随机变量的特征函数及其应用

k
(k )
且对任意 k n ， (t ) 存在，
0 i k E k
k 0
ik
E k

证：
d k itx k k e i k x k e i x x ，而 x Px dx ，对 k n k dt
∴
k 0
dk dt k
4） t1 ,0 1 t1 ； 0, t 2 2 t 2
2、应用
二维随机变量 1 , 2 服从二维正态分布，它的密度函数为
f ( x , y)
1 2 1 2 1 2
exp{
1 x 1 2 x 1 y 2 y 2 2 )( )( ) ]} [( ) 2 ( 2 2(1 ) 1 1 2 2
r
i ( t11 t 2 2 )
(t1, t2 )




ei (t1 x1 t 2 x2 ) f ( x1, x2 )dx1dx2
t1 , t 2 (0,0) 1;
随机变量 1 , 2 的特征函数为 (t1 , t 2 ) ，则
1) (0,0) 1, 且对于任意t1 , t 2 R 3) t1 , t 2 于实平面上一致连续； 2) t1 ,t 2 t1 , t 2 ;
p(r , s ) ，
(t1 , t 2 ) 称为 1 , 2 的特征函数。
当 1 , 2 为离散型变量时： (t1 , t 2 ) 其中 p(r , s) P 1 x1r 2 x2 s , 当 1 , 2 为连续型变量时
e
明了二维正态分布的边缘分布也是正态分布的结论
1 it11 12t12 2
1 2 ( t1 2 t1t2 t2 2 ) 2
,2 (t ) (0, t ) e
1 it2 2 2 2t2 2 2
2 由唯一性定理得， 1 (t ), 2 (t ) 分别为正态分布 N ( 1 , 12 ) 及 N ( 2 , 2 ) 的特征函数，证
二、 多维随机变量的特征函数及其应用
一、定义
定义 设是 1 , 2 二维随机变量，其分布函数为 F ( x1 , x2 ) ， t1 , t 2 为任意实数，记
(t1, t2 ) E[e
i ( t11 t 2 2 )
]



s

ei (t1 x1 t 2 x2 ) dF ( x1, x2 )
i ( t11 t 2 2 )
则它的特征函数为 (t1 , t 2 )
e
e
1 2 2 ( 1 t1 2 1 2 t1t 2 2 2t 2 2 ) 2
。
姓名：庞爱茹 专业：电子与通信工程 学号：201322210051
特别当 1 2 0, 1 2 1 时 (t1 , t 2 ) e 得 1 (t ) (t ,0) e
1、定义Hale Waihona Puke Baidu
定义 设 是定义在概率空间 (, F , P) 一个随机变量，分布函数为 F ( x) ，称
t Ee it ， t
为 的特征函数。有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数。 由定义
（1）
itak e pk t k 1 e itx f x dx
由e
itx
当
ξ
P
a1 p1
a2 p2
… … （2）
当ξ～f（x）
1 ，故（2）的级数或积分是绝对收敛，即 r , v, 的特征函数总存在。
由（2）看出， r.v. 的 c. f 是其概率函数或密度函数的傅里叶变换，
2、特征函数与矩的关系（利用随机变量的特征函数求随机 变量的各阶矩）
设 r.v. 的 n 阶矩存在， 则 的特征函数 t 的 k 阶导数 有 即



e itx Px dx
t 0
姓名：庞爱茹 专业：电子与通信工程 学号：201322210051
=
d k itx x dx i k x k Px dx i k k dt k e tP 0

性质 5 说明，可利用 r.v 的 c. f 的各阶微分来计算， r.v 的各阶矩，这显然比用分布密 度的积分来求矩阵方便得多。
姓名：庞爱茹 专业：电子与通信工程 学号：201322210051
一、一维随机变量的特征函数及其应用
提出问题：计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，只利 用分布函数和密度函数， 求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的 （要计算密度函数的卷积） 解决问题：利用随机变量的特征函数求随机变量的各阶矩