兰彻斯特方程

§17.4 兰彻斯特作战模型
[学习目的]
1. 能建立兰彻思特作战模型问题的数学模型；
2. 会求解兰彻思特作战模型问题的数学模型；
3.能用兰彻思特作战模型问题的数学模型解决一些实际问题。

问题： 两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败？
这个问题提得很模糊，因为战争是一个很复杂的问题，涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多原因。

因此，如果把战争所涉及到的因素都要考虑进去，这样的模型是难以建立的．但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的。

在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。

对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。

还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。

两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。

一、 正规战模型：
令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：
在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为
dx
dt ay
dy
dt
bx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)
其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得
ay bx ay bx c 220202
-=-= (2)
这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。

如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。

由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式20
20bx ay >成立。

可采用两种方式：(1) 增加a ，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数y 0。

但是，值得注意的是：在上式中，a 增大两倍，结果ay 02
也增大两倍，但y 0增大两倍则会使ay 02
增大四倍。

这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。

如果考虑两军作战时有增援，令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率，
所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。

此时正规部队对正规部队的作战模型为
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()
(t g bx dt
dy
t f ay dt dx
(3)
现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，
即令
a
b
=1，没有援军，将(2)变为
y b a x c a y x c
a
2222-=
-=
(4)
将y = 100，x = 50代入(4)式得 1005075002
2
-==c
a
(5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得
y t x t 227500()()-= (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得
y y 2750087
=≈
即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。

二、 混合战模型：
如果甲军是游击队，乙军是正规部队，由于游击队对当地地形熟，常常位于不易发现的有利地形。

设游击队占据区域R ，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R 射击，但并不知道杀伤情况。

我们认为如下的假设是合理的：游击队x 的战斗减员率应当与x(t)成正比，因为x(t)越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大；另一方面游击队x(t)的
c a
c=0:不分胜负
-c a x(t)
图17.8
y
战斗减员率还与y(t)成正比，因为y(t)越大，火力越强，x 的伤亡人数也就越大。

因此游击队x 的战斗减员率等于cx(t)y(t)，常数c 称为敌方的战斗有效系数。

如果f(t)和g(t)分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为
dx
dt cxy f t dy dt
dx g t =-+=-+⎧⎨⎪⎩⎪()
() (7)
若无增援f(t)和g(t)，则(7)式为
dx
dt cxy
dy dt
dx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (8)
积分(8)式得
cy dx cy dx M 2
02
022-=-= (9)
(9)式在x-y 平面上定义了一族抛物线，如图17.9所示：如果M > 0，则正规部队胜，因为当y(t)减小到M c ，
部队x 已经被消灭。

同样，如M < 0，则游击队胜。

三、 游击战模型：
若甲乙双方都是游击部队，则双方都隐蔽在对方不易
发现的区域内活动。

由混合战部分的分析，得游击战数学
模型
dx
dt cxy f t dy
dt
dxy g t =-+=-+⎧⎨⎪
⎩⎪()() (10)
其中f(t)和g(t)分别是甲军和乙军的增援率，常数c 是乙军的战斗有效系数，常数d 是甲军的战斗有效系数。

如果甲乙双方增援率均为零，则游击战数学模型为
dx dt
cxy dy dt dxy x x y y =-=-==⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪(),()0000 (11) (11)的解为 cy dx cy dx m -=-=00 (12)
图 17.9 0 x(t) y(t )
(12)式在x-y 平面上定义了一族直线。

如图
17.10所示：如果m > 0，则乙方胜；如果m < 0，则甲方胜；如m = 0则双方战平。

几点说明：
(1) 在模型(3)中，如果a 、b 、f(t)和
g(t)已知，则可用显式求解。

但在模型(7)中，因方程组是非线的，求解困难，可利用计算机求解。

(2) 事前确定战斗有效系数a 、b 、c 和d 的数值通常是不可能的，但是如果对已有
的战役资料来确定a 和b(或者c 和d)的适当系数值，那么对于其他类似于同样条件下进行的战斗，a 和b(或c 和d)这些系数就可以认为是已知的了。

因此，在以上意义下，兰彻斯特作战模型仍然具有普遍意义。

J ·H ·Engel 将第二次世界大战时美国和日本为争夺硫磺岛所进行的战斗资料进行分析，发现与兰彻斯特作战数学模型非常吻合，这就说明了兰彻斯特作战数学模型是能够用来描述实际战争的。

下面介绍二战时期著名的硫磺岛战役： 四、硫磺岛战役
硫磺岛位于东京以南1062km ，面积仅有20.7km 2
，是日军的重要军事基地。

美军想要夺取硫磺岛作为轰炸日本本土时的轰炸机基地，而日本需要硫磺岛作为战斗机基地，以便攻击美国的轰炸机。

美军从1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个多月，双方伤亡十分惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。

美军有按天统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。

用x(t)和y(t)表示美军和日军在第七天的人数，在正规战模型(1)中加上初始条件，得
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==-=+-=500,21)0(,0)0()(y x bx dt dy
t f ay dt dx
(13) ()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<≤<≤<≤=其它,
065,13000
32,600010,54000
t t t t f (14)
由增援率和每天的伤亡人数可算出x(t),t=1,2,…,36(见图17.11中虚线)，将已有
图17.10 线性解
L g
-L h
数据代入(13)式，算出x(t)的理论值并与实际值作一比较。

对方程(13)用求和代替积分得 x t x a y f t
t
()()()()=-+==∑∑01
1τττ
τ (15) y t y b
x t
()()()=-=∑01
ττ
(16) 为估计b 值在(17.41)式中取t=36，因为y(36)=0，且由x(t)的实际数据可得
x ()ττ=∑1
36
=2037000，于是从(16)式估计出b=
21500
2037000
=0.0106，再把这个值代入(16)式即
可算出y(t)，t=1，2，…，36． 由(15)式估计a 值，令t=36，得
a f x y =
-==∑∑()()()τττ
τ
361
36
1
36
(17)
其中分子为美军总的伤亡人数20265人，分母可由(16)算出的y(t)，得372500，由(17)式可解出a =
=20265
372500
00544,,.，将a 值代入(15)式得
x t y f t t
()
.()()=-+==∑∑005441
1
ττττ (18)
由(18)式可算出美军人数x(t)的理论值．图17.11中用实线表示．与虚线表示的实际值比较，吻合情况相当好。

习题17.4
1． 方程组 ⎩
⎨⎧--='-='cxy by y ay
x
是正规部队对游击队作战的一个兰彻斯特数学模型，其中游击队y 的非战斗减员率与y(t)
图17.11 美军兵力实际数据与理论结果的比较
成正比．
（1）求方程组的轨线．
（2）试问哪一方胜利．
作战部队的非战斗减员率是指非战斗的原因（如开小差、疾病等）减员。