =，过点P 作PE AC ∥交线段AQ 于点O ，联结PQ ，

记AP x POQ =，

△面积为.y ()1求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

()2联结QE ，若PQE △与POQ △相似，求AP 的长.

16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意. 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

17. 设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，

如[][][]1.2133 1.32==-=-，

， ()()()()22211

1

110111111212016201711011111220162017S =

+

+

+

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⨯-⨯-⨯-⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⨯⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

，

求[]90S ;

()2解关于x 的方程：212312.2x x x -⎡⎤

--=⎢⎥⎣⎦