兰彻斯特方程

§17.4 兰彻斯特作战模型

[学习目的]

1. 能建立兰彻思特作战模型问题的数学模型；

2. 会求解兰彻思特作战模型问题的数学模型；

3.能用兰彻思特作战模型问题的数学模型解决一些实际问题。

问题： 两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败？

这个问题提得很模糊，因为战争是一个很复杂的问题，涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多原因。因此，如果把战争所涉及到的因素都要考虑进去，这样的模型是难以建立的．但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的。

在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。

对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。

一、 正规战模型：

令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：

在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为

dx

dt ay

dy

dt

bx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)

其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得

ay bx ay bx c 220202

-=-= (2)

这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。

由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式20

20bx ay >成立。可采用两种方式：(1) 增加a ，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数y 0。但是，值得注意的是：在上式中，a 增大两倍，结果ay 02

也增大两倍，但y 0增大两倍则会使ay 02

增大四倍。这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。 如果考虑两军作战时有增援，令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率，

所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。此时正规部队对正规部队的作战模型为

⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()

(t g bx dt

dy

t f ay dt dx

(3)

现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，

即令

a

b

=1，没有援军，将(2)变为

y b a x c a y x c

a

2222-=

-=

(4)

将y = 100，x = 50代入(4)式得 1005075002

2

-==c

a

(5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得

y t x t 227500()()-= (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得

y y 2750087

=≈

即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。 二、 混合战模型：

如果甲军是游击队，乙军是正规部队，由于游击队对当地地形熟，常常位于不易发现的有利地形。设游击队占据区域R ，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R 射击，但并不知道杀伤情况。我们认为如下的假设是合理的：游击队x 的战斗减员率应当与x(t)成正比，因为x(t)越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大；另一方面游击队x(t)的

c a

c=0:不分胜负

-c a x(t)

图17.8

y

战斗减员率还与y(t)成正比，因为y(t)越大，火力越强，x 的伤亡人数也就越大。因此游击队x 的战斗减员率等于cx(t)y(t)，常数c 称为敌方的战斗有效系数。如果f(t)和g(t)分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为

dx

dt cxy f t dy dt

dx g t =-+=-+⎧⎨⎪⎩⎪()

() (7)

若无增援f(t)和g(t)，则(7)式为

dx

dt cxy

dy dt

dx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (8)

积分(8)式得

cy dx cy dx M 2

02

022-=-= (9)

(9)式在x-y 平面上定义了一族抛物线，如图17.9所示：如果M > 0，则正规部队胜，因为当y(t)减小到M c ，

部队x 已经被消灭。同样，如M < 0，则游击队胜。

三、 游击战模型：

若甲乙双方都是游击部队，则双方都隐蔽在对方不易

发现的区域内活动。由混合战部分的分析，得游击战数学

模型

dx

dt cxy f t dy

dt

dxy g t =-+=-+⎧⎨⎪

⎩⎪()() (10)

其中f(t)和g(t)分别是甲军和乙军的增援率，常数c 是乙军的战斗有效系数，常数d 是甲军的战斗有效系数。

如果甲乙双方增援率均为零，则游击战数学模型为

dx dt

cxy dy dt dxy x x y y =-=-==⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪(),()0000 (11) (11)的解为 cy dx cy dx m -=-=00 (12)

图 17.9 0 x(t) y(t )